1、2.4 正态分布正态分布高二数学高二数学 选修选修2-3频率分布频率分布直方图直方图 情情 景景 引引 入入 96 114 128 106 89 97 103 114 109 101106 104 97 93 117 108 104 113 94 108 87 112 109 117 102 97 113 109 89 101105 104 99 101 117 108 104 97 94 99103 112 98 85 106 89 97 103 125 109 101 106 124 97 109 117 108 104 104 94 108 96 106 85 106 89 99 106
2、 112 103 129 89 96 123 85 106 102 97 103 114 109 101 106 115 97 93 117 108 104 112 113 108 96 98 85 106 89 97 103 114100:从从 学学 生生 中中 随随 机机 抽抽 取取 出出个个 人人 做做测测 试试，测测 试试 结结 果果 如如 下下IQ第一步：求极差第一步：求极差；1298544第二步：确定组数，组距；第二步：确定组数，组距；44/5=8.8第三步：将数据分第三步：将数据分9组；组；85,90,(90,95,(125,130区间号区间号区间区间频数频数频率频率频率频率/组
3、距组距185,9020.020.0042(90,9570.070.0143(95,100110.110.0224(100,105150.150.0305(105,110250.250.0506(110,115200.200.0407(115,120120.120.0248(120,12560.060.1209(125,13020.020.004第四步：列出频率分布表第四步：列出频率分布表第五步：画出频率分布直方图第五步：画出频率分布直方图xy频率频率/组距组距0 85 90 95 100 105 110 115 120 125 1300.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
4、若数据无限增多且组距无限缩小，那么若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称这样的曲线为总体密度曲线乃至形成一条光滑的曲线，我们称这样的曲线为总体密度曲线频率频率组距组距总体密度曲线总体密度曲线总体密度曲线0YX14.2图图.,.,.14.2?的某一球槽内的某一球槽内最后掉入高尔顿板下方最后掉入高尔顿板下方与层层小木块碰撞与层层小木块碰撞程中程中小球在下落过小球在下落过通道口落下通道口落下上方的上方的让一个小球从高尔顿板让一个小球从高尔顿板前面挡有一块玻璃前面挡有一块玻璃隙作为通道隙作为通道空空小木块之间留有适当的小木块之间
5、留有适当的木块木块形小形小柱柱互平行但相互错开的圆互平行但相互错开的圆排相排相在一块木板上钉上若干在一块木板上钉上若干图图板示意板示意所示的就是一块高尔顿所示的就是一块高尔顿图图你见过高尔顿板吗你见过高尔顿板吗05.010.015.020.025.030.035.0O1234567891011槽槽的的编编号号频频率率新知探索新知探索),(x22()21()2xf xe1、正态曲线的定义：、正态曲线的定义：函数函数式中的实数式中的实数、(0)是参数，分别表示是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称总体的平均数与标准差，称f(x)的图象称为的图象称为正态曲线正态曲线cdabXY 随机变量随机变量X
6、落在区间落在区间(a,b的概率为？的概率为？badxxbXaP)()(,阴影部分的面积阴影部分的面积为正态曲线与x=a，x=b以及x轴所围成封闭图形的面积2.正态分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足:badxxbXaP)()(,则称为则称为X 的正态分布的正态分布.正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（，2）.其图象称为其图象称为正态曲线正态曲线.如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X N（，2）在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：在生产中
7、在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中在测量中，测量结果；测量结果；在生物学中在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征；在气象中在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。的意义的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总
8、体随机变量的 平均水平平均水平x3x4平均数X=产品 尺寸(mm)总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 的意义的意义1 2 正态曲线正态曲线的函数表示式的函数表示式当=0，=1时222)(21)(xexf),(x2221)(xexf标准正态曲线标准正态曲线的函数表示式的函数表示式),(x012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线3、正态曲线的性质、正态曲线的性质012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征
9、的基本特征22()21(),(,)2xxex 观察上图结合 的解析式及概率的性质，你能说说正态曲线的特点吗？）（，x012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 12 222()21(),(,)2xxex 研究正态曲线随研究正态曲线随，变化而变化的特点
10、变化而变化的特点,几何画板几何画板演示演示=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延并且当曲线向左、右两边无限延伸时伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近.当当一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由确定随确定随的变化沿的变化沿x轴平移轴平移 3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质22
11、()21()2xxe 正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:-a+ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面积随着而言，该面积随着 的减少而变的减少而变大。这
12、说明大。这说明 越小越小,落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。2(,),()()aaPaax dx (,aa()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPX特别地有特别地有动画 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率以外取值的概率只有只有4.6，在，在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有0.3。2,23,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），通常称这些情况发生为），通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6 8 2 6,(22)0.9 5
13、4 4,(33)0.9 9 7 4.PXPXPX例、在某次数学考试中，考生的成绩例、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个正态分布，即服从一个正态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是多少？上的概率是多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考间的考生大约有多少人？生大约有多少人？练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩名同学参加，考生的成绩X ，据此估计，大约应有据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（人
14、的分数在下列哪个区间内？（）A.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,1152(100,5)A2、已知、已知XN(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率等于（内取值的概率等于（）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 =,=.4、若、若XN(5,1),求求P(6X7).(,2)(0)PX(22)PXD0.50.9544解解:因为因为X XN(5,1),N(5,1),5,1.又因为正态密度曲线关于直线又因为正态密度曲线关于直线 x=5=5 对称对称,1(57)(37)
15、2PxPx 10.95440.4772,2 1(56)(46)2PxPx 10.68260.3413,2 (67)(57)(56)PxPxPx 0.47720.34130.1359.1(52 152 1)2Px 4、若、若XN(5,1),求求P(6X7).归纳小结1 正态曲线的函数解析式：012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=22 正态曲线222)(21)(xexf，x归纳小结 3 正态曲线的性质（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线关于直线x=对称.（3）曲线在x=时位于最高点.（4）当当一定时，曲线的位置由一定时，曲线的位置由确定，随确定，随的的变化沿变化沿x轴平移轴平移(5)当一定时，曲线的形状由确定.越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
