1、2.1.4 高阶导数2.1 导数2022-12-41北京师范大学2.1 导数(127)21.1.高阶导数的概念高阶导数的概念),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva()()().a tv tft2.1.4 2.1.4 高阶导数高阶导数2.1 导数(127)30()()()limxfxxfxfxx 2222dd()(),.ddyf xfxyxx或或33d(),.dyfxyx二阶导数的导数为三阶导数二阶导数的导数为三阶导数,2.1 导数(127)4记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函
2、数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf()()dd()(),.ddnnnnnnyf xfxyxx或或三阶导数的导数为四阶导数三阶导数的导数为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.4(4)(4)4d(),.dyfxyx2.1 导数(127)52.高阶导数求法举例例例34 34 设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 0222(0)(1)xxyx 20232(31)(0)(1)xxyx ;0.2 （1 1）直接法）直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.arcta
3、n,(0)(0).yxyy 求，y2.1 导数(127)6例例3535.)1,0(,144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x33440.xyxyy y得得代入代入1,0 yx;4110 yxy04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代入代入.16110 yxy将上式两边对将上式两边对 x 求导，得求导，得2.1 导数(127)7例例3636.),R()(nyxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn则则为为自自然然数数若若,n)()()(nnn
4、xy,!n)!()1(nyn.0 2.1 导数(127)8例例3737.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意：注意：xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn 求高阶导数时求高阶导数时,先求出的结果不要急于合并先求出的结果不要急于合并,分析其规律性分析其规律性,写出高阶导数写出高阶导数(进行归纳证明进行归纳证明).2.1 导数(127)9例例3838.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(n
5、xyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得同理可得2.1 导数(127)10例例3939.),(sine)(naxybabxy求求为常数为常数设设 解解bxbbxayaxaxcosesine )cossin(ebxbbxaax )arctan()sin(e22abbxbaax )cos(e)sin(e22 bxbbxabayaxax)2sin(e2222 bxbabaax)sin(e)(222)(nbxbayaxnn )arctan(ab 2.1 导数(127)11则则所所确确定定的的函函数数二二阶阶可可导导设设参参数数方方程程,)()(tytx )dd(dddd22xyxxy xttt
6、tdd)()(dd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即2.1 导数(127)12例例4040解解txtyxydddddd)sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 tta4cossin31 2.1 导数(127)13（2）高阶导数的运算法则）高阶导数的运算法则则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu()()()()()nnniuvuv()()()()nniiCuCu()()()0()()nnkn
7、 kknkiiiu vC uv （莱布尼兹公式）（莱布尼兹公式）2.1 导数(127)14例例4141.,e)20(22yxyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,e22xvux 0)()e()()e()e(2)18(22)19(22)20(2)20(!2)120(2020 xxxyxxx22!2192022202182192220eee2 xxxxx)9520(e22220 xxx2.1 导数(127)15（3 3）间接法）间接法常用高阶导数公式：常用高阶导数公式：nnxnx )1()1()()4()(,)!1()1()(ln)5(1)(nnnxnx )2sin()(si
8、n)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxe)e()(利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过通过1)(!)1()1(nnnxnx四则运算四则运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.2.1 导数(127)16例例42 42 设设(20)21,.1yyx 求求解解)1111(21112 xxxy(20)2121120!20!2(1)(1)yxx2.1 导数(127)17例例4343.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(
9、sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).1(),24cos(483)(nnxynn2.1 导数(127)18隐函数求导法则：隐函数求导法则：直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法：对数求导法：对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是用复合函数求导法则实质上是用复合函数求导法则;相关变化率：相关变化率：通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;解法：解法：通过建
10、立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链用链式求导法求解式求导法求解.2.1.5 2.1.5 小结与思考题小结与思考题2.1 导数(127)19高阶导数的数学定义及物理意义高阶导数的数学定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);高阶导数的求法高阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.2.1 导数(127)20思考题思考题设设 连续，且连续，且 ，)(xg)()()(2xgaxxf 求求 .)(af 2.1 导数(127)21思考题解答思考题解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)(afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag
