1、一一.比较法比较法:3332222()()()()abca b cb c ac a b+a,b,cR,:求证:已知求证比商法比商法,常用有幂式比大小常用有幂式比大小练习练习1.已知已知a,b是正数是正数,求证求证 ,当且仅当当且仅当 时时,等号成立等号成立.abbabababa log(1)ax log(1)ax 01,01aax 且且 练习练习.比较比较与与的大小的大小.）.书书P25页页2（2）书书P23页页4 一一.比较法比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：比较法的两种形式：比差法：要证比差法：要证ab，只须证，只须
2、证a-b0。比商法：要证比商法：要证ab且且b0，只须证，只须证 1ba说明：作差比较法证明不等式时，说明：作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作质进行判断；一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；为除式式子的值必须确定符号；证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。用比差法。二二.分析法分析法:三三.综合法综合法:例例2.
3、如果用如果用akg白糖制出白糖制出bkg糖溶液糖溶液,则糖的质量分数为则糖的质量分数为a/b.若在上若在上述溶液中再添加述溶液中再添加mkg白糖白糖,此时糖的质量分数增加到此时糖的质量分数增加到(a+m)/(b+m).将这个试试抽象为数学问题将这个试试抽象为数学问题,并给出证明并给出证明.证一：看书证一：看书P22P22页页证二：分析法证二：分析法练习：书练习：书P25页：页：2（1）a,b,c0,求证：求证：（ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)16abc三三.综合法：综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证
4、的不等式的方法。用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。在用基在用基本不等式证明时要注意本不等式证明时要注意一正二定三相等一正二定三相等的条件。的条件。222,1122aba bRababab定 理 2:23223,11133abca b cRacbabccab 定理3:1 1。调和平均数。调和平均数几何平均数几何平均数算术平均数算术平均数平方平均数平方平均数2 2。等号当且仅当。等号当且仅当a=b=ca=b=c时成立时成立3 3。一正二定三相等一正二定三相等2 22 2如如 果果 a a，b b R R，那那 么么 a a+b b 2 2a ab b，当当 且且 仅仅 当当 a a=b
5、b时时 等等定定 理理 1 1：号号 成成 立立。12,naaaR推 广:1222121221 2111nnnnnaaanaaaanaaaaan12naaa 当且仅当当且仅当 时取等号时取等号3333()33abcabcabcabca,b同号右同号右左左边取边取“=”，a,b异号左异号左右右边取边取“=”当且仅当当且仅当a a1 1,a,a2 2,a,an n00或或a a1 1,a,a2 2,a,an n00取取“=”假假设命题结论的反面成立，经过正确的推理设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出引出矛盾矛盾，因，因此说明此说明假设错误假设错误,从而证明从而证明原命题成立原命题成立,这样的
6、证明方法叫这样的证明方法叫反证反证法法.(.(正难则反正难则反)四四.反证法反证法:例、例、已知已知 ，求证：，求证：中中至少有一个不小于至少有一个不小于 。qpxxxf2)(|)3(|,)2(|,)1(|fff21如、如、求证求证:119sincos,sincos2 为为 锐锐 角角五五.构造函数法：构造函数法：构造函数用函数构造函数用函数单调性单调性，构造图形用数构造图形用数形结合形结合方法。方法。(),0,.1.)xfxxx 构 造上 增 函 数如六六.放缩法：放缩法：欲证欲证AB，可通过适当放大或缩小，借，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得助一个或多个中间量，使得B0增，
7、增，0 x-2,导数小于导数小于0，为减，所以最小，为减，所以最小f(0)八。数学归纳法：八。数学归纳法：格式问题呵格式问题呵九九.换元法：换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略置换策略.主要是三角换元和均值换元。主要是三角换元和均值换元。例例7(1
8、)设设。yx，yxyx值并求此时的的最大值求,191622三角换元三角换元（2）设设 ，且，且 ，求证：求证：；Ryx,122 yx2|2|22yxyx如、如、已知已知 ，求证：求证：都属于都属于5zyx9222zyxzyx,37,110。“”法。法。变式变式：设：设 且且 求证：求证：1,1222cbacbacba031c如：如：（1）正数）正数x,y满足满足x+2y=1,则则 改为改为x+2y=5又如何？又如何？（2）._11的最小值为yx._cos3sin122的最小值xx11。逆代法。逆代法例例9 9已知已知i，m，n是正整数，且是正整数，且1imn (I)证明证明niAimmiAin；(2(2)证明证明(1+m)n(1+n)m 先放缩再求和先放缩再求和1 1。（。（1 1）提示：比差）提示：比差（2 2）先证）先证 ，即得左边不等式，即得左边不等式0nb2221112221111112111()()1(1)2()2()112()nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaabaaa aa aaaaaaa aa aaa即可得右边不等式即可得右边不等式
