1、 定积分：以直代曲，用定积分：以直代曲，用“均匀均匀”的研究的研究“不均匀不均匀”的；用无限的方法研究有限的问题，的；用无限的方法研究有限的问题，从局部到整体从局部到整体 具体实例：具体实例：曲边梯形的面积曲边梯形的面积、变速直线运变速直线运动的路程动的路程新课导入新课导入 中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算，而计算梯形等规则图形面积的计算，而计算平面曲线围成的平平面曲线围成的平面面“曲边图形曲边图形”的面积的面积、变速直线运动物体位移变速直线运动物体位移、变力变力做功做功等问题等问题.我们已学过了我们已学过了如何计
2、算曲边图形面积如何计算曲边图形面积.如何计算变速如何计算变速直线物体位移呢？直线物体位移呢？利用导数我们解决了利用导数我们解决了“已知物体运动路程已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度与时间的关系，求物体运动速度”的问题的问题.反之，反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程？在一定时间内经过的路程？提出问题提出问题1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程教学目标教学目标知识与能力知识与能力 “以不变代变以不变代变”的方法，把变速直线运的方法，把变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问动的路程问题化归为匀速直线运动
3、的路程问题，凭借求曲边梯形的经验解决问题题，凭借求曲边梯形的经验解决问题.过程与方法过程与方法 (1)结合求曲线梯形面积化为四个步骤：分割、结合求曲线梯形面积化为四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限分析汽车变速直线运动近似代替、求和、取极限分析汽车变速直线运动.(2)了解定积分概念中蕴涵的最本质的思想了解定积分概念中蕴涵的最本质的思想.情感态度与价值观情感态度与价值观 本节通过实例加深同学对本节通过实例加深同学对“以不变代以不变代变变”“”“分割分割”“”“以局部代整体以局部代整体”等积分思想等积分思想的理解的理解.教学重难点教学重难点重点重点 结合上节知识解决汽车变速直线运动的问题结合上节
4、知识解决汽车变速直线运动的问题.难点难点 以以“不变代变不变代变”的思想方法，定积分的概念的思想方法，定积分的概念.汽车以速度汽车以速度v作匀速直作匀速直线运动时，经过时间线运动时，经过时间t所行所行驶的路程为驶的路程为s=vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为的速度为 (t的单位：的单位：h，v的单位：的单位：km/h)，那么它在，那么它在 这这段时间内行驶的路程段时间内行驶的路程s（单位：（单位：km）是多少？）是多少？2v(t)=-t+20t1 与求曲边梯形面积相似，我们采取与求曲边梯形面积相似，我们采取“以不变代变以不变代变”的方法，把的方法，把求
5、变速直线求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题动的路程问题.将区间将区间0,1等分成等分成n个小区间，在每个小区间上个小区间，在每个小区间上.由于由于v(t)的变化很小的变化很小.可以认为汽车近似做匀速直线运动，从而求得汽车在可以认为汽车近似做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得每个小区间上行驶路程的近似值，再求和得s的近似值，的近似值，最后让最后让n趋向于无穷大就得到趋向于无穷大就得到s的精确值的精确值.1T2Txoi1tit1it 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个分点，将它个分点
6、，将它等分成等分成n个小区间：个小区间：112n-10,1nnnn 记第记第i i个区间为个区间为 ，其长度为：，其长度为：i-1i,i=1,2,nnnii-11 t=-=nnn 把汽车在时间段把汽车在时间段 上行驶的路程上行驶的路程分别记作：分别记作：112n-10,1nnnn nii=1S=S12n S,S,S 显然有显然有 当当n很大，即很大，即 很小时，在区间很小时，在区间 上，函数上，函数 的变化值很小，近似地等于一个常数的变化值很小，近似地等于一个常数.从物理意义上看，就是汽车在时间段从物理意义上看，就是汽车在时间段 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻上的速度变化很小，不妨认
7、为它近似地以时刻 处的处的速度作匀速行驶速度作匀速行驶.i-1i,nn t2v(t)=-t+2i-1ni-1i,i=1,2,nnn 2ii2i-1i-11 s=s=v t=-+2nnni-112=-+i=1,2,nnnn在区间在区间 上，近似地认为上，近似地认为 即即在局部小范在局部小范围内认为围内认为“以匀速代变速以匀速代变速”.i-1i,nn2i-1i-1v=-+2nn 由近似代替求得：由近似代替求得：nnnii=1i=12ni=12222233i-1ss=s=v tni-112=-+nnn111n-11=-0-+2nnnnn1=-1+2+n-1+2n1(n-1)n(2 n-1)=-+2n
8、6111=-1-1-+23n2 n nnnni=1n1i-1s=lim s=limvnn1115=lim-1-1-+2=3n2n3 当当n趋向于无穷大，即趋向于无穷大，即 趋向于趋向于0时，时，趋向于趋向于s，从而有，从而有n111s=-1-1-+23n2n t 结合求曲线梯形面积的过程，你认为汽车行驶结合求曲线梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程的路程s和由直线和由直线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所所围成的曲边梯形的面积有什么关系？围成的曲边梯形的面积有什么关系？2v(t)=-t+2 由于由于 在数值上等于下图所有小矩形的面积之在数值上等于下图所有小矩形的面积之和和.其极限就是由直线
9、其极限就是由直线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所围成的曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在所围成的曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上等于由直线数值上等于由直线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积.ns2v(t)=-t+22v(t)=-t+22 2v v=-t t+2 2xoya.一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为为 ，那么我们也可以采用分割、近似代替、，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在求和、取极限的方法，求出它在 内的位移内的位移s.v=v(t)atb 我想到
10、了我想到了单位时间通过的路程例题1 小王驱车到小王驱车到80km外的一个小镇，共用了外的一个小镇，共用了2个小个小时，时，(km/h)为汽车行驶的平均速度，为汽车行驶的平均速度，然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在不停地然而车速器显示的速度（瞬时速度）却在不停地变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算汽车变化，因为汽车作的是变速运动，如何计算汽车行驶的瞬时速度呢行驶的瞬时速度呢?s80v=40t2一般地：一般地：设设S是某一物体从某一选定时刻到时刻是某一物体从某一选定时刻到时刻t 所走过的路所走过的路程，则程，则S是是t 的一个函数的一个函数下面讨论物体在任一时刻下面讨论物体在任一时刻t0 的的
11、瞬时速度瞬时速度.S=S(t)00t,t+t00 S=St+t-StsO0tstts000St+t-St Sv=t t瞬时速度内的内的平均速度平均速度为为 t tt 很小时，速度的变化不大，可以以匀速代替很小时，速度的变化不大，可以以匀速代替.0v tt0=lim vt0S=limt00t0S t+t-S t=limt 越小，平均速度越小，平均速度 就越接近于时刻就越接近于时刻 的瞬时速的瞬时速度令度令 取极限，取极限，得到得到瞬时速度瞬时速度 tv0 0t t t00vt 局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似
12、值过渡到瞬时速度然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值的精确值.21sgt,t0,102 一小球做自由落体运动，一小球做自由落体运动，其运动方程为其运动方程为研究研究0tt t例题2 考察小球在考察小球在 s 时的瞬时速度时的瞬时速度 .v(2)t=2 tsvtt1.5,2 1.99,2 1.9999,2 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2019.62,2.001 0.001 19.605 2,2.01 0.01 19.649 22.050 0.5 2,2.5 其变化情况见下表：从表上可以看出，不同时间段上的平均速度从表上可以看出，不
13、同时间段上的平均速度不相等，当时间段不相等，当时间段 很小时，平均速度很小时，平均速度 很接很接近某一确定的值近某一确定的值19.6(m/s)，即小球在，即小球在 s时的时的瞬时速度为：瞬时速度为：tvt=2v(2)=1 9.6 m/s.你能用学过的知识计算你能用学过的知识计算出来吗？出来吗？相关实例（1）分割）分割1012n-1n2T=t t t t t=T1 iiitttiiitvs )(（3）求和）求和iinitvs )(1（4）取极限）取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 （2）取近似）取近似课堂小结课堂小结 若做为整体来看，物体做若做为整体来看，物体做变速直线运
14、动变速直线运动，求路，求路程程.没有现成公式，与上例类似，没有现成公式，与上例类似，把时间间隔分成把时间间隔分成若干小段若干小段，在每一小段时间间隔内，近似地认为速，在每一小段时间间隔内，近似地认为速度不变，用度不变，用匀速直线运动代替，求出各小段的路程匀速直线运动代替，求出各小段的路程再相加，得到路程的近似值，最后通过对时间的无再相加，得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分求得路程的精确值限细分求得路程的精确值课堂练习课堂练习 设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由推动活塞向右移动一段距离，若气体
15、体积由 变至变至 ，求，求气体压力所做的功（如下图）气体压力所做的功（如下图）.O S 1 S 2 S 1 1V V2 2V V 气体膨胀为等温过程，所以气体压强为气体膨胀为等温过程，所以气体压强为 (气体体积，气体体积，常数），而活塞上的总压力常数），而活塞上的总压力为为：C QCF=P Q=VS，CP=VVC课堂答案课堂答案（活塞的截面积，活塞的截面积，为活塞移动的距离，）以为活塞移动的距离，）以 与与 表表示活塞的初始与终止位置，于是得功为示活塞的初始与终止位置，于是得功为QSVSQ1S2S22112121SSSSVVV2V11W=F dS=CdSS1=CdVVV=C lnV=C ln.
16、V教材习题答案教材习题答案2ii21 s=s=v t=-+2n12=-+i=1,2,nnniinnin 1、解：、解：能用能用.nnnii=1i=12ni=12223322ss=s=v t12=-+nn1111=-0-ininnn1+2+n(n+1)n(2 n+3)+2nnnn1=-+2n1=-+2n6131+1+n2 n1=-+23 nnnni=1nin131+1+n2n1s=lim s=limvn15=lim-+2=33 所以能用，求得的极限仍是所以能用，求得的极限仍是 .仍是仍是由直由直线线t=0，t=1,v=0和曲线和曲线 所围成的所围成的曲边梯形的面积曲边梯形的面积.532v(t)=-t+2（1）分割：将）分割：将0，2等分，等分，（2）（3）求和：）求和：(4)取极限：取极限：i-1i-1 v(t)=i=1 nn取取2nniii=ni=n(i-1)2v(t)t=-+5.nn22222 2n-14n-11122(n-1)1.=-(+)+10=-+10nnnnn6nii-1ii-1t=,t=i=1 nnn 2nn-1n2 n-112 2lim-+1 0=n6 n32、解：、解：
