1、高考微专题九平面几何知识在立体几何中的高考微专题九平面几何知识在立体几何中的应用应用 在使用综合几何方法解决立体几何问题时在使用综合几何方法解决立体几何问题时,在空间几何体的某个面上往在空间几何体的某个面上往往需要运用平面几何知识得出需要的结论往需要运用平面几何知识得出需要的结论,下面我们择要介绍平面几何下面我们择要介绍平面几何知识在立体几何中的应用知识在立体几何中的应用.应用一三角形中位线定理应用一三角形中位线定理【例【例1 1】如图如图,三棱柱三棱柱ABC-ABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,点点M,NM,N分别为分别为A A1 1C C1 1,A,A1 1B B的中点的中点
2、.设平面设平面MNBMNB1 1与平面与平面BCCBCC1 1B B1 1的交线为的交线为l,l,求证求证:MNl:MNl.思路点拨思路点拨:思路思路1.1.证明证明MNMN平面平面BCCBCC1 1B B1 1;思路思路2.2.证明证明MNMN所在的一个平面平所在的一个平面平行平面行平面BCCBCC1 1B B1 1.证明证明:法一法一(线面平行的判定和性质方法线面平行的判定和性质方法)连接连接BCBC1 1,在在A A1 1BCBC1 1中中,点点M,NM,N分别为分别为A A1 1C C1 1,A,A1 1B B的中点的中点,所以所以MNCMNC1 1B,B,又又MNMN 平面平面BCC
3、BCC1 1B B1 1,C,C1 1B B平面平面BCCBCC1 1B B1 1,所以所以MNMN平面平面BCCBCC1 1B B1 1,又因为又因为MNMN平面平面MNBMNB1 1,平面平面MNBMNB1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1=l,=l,所以所以MNl.MNl.法二法二(面面平行的判定和性质方法面面平行的判定和性质方法)取取A A1 1B B1 1的中点的中点P,P,连接连接MP,NP.MP,NP.在在A A1 1B B1 1C C1 1中中,点点M,PM,P分别为分别为A A1 1C C1 1,A,A1 1B B1 1的中点的中点,所以所以MPCMPC1 1B B1
4、 1,又因为又因为MPMP 平面平面BCCBCC1 1B B1 1,C,C1 1B B1 1平面平面BCCBCC1 1B B1 1,所以所以MPMP平面平面BCCBCC1 1B B1 1,同理可证同理可证NPNP平面平面BCCBCC1 1B B1 1.又因为又因为MPNP=P,MPMPNP=P,MP平面平面MNP,NPMNP,NP平面平面MNP,MNP,所以平面所以平面MNPMNP平面平面BCCBCC1 1B B1 1,又因为又因为MNMN平面平面MNP,MNP,所以所以MNMN平面平面BCCBCC1 1B B1 1.又因为又因为MNMN平面平面MNBMNB1 1,平面平面MNBMNB1 1平
5、面平面BCCBCC1 1B B1 1=l,=l,所以所以MNl.MNl.反思归纳反思归纳 三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用三角形的中位线定理是立体几何中证明线线平行最常用的一个定理的一个定理,通过找中点通过找中点,连接中点得出三角形的中位线连接中点得出三角形的中位线,达到证明线达到证明线线平行的目的线平行的目的,进一步实现证明线面平行、面面平行的目的进一步实现证明线面平行、面面平行的目的.应用二平行四边形的判定与性质应用二平行四边形的判定与性质【例【例2 2】如图为一简单组合体如图为一简单组合体,其底面其底面ABCDABCD为正方形为正方形,PD,PD平面平面ABCD,ECAB
6、CD,ECPD,PD,且且PD=AD=2EC=2,NPD=AD=2EC=2,N为线段为线段PBPB的中点的中点.证明证明:NEPD.:NEPD.思路点拨思路点拨:选取选取BDBD中点中点,证明四边形证明四边形NFCENFCE为平行四边形为平行四边形.反思归纳反思归纳 立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相立体几何中通常是先证明一个四边形的一组对边平行且相等等,判定该四边形为平行四边形判定该四边形为平行四边形,则该四边形的另一组对边平行则该四边形的另一组对边平行.也经常也经常运用平行四边形的对角线互相平分运用平行四边形的对角线互相平分,判定线段的中点判定线段的中点.应用三勾股定理及逆
7、定理应用三勾股定理及逆定理(1)(1)求证求证:FP:FP平面平面A A1 1EB;EB;(2)(2)求证求证:EFA:EFA1 1B.B.思路点拨思路点拨:在未折叠的图形中通过计算在未折叠的图形中通过计算,证明证明AFAF2 2=AE=AE2 2+EF+EF2 2,从而证明从而证明EFAE,EFAE,再结合立体图形寻找线线垂直再结合立体图形寻找线线垂直,证明线面垂直后得出结论证明线面垂直后得出结论.(2)(2)不妨设正三角形不妨设正三角形ABCABC的边长为的边长为3,3,则则AE=1,AF=2,AE=1,AF=2,又因为又因为EAF=60EAF=60,所以所以EFEF2 2=AE=AE2
8、2+AF+AF2 2-2AE-2AEAFcosEAFAFcosEAF=1=12 2+2+22 2-2-21 12cos 602cos 60=3,=3,所以所以EF=,EF=,因为在因为在AEFAEF中中,AF,AF2 2=AE=AE2 2+EF+EF2 2,所以所以EFAE,EFAE,即即EFAB.EFAB.则在图则在图2 2中中,有有EFAEFA1 1E,EFBE,E,EFBE,因为因为A A1 1EBE=E,AEBE=E,A1 1E E平面平面A A1 1EB,BEEB,BE平面平面A A1 1EB,EB,所以所以EFEF平面平面A A1 1EB,EB,又又A A1 1B B平面平面A A
9、1 1EB,EB,所以所以EFAEFA1 1B.B.3反思归纳反思归纳 当一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和时当一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和时,该该三角形为直角三角形三角形为直角三角形,该结论为勾股定理的逆定理该结论为勾股定理的逆定理,是立体几何中证明是立体几何中证明共面的直线互相垂直的常用方法共面的直线互相垂直的常用方法.应用四等腰三角形、正三角形的性质应用四等腰三角形、正三角形的性质【例【例4 4】如图所示如图所示,在四棱锥在四棱锥P P-ABCDABCD中中,四边形四边形ABCDABCD为菱形为菱形,PADPAD为等边为等边三角形三角形,且且DAB=60DAB=60
10、,求证求证:ADPB.:ADPB.思路点拨思路点拨:三角形三角形ABD,PADABD,PAD均为正三角形均为正三角形,取取ADAD的中点的中点E,E,连接连接PE,EB,PE,EB,则则PE,EBPE,EB均与均与ADAD垂直垂直,证明证明ADAD平面平面PBE,PBE,从而证得结论从而证得结论.证明证明:取取ADAD的中点的中点E,E,连接连接PE,EB,PE,EB,因为因为PADPAD为等边三角形为等边三角形,E,E为为ADAD的中点的中点,所以所以PEAD.PEAD.因为四边形因为四边形ABCDABCD为菱形为菱形,且且DAB=60DAB=60,E,E为为ADAD的中点的中点,所以所以B
11、EAD.BEAD.PEBE=E,PEBE=E,所以所以ADAD平面平面PBE,PBE,又又PBPB平面平面PBE,PBE,所以所以ADPB.ADPB.反思归纳反思归纳 等腰三角形底边上的中线垂直底边等腰三角形底边上的中线垂直底边,在立体几何中常用该结论在立体几何中常用该结论得出线线垂直得出线线垂直.应用五菱形的性质应用五菱形的性质【例【例5 5】如图如图(1),(1),在边长为在边长为4 4的菱形的菱形ABCDABCD中中,DAB=60,DAB=60,点点E,FE,F分别是分别是边边CD,CBCD,CB的中点的中点,ACEF=O.,ACEF=O.沿沿EFEF将将CEFCEF翻折到翻折到PEF,
12、PEF,连接连接PA,PB,PD,PA,PB,PD,得得到如图到如图(2)(2)的五棱锥的五棱锥P P-ABFED,ABFED,且且PB=.PB=.(1)(1)求证求证:BD:BD平面平面POA;POA;10思路点拨思路点拨:(1)(1)利用菱形的对角线互相垂直利用菱形的对角线互相垂直;(1)(1)证明证明:因为点因为点E,FE,F分别是边分别是边CD,CBCD,CB的中点的中点,所以所以BDEF.BDEF.因为菱形因为菱形ABCDABCD的对角线互相垂直的对角线互相垂直,所以所以BDAC.BDAC.所以所以EFAC.EFAC.所以所以EFAO,EFPO.EFAO,EFPO.因为因为AOAO平
13、面平面POA,POPOA,PO平面平面POA,AOPO=O,POA,AOPO=O,所以所以EFEF平面平面POA.POA.所以所以BDBD平面平面POA.POA.(2)(2)求四棱锥求四棱锥P-BFEDP-BFED的体积的体积.思路点拨思路点拨:(2)(2)通过勾股定理逆定理证明通过勾股定理逆定理证明POBO.POBO.反思归纳反思归纳 菱形是四边长度相等的平行四边形菱形是四边长度相等的平行四边形,其对角线互相垂直平分其对角线互相垂直平分,既可得出线线垂直既可得出线线垂直,也可得出中点也可得出中点.特别是有一个内角为特别是有一个内角为6060的菱形的菱形,是是由两正三角形组成的由两正三角形组成
14、的,具有更特殊的性质具有更特殊的性质.应用六矩形、正方形的性质应用六矩形、正方形的性质【例【例6 6】导学号导学号 49612205 49612205 如图如图,在四棱锥在四棱锥P P-ABCDABCD中中,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为2 2的正方形的正方形,侧面侧面PADPAD底面底面ABCD,ABCD,且且PA=PD=AD,E,FPA=PD=AD,E,F分别为分别为PC,BDPC,BD的中点的中点.(1)(1)求证求证:EF:EF平面平面PAD;PAD;22思路点拨思路点拨:(1)F(1)F也是也是ACAC的中点的中点;证明证明:(1)(1)连接连接ACBD=F,ABCDACB
15、D=F,ABCD为正方形为正方形,F,F为为ACAC中点中点,E,E为为PCPC中点中点.所以在所以在CPACPA中中,EFPA,EFPA,且且PAPA平面平面PAD,EFPAD,EF 平面平面PAD,PAD,所以所以EFEF平面平面PAD.PAD.(2)(2)求证求证:平面平面PABPAB平面平面PDC.PDC.思路点拨思路点拨:(2)(2)证明证明PAPA平面平面PDC.PDC.反思归纳反思归纳 矩形的四个内角均为直角矩形的四个内角均为直角,两组对边分别平行两组对边分别平行,对角线互相对角线互相平分平分,在正方形中对角线互相垂直平分在正方形中对角线互相垂直平分,利用这些性质可以得出垂直关利
16、用这些性质可以得出垂直关系、平行关系、中点等需要的结论系、平行关系、中点等需要的结论.应用七梯形的性质与有关计算应用七梯形的性质与有关计算【例【例7 7】如图如图,正方形正方形ADEFADEF与梯形与梯形ABCDABCD所在的平面互相垂直所在的平面互相垂直,ADCD,AB,ADCD,ABCD,AB=AD=2,CD=4,MCD,AB=AD=2,CD=4,M为为CECE的中点的中点.(1)(1)求证求证:BM:BM平面平面ADEF;ADEF;思路点拨思路点拨:(1)(1)取取DEDE中点中点,寻找平行四边形寻找平行四边形;(2)(2)求证求证:平面平面BDEBDE平面平面BEC.BEC.思路点拨思
17、路点拨:(2)(2)证明证明BCBD.BCBD.反思归纳反思归纳 梯形只有一组对边平行梯形只有一组对边平行,在立体几何中经常出现两种特殊的在立体几何中经常出现两种特殊的梯形梯形.(1).(1)直角梯形直角梯形,其中梯形的上底等于直角腰长其中梯形的上底等于直角腰长,等于下底长度的二等于下底长度的二分之一分之一,该梯形的一条对角线垂直非直角腰该梯形的一条对角线垂直非直角腰;(2);(2)等腰梯形等腰梯形,上底等于下上底等于下底的二分之一底的二分之一,底角等于底角等于6060,该类梯形的两条对角线垂直对应的腰该类梯形的两条对角线垂直对应的腰.应用八三角形的相似与全等应用八三角形的相似与全等【例【例8
18、 8】如图如图,在三棱锥在三棱锥S S-ABCABC中中,SA,SA底面底面ABC,AC=AB=SA=2,ACAB,EABC,AC=AB=SA=2,ACAB,E是是BCBC的中点的中点,F,F在在SESE上上,且且SF=2FE.SF=2FE.求证求证:AF:AF平面平面SBC.SBC.思路点拨思路点拨:利用已知线段的比例关系利用已知线段的比例关系,证明证明EFAEFAEAS,EAS,从而证得从而证得AFSE.AFSE.反思归纳反思归纳 利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理利用相似三角形、全等三角形的判定定理和性质定理,证明证明角的相等角的相等,求出线段长度之间的数量关系等求出线段长度
19、之间的数量关系等.应用九圆的有关知识应用九圆的有关知识【例【例9 9】导学号导学号 49612206 49612206 如图如图,E,E是以是以ABAB为直径的半圆上异于为直径的半圆上异于A,BA,B的一的一点点,矩形矩形ABCDABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面所在平面垂直于该半圆所在的平面,且且AB=2AD=2.AB=2AD=2.(1)(1)求证求证:EAEC;:EAEC;思路点拨思路点拨:(1)(1)利用半圆上的圆周角为直角得出线线垂直利用半圆上的圆周角为直角得出线线垂直;(1)(1)证明证明:因为矩形因为矩形ABCDABCD平面平面ABE,CBABE,CB平面平面ABCDABCD且
20、且CBAB,CBAB,所以所以CBCB平面平面ABE,ABE,从而从而AEBC,AEBC,又因为在半圆又因为在半圆ABEABE中中,AB,AB为直径为直径,所以所以AEB=90AEB=90,即即AEBE,AEBE,由由知知AEAE平面平面BCE,BCE,故有故有EAEC.EAEC.(2)(2)设平面设平面ECDECD与半圆弧的另一个交点为与半圆弧的另一个交点为F,EF=1,F,EF=1,求三棱锥求三棱锥E-ADFE-ADF的体积的体积.思路点拨思路点拨:(2)(2)等积转化等积转化.反思归纳反思归纳 在与圆柱、圆锥、球等旋转体有关的问题中经常用到圆的在与圆柱、圆锥、球等旋转体有关的问题中经常用到圆的知识知识,主要有主要有:(1):(1)半圆上的圆周角是直角半圆上的圆周角是直角;(2);(2)同弧上的圆心角为圆周角同弧上的圆心角为圆周角的二倍的二倍.
