1、确定性现象与随机现象确定性现象与随机现象2在自然界与经济领域内有两类现象:一类是条件完全决定结果的现象,称为确定性现象确定性现象如当边长为2m时,正方形的面积一定等于4m2另一类是条件不能完全决定结果的现象,称为非确非确定性现象定性现象,或称为随机现象随机现象如掷一枚均匀硬币,可能出现正面,也可能不出现正面随机现象随机现象3随机现象都带有不确定性,但这仅仅是随机现象的一个方面随机现象还有规律性的另一个方面,如在相同条件下,对随机现象进行大量观测,其可能结果就会出现某种规律性等概率论是研究随机现象规律性的一门科学随机试验随机试验4在概率论中,做事情称为试验试验,若试验在相同条件下可以重复进行,且
2、每次试验的可能结果不止一个在每次试验前不能准确预言试验所出现的结果,但可以知道可能出现的全部结果,则称具有以上两个特点的试验为随机试验随机试验随机事件随机事件5随机试验简称为试验,每次试验的一个可能结果称为基本事件基本事件,记作1,2,.在试验中,可能出现也可能不出现的现象称为随机事随机事件件,简称为事件事件,它是一些基本事件的集合,通常用大写字母A,B,C等表示显然显然,基本事件是随机事件的特殊情况基本事件是随机事件的特殊情况若试验的结果是构成事件A的某个基本事件,则称事件A发生;否则称事件A不发生必然事件与不可能事件必然事件与不可能事件6在每次试验中,一定发生的事件称为必然事件必然事件,显
3、然它是全部基本事件的集合,当然记作在每次试验中,一定不发生的事件称为不可能事件不可能事件,显然它是空集,当然记作必然事件与不可能事件虽然不是随机事件,但是为了讨论问题方便,把它们看作是随机事件的极端情况例例1 17做试验:投掷一颗均匀骰子一次.那么:(1)这个试验在相同条件下可以重复进行,且每次试验的可能结果为6个:出现1点、出现2点、出现3点、出现4点、出现5点及出现6点在每次试验前不能准确预言试验所出现的点数,但知道可能出现的全部点数由于具有以上两个特点,因此这个试验是随机试验例例1 18(2)这个试验共有6个基本事件:设基本事件1表示出现1点,基本事件2表示出现2点,基本事件3表示出现3
4、点,基本事件4表示出现4点,基本事件5表示出现5点,基本事件6表示出现6点.设事件A表示出现偶数点,它是基本事件2,4,6的集合,于是事件A=2,4,6若试验的结果是4,则称事件A发生;若试验的结果是1,则称事件A不发生事件与几何之间的联系事件与几何之间的联系9考虑试验E:往长方形桌面上任意投掷小球,且小球一定落在长方形桌面内长方形桌面内的一个点对应一个基本事件,长方形桌面对应必然事件若小球落入区域A内,则称事件A发生;否则称事件A不发生事件与几何之间的联系事件与几何之间的联系10这个试验建立了事件与集合之间的联系,给出了事件的几何说明,如图事件之间的关系事件之间的关系11在事件之间的关系中,
5、最重要的有三种:1.1.包含关系包含关系若事件B发生必然导致事件A发生,则称事件A包含B,记作AB.2.2.相等关系相等关系若事件A与B是同一个事件,则称事件A与B相等,记作A=B.3.3.互斥关系互斥关系若事件A与B不可能同时发生,则称事件A与B互斥互斥关系互斥关系12在试验E中,若区域A与B分离,即它们没有公共部分,这时小球不可能既落入区域A内又同时落入区域B内意味着事件A与B不可能同时发生,因此事件A与B互斥说明区域A与B分离对应事件A与B互斥,如图事件之间的运算事件之间的运算13事件A与B中至少有一个事件发生,即事件A发生或事件B发生,这个事件称为事件A与B的和事件,记作A+B1.1.
6、和事件和事件事件之间的运算事件之间的运算14在试验E中,当小球落入区域A与B的并集AB内,即小球至少落入区域A与B中的一个区域内意味着事件A与B中至少有一个事件发生,因此事件A与B的和事件A+B发生说明区域A与B的并集AB对应事件A与B的和事件A+B,和事件A+B是由事件A与B所包含的所有基本事件构成的集合,如图事件之间的运算事件之间的运算15事件A与B同时发生,即事件A发生且事件B发生,这个事件称为事件A与B的积事件,记作AB2.2.积事件积事件事件之间的运算事件之间的运算16在试验E中,当小球落入区域A与B的交集AB内,即小球落入区域A与B的公共部分内意味着事件A与B同时发生,因此事件A与
7、B的积事件AB发生说明区域A与B的交集AB对应事件A与B的积事件AB,积事件AB是由事件A与B所包含的所有公共基本事件构成的集合,如图事件之间的运算事件之间的运算173.3.对立事件对立事件事件之间的运算事件之间的运算18互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件19必须特别强调的是必须特别强调的是:互斥事件与对立事件不是互斥事件与对立事件不是一回事一回事事件A,B互斥,意味着在任何一次试验中,事件A,B不可能同时发生,从而积事件AB是不可能事件,有AB=互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件20互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件21 这说明互斥事件与对立事件的相同之处在于:积事积事件都是不可能事件
8、件都是不可能事件 它们的不同之处在于:在一次试验中在一次试验中,互斥事件有互斥事件有可能都不发生可能都不发生,但对立事件中一定有一个事件发生但对立事件中一定有一个事件发生所以对立事件一定互斥所以对立事件一定互斥,但互斥事件不一定对立但互斥事件不一定对立例例2 222甲、乙各射击一次,设事件A表示甲击中目标,事件B表示乙击中目标,那么:(1)甲、乙各射击一次,可以依次经过两个步骤:第1个步骤是甲射击,有击中目标与不击中目标两种可能 第2个步骤是乙射击,也有击中目标与不击中目标两种可能例例2 223根据预备知识乘法原理,每次试验共有22=4个可能结果,即试验共有4个基本事件:AB甲击中目标且乙击中
9、目标(两人都击中目标)例例2 224因此它表示甲、乙两人中恰好有一人击中目标当然也表示甲、乙两人中恰好有一人不击中目标,包含2个基本事件例例2 225和事件A+B表示甲、乙两人中至少有一人击中目标包括两人中恰好有一人击中目标与两人都击中目标两类情况包含3个基本事件,有关系式随机事件规律性随机事件规律性26随机事件在一次试验中是否发生是不确定的,说明随机现象具有不确定性,这仅仅是一个方面更重要的另一个方面是随机现象具有规律性,可以通过大量重复试验揭示随机事件发生的规律随机事件规律性随机事件规律性27 对于必然事件必然事件,有m=n,从而必然事件发生的频率为1 对于不可能事件不可能事件,有m=0,
10、从而不可能事件发生的频率为0 而一般事件一般事件发生的频率必在0与1之间随机事件规律性随机事件规律性28做投掷一枚均匀硬币试验,观察出现正面这个事件发生的频率,若试验次数较少,很难找到有什么规律;但若试验次数增多,就可以找到它的规律 如蒲丰(Buffon)投掷4040次,其中出现正面为2048次,从而出现正面的频率为0.5069 皮尔逊(Pearson)投掷24000次,其中出现正面为12012次,从而出现正面的频率为0.5005随机事件规律性随机事件规律性29更多的试验表明:当投掷次数n很大时,出现正面的频率总在0.5附近摆动,并且随着投掷次数的增加,这种摆动的幅度是很微小的说明出现正面的频
11、率具有稳定性出现正面的频率具有稳定性,确定的常数0.5就是出现正面频率的稳定值用它描述出现正面这个事件发生的可能性大小用它描述出现正面这个事件发生的可能性大小,揭揭示出现正面这个事件发生的规律示出现正面这个事件发生的规律概率的定义概率的定义30定义定义1.11.1在多次重复试验中,若事件A发生的频率稳定在确定常数p附近摆动,且随着试验次数的增加,这种摆动的幅度是很微小的,则称确定常数p为事件A发生的概概率率,记作P(A)=p概率的定义概率的定义31事件A发生的概率为p,说明在n次重复试验中,事件A发生的次数大约为np次,同时也反映了在一次试验中事件A发生可能性的大小如在投掷均匀硬币试验中,由于
12、出现正面的频率稳定在确定常数0.5附近摆动,于是出现正面的概率为0.5，说明若重复试验100次,则出现正面的次数为50次左右同时也意味着在一次试验中出现正面的可能性为0.5,即有一半的把握出现正面当然,只有投掷完毕,才能确定出现正面或出现反面概率的定义概率的定义32由于任何事件A发生的频率大于等于零且小于等于1,因而它发生的概率当然也大于等于零且小于等于1 其中必然事件发生的频率为1,它发生的概率当然也为1 不可能事件发生的频率为零,它发生的概率当然也为零概率的性质概率的性质33性质性质10P(A)1(A为任意事件为任意事件)性质性质2P()=1(为必然事件为必然事件)性质性质3P()=0(为
13、不可能事件为不可能事件)概率与频率34在试验E中,设长方形桌面的面积为S,区域A的面积为SA,如图事件A发生的概率就是小球落入区域A内可能性的大小,由于任意投掷小球,因而小球落入区域A内可能性的大小取决于区域A面积SA在长方形桌面面积S中所占的比重概率与频率35若这个比重越大,则小球落入区域A内的可能性就越大;若这个比重越小,则小球落入区域A内的可能性就越小于是事件A发生的概率等于区域A面积SA在长方形桌面面积S中所占的比重,即概率概率与频率36尽管概率是通过大量重复试验中频率的稳定性定义的,但不能认为概率取决于试验一个事件发生的概率完全由事件本身决定,是客观存在的,可以通过试验把它揭示出来在
14、许多实际问题中,无法根据概率定义得到事件发生的概率,往往采用在大量重复试验中事件发生的频率作为概率近似值概率与频率37如在一批产品中任意抽查100个产品,其中有92个正品,那么正品的频率为0.92这个频率可以作为这批产品中正品概率的近似值即在这批产品中任取1个产品是正品的概率可以认为是0.92古典概型古典概型38但是也有一类简单而又常见的实际问题,可以通过逻辑思维直接计算概率,而不必利用频率,这种概率问题的类型是概率论最早研究的内容,称为古典概型古典概型古典概型具有两个特征古典概型具有两个特征:特征1基本事件的总数为有限个 特征2每个基本事件发生的可能性是等同的古典概型古典概型39设古典概型的
15、一个试验共有n个基本事件,而事件A包含m个基本事件注意到在一次试验中,恰好只有一个基本事件发生,且每个基本事件发生的可能性是等同的又事件A包含m个基本事件,意味着试验结果若是这m个基本事件中的某个基本事件,则事件A发生,于是事件A发生可能性的大小取决于它所包含的m个基本事件在所有n个基本事件中所占的比重古典概型古典概型40在古典概型的一个试验在古典概型的一个试验中中,如何计算所有基本事如何计算所有基本事件的个数件的个数?如何计算事件如何计算事件A包含基本事件的个数包含基本事件的个数?古典概型古典概型41考虑到基本事件是每次试验的一个可能结果,而每次试验的一个可能结果对应于完成试验要求的一种方法
16、所以所有基本事件的个数就是完成试验要求所有方法的种数,事件A包含基本事件的个数就是完成事件A方法的种数,它是完成试验要求所有方法种数的一部分古典概型古典概型42 若试验属于元素不重复的排列问题,则归结为计算排列数 若试验属于元素可重复的排列问题,则归结为计算元素可重复排列的个数 若试验属于组合问题,则归结为计算组合数 对于一般情况,则根据预备知识基本原理计算相应方法的种数例例3 343一部一部4卷的文集任意摆放在书架上卷的文集任意摆放在书架上,求各卷书自左向求各卷书自左向右或自右向左的卷号恰好为右或自右向左的卷号恰好为1,2,3,4的概率的概率又由于是任意摆放,从而每个基本事件发生的可能性是等
17、同的,说明这个问题属于古典概型例例3 344设事件A表示各卷书自左向右或自右向左的卷号恰好为1,2,3,4,考虑到完成事件A的放法有2种,即事件A包含2个基本事件根据古典概型计算概率的公式,得到概率例例4 445邮政大厅有邮政大厅有5个邮筒个邮筒,现将两封信逐一随机投入邮筒现将两封信逐一随机投入邮筒,求第一个邮筒内恰好有一封信的概率求第一个邮筒内恰好有一封信的概率解:注意到试验是将两封信逐一随机投入邮筒,必须依次经过两个步骤:第1个步骤是将第一封信投入5个邮筒中的1个邮筒,有5种方法 第2个步骤是将第二封信投入5个邮筒中的1个邮筒,也有5种方法例例4 446若以邮筒作为元素,则试验相当于从5个
18、不同元素中每次取出2个元素的元素可重复排列根据预备知识乘法原理,完成试验共有55=52=25种方法,即试验共有25个基本事件又由于是随机投入,从而每个基本事件发生的可能性是等同的,说明这个问题属于古典概型例例4 447设事件A表示第一个邮筒内恰好有一封信,完成事件A必须依次经过两个步骤:第1个步骤是从两封信中挑出一封信投入第一个邮筒,有2种方法 第2个步骤是将剩下的一封信投入其余4个邮筒中的1个邮筒,有4种方法例例4 448根据预备知识乘法原理,完成事件A有24=8种方法,即事件A包含8个基本事件根据古典概型计算概率的公式,得到概率例例5 549口袋里装有4个黑球与3个白球,任取3个球,求:(
19、1)其中恰好有1个黑球的概率(2)其中至少有2个黑球的概率解:注意到试验是从7个球中任取3个球,在取球时并不计较所取出球的先后顺序,即不需要将它们排队例例5 550又由于是任意抽取,从而每个基本事件发生的可能性是等同的,说明这个问题属于古典概型(1)设事件A表示任取3个球中恰好有1个黑球,即所取3个球中有1个黑球与2个白球,完成事件A必须依次经过两个步骤:例例5 551根据古典概型计算概率的公式,得到概率例例5 552(2)设事件B表示任取3个球中至少有2个黑球,包括恰好有2个黑球与恰好有3个黑球两类情况,完成事件B有两类方式:例例5 553根据古典概型计算概率的公式,得到概率条件概率条件概率
20、54定义定义1.21.2在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率称为事件B对A的条件概率条件概率,记作P(B|A)条件概率条件概率55条件概率P(B|A)同样满足概率的基本性质,相应地,也称概率P(B)为无条件概率注意注意:在事件在事件A已经发生的条件下已经发生的条件下,事件事件A就是必然事件就是必然事件在试验E中,设区域A的面积为SA,区域A与B交集AB的面积为SAB,如图条件概率条件概率56在事件A已经发生的条件下,事件A就是必然事件,即小球一定落入区域A内,这时事件B发生意味着小球落入区域A与B的交集AB内说明在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率就是在小球一定落入区域A内的条件下,小球落入区域A与B交集AB内可能性的大小它取决于区域它取决于区域A与与B交集交集AB的面积的面积SAB在区域在区域A面面积积SA中所占的比重中所占的比重条件概率条件概率57于是事件B对A的条件概率等于区域A与B交集AB的面积SAB在区域A面积SA中所占的比重,即条件概率例例6 658口袋里装有5个黑球与3个白球,每次任取1个球,不放回取两次.设事件A表示第一次取到黑球,事件B表示第二次取到黑球,求条件概率P(B|A)解:在事件A已经发生的条件下,事件B发生的概率意味着第一次取到黑球拿走后第二次取到黑球的概率所以条件概率59
