1、函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法本节先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法整体感知整体感知新知探究新知探究问题1我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，所以要判断一元二次方程是否有实数解，除了利用一元二次方程根的判别式，还可以利用二次函数请回忆相关内容，说说从二次函数的观点，如何判断一元二次方程是否有实数解？从二次函数的观点来看，一元二次
2、方程 的实数根就是相应二次函数 的零点，也就是二次函数 的图象与x轴的公共点的横坐标20axbxc2yaxbxc2yaxbxc新知探究新知探究问题2类比一元二次方程的实数解和相应的二次函数的零点的关系，像 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？类比二次函数的零点，也可以考虑函数 的零点，通过判断函数 的图象与x轴是否有公共点，来判断方程 是否有实数解ln26yxxln26yxxln260 xxln260 xx新知探究新知探究问题3通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？可以将这种方法推广到研究一般方程的解为此，
3、与二次函数的零点一样，我们有必要给出函数零点的定义定义：对于一般函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点（zero point）yf x 0f x yf x新知探究新知探究问题3通过上面的讨论，能否将这种利用函数观点研究方程解的方法，推广到研究一般方程的解？这样，函数 的零点就是方程 的实数解，也就是函数 的图象与x轴的公共点的横坐标 yf x 0f x yf x追问1在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？新知探究新知探究根据函数零点的定义，可以得到如下的等价关系：方程 有实数解 函数 有零点 函数 的图象与x轴有公共点 0f x yf x yf x即对于函数 的零点，其代数意义就是 的实
4、数解，其几何意义就是函数 的图象与x轴的公共点 0f x yf x yf x追问2函数零点的定义，除了能帮助我们判断方程是否有解，还能为我们求解方程的解，尤其是为那些不能用公式求解的方程的解，提供了哪些思路？新知探究新知探究求方程 的实数解，就是确定函数 的零点所以，对于不能用公式求解的方程 的实数解问题，我们可以把它与相应的函数 联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的实数解 yf x 0f x 0f x yf x追问3这种利用函数观点研究方程解的方法，蕴含着怎样的数学思想？新知探究新知探究这其中蕴含着数形结合、化归与转换、函数与方程结合的数学思想新知探究新知探究问题4要判断方
5、程是否有实数解，就要判断函数是否有零点，那么如何判断函数在其定义域的某一区间上是否存在零点呢？为了研究这个问题，我们先从熟悉的二次函数入手，你认为我们应该从哪些方面研究二次函数的零点？可以考察一个存在零点的二次函数，观察零点附近函数图象的特征，分析零点附近函数值的变化规律，然后抽象概括出其中的共性追问1对于二次函数 ，观察它的图象（右图），发现它在区间2，4上有零点这时，函数图象与x轴有什么关系？函数 的取值有什么规律？你能用 在区间2，4上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？新知探究新知探究 223f xxx f x f x新知探究新知探究在区间2，4上的零点附近，函数图象是连续不断的
6、，并且“穿过”x轴，零点左侧的图象在x轴下方，零点右侧的图象在x轴上方相应的函数 的取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0因此函数在端点x2和x4的取值异号，可用 且 来刻画图象关系和函数值规律 20f 40f追问2函数 在区间2，0上也有零点，这时，函数图象与x轴有什么关系？函数f(x)的取值有什么规律？你能用 在区间2，0上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？新知探究新知探究 223f xxx与在区间2，4上的情况类似，在区间2，0上的零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴，零点左侧的图象在x轴上方，零点右侧的图象在x轴下方相应的函数f(x)的取值在零点左侧大于0，在零点右
7、侧小于0因此函数在端点x2和x0的取值异号，可用f(2)0且f(x)0来刻画图象关系和函数值规律追问3区间2，4和区间2，0上都有零点，通过上面的分析，说说它们有什么共性？新知探究新知探究当函数图象连续不断时，在包含零点的某一段区间内，函数的图象“穿过”x轴，零点两侧的函数值符号相反，此时这个区间两个端点的函数值的乘积小于零即对于函数 ，有 223f xxx 240ff，200ff 新知探究新知探究问题5再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间内函数图象与x轴的关系，以及f(x)的取值情况阅读教科书143页“函数零点存在定理”相关内容，你能总结出函数零点存在定理的判定条件吗？函数零点存在定
8、理：如果函数 在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数 在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程 的解 yf x 0f a f b yf x 0f c 0f x 新知探究新知探究问题5再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间内函数图象与x轴的关系，以及f(x)的取值情况阅读教科书143页“函数零点存在定理”相关内容，你能总结出函数零点存在定理的判定条件吗？定理有两个判定条件：（1）在给定区间a，b上的图象连续不断；（2）0f a f b 二者缺一不可追问1你能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，为什么缺一不可吗？新知探究
9、新知探究（1），虽然函数在区间0，1上的图象连续不断，但是由于 ，所以不能够得到 在区间0，1上有零点而函数在区间0，1上也确实没零点 e1xf xx 02f 1e2f 010ff f x追问1你能举几个例子说明，函数零点存在定理的两个判定条件，为什么缺一不可吗？新知探究新知探究（2），虽然 ，但是由于函数在区间1，1上的图象不是连续不断的，所以不能够得到在区间1，1上有零点而函数在区间1，1上也确实没零点 1f xx11f 11f 110ff f x追问2从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？新知探究新知探究函数零点
10、存在定理的条件是：p：函数 在区间a，b上的图象连续不断，且 yf x 0f a f b 结论是：q：函数 在区间(a，b)内至少有一个零点 yf x因此其逆命题是：如果函数 在区间(a，b)内至少有一个零点，那么函数 在区间a，b上的图象连续不断，且 yf x yf x 0f a f b 追问2从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？新知探究新知探究考虑函数 ，该函数在区间(1，2)内明显有零点x1，但是因为在x0处函数无定义，所以在区间1，2上的图象不是连续不断的 11f xx考虑函数 ，该函数在区间(2，4)内明显
11、有零点，并且有两个零点x1和x3，但是因为 ，所以 223f xxx25f 45f 240ff追问2从充分条件与必要条件的角度分析，函数零点存在定理的条件与结论之间，应该是什么关系？你能否给出一些具体的例子来说明？新知探究新知探究所以其逆命题为假，即由函数零点存在定理的结论q不能推出其条件p所以函数零点存在定理的判定条件是充分但不必要条件追问3函数零点存在定理的结论是：函数 在区间(a，b)内至少有一个零点这是否说明，如果满足判定条件，那么函数 在区间(a，b)内就只有一个零点？请说明理由，或举例说明新知探究新知探究 yf x yf x函数零点存在定理只能确定零点存在，但不能确定只存在一个零点
12、，更不能确定零点的具体个数例如三次函数在区间0，4上的图象连续不断，且 ，但是该函数在区间(0，4)内有三个零点x1，x2和x3零点的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究 123f xxxx，04660ff*（选学）再例如三次函数 ，在区间0，3上的图象连续不断，且 ，但是该函数在区间(0，3)内有两个零点x1和x2并且在零点x1附近，函数图象不是“穿过x轴”，而是“与x轴相切”新知探究新知探究 212f xxx 03240ff*（选学）追问4：函数零点存在定理在数学分析上是“闭区间上连续函数的介值定理”的特例，是捷克数学家波尔察诺在1817年首先证明的但由于当时缺乏实数理论
13、，证明不严格，后由德国数学家魏尔斯特拉斯将这个证明严密化请利用互联网或查阅数学分析相关的大学教材，了解介值定理的证明思路新知探究新知探究例1求方程 的实数解的个数ln260 xx解：设函数 ，利用计算工具，列出函数 的对应值表如下表，并画出图象如下图 ln26f xxx yf xxy1-42-1.306 931.098 643.386 355.609 467.791 879.945 9812.079 4914.197 2新知探究新知探究一方面，由对应值表和函数图象可知，则，并且其图象在(0，)内连续由函数零点存在定理可知，函数 在区间(2，3)内至少有一个零点 20f 30f 230ff ln
14、26f xxx另一方面，对于函数 ，x(0，)，可以先将其转化为两个基本函数 与 ，由于它们在(0，)内都单调递增，所以函数 在(0，)内是增函数 ln26f xxx lng xx 26h xx f xg xh x新知探究新知探究两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解ln260 xx对于寻找函数零点所在的区间，也可以直接考虑函数的取值，因为 ，所以在区间2，3上，有 ，同样由函数零点存在定理可知，函数 在区间(2，3)内至少有一个零点 ln26f xxx 2ln22lne210f 3ln30f 230ff ln26f xxx追问：观察函数 的图象，借助计算器，你能进一步缩
15、小函数零点所在的范围吗？ln26f xxx归纳小结归纳小结问题6回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？运用函数零点存在定理时，需要注意：（2）函数零点存在定理的判定条件，是充分但不必要的也就是说，它的逆命题和否命题，都不一定成立，所以不能用它的逆命题和否命题，做出任何判断和结论（1）函数零点存在定理的两个判定条件：在给定区间a，b上的图象连续不断；二者缺一不可 0f a f b 归纳小结归纳小结问题6回顾本节课，说说运用函数零点存在定理时，需要注意些什么？运用函数零点存在定理时，需要注意：（3）函数零点存在定理只能判定在某一段区间内函数的零点存在，但是零点的个数无法确定要确定
16、零点的个数，还需要结合函数的单调性等性质，对函数进一步研究答案：不能目标检测目标检测下图中的（1）（2）（3）分别为函数 在三个不同范围的图象能否仅根据其中一个图象，得出函数 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？1同一个函数的图象在三个不同范围看到的情况都不一样，只能从图（1）观察到它与x轴有1个交点，从图（2）观察到它与x轴有2个交点，答案：不能目标检测目标检测下图中的（1）（2）（3）分别为函数 在三个不同范围的图象能否仅根据其中一个图象，得出函数 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？1从图（3）观察到它与x轴有3个交点，所以仅凭观察函数图象只能初步判断它在某个区间是否有零点，答案：不
17、能目标检测目标检测下图中的（1）（2）（3）分别为函数 在三个不同范围的图象能否仅根据其中一个图象，得出函数 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？1至于是否真的有零点，以及有几个零点，要依据函数零点存在定理和在某个区间的单调性判断目标检测目标检测利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：2（1）；（2）；（3）；（4）335f xxx 2 ln23f xxx 1e44xf xx 3234f xxxxx答案：（1）（1，2）（2）（3，4）（3）（0，1）（4）（4，3），（3，2），（2，3）再见再见17、一种美德的幼芽、蓓蕾，这是最宝贵的美德，是一切道德之母，这就是谦逊
18、;有了这种美德我们会其乐无穷。23.毅力是永久的享受。7、使用双手的是劳工，使用双手和头脑的舵手，使用双手、头脑与心灵的是艺术家，只有合作双手、头脑、心灵再加上双脚的才是推销员。8.天空吸引你亮翅飞翔，海洋召唤你扬帆启航，高山激励你奋勇攀登，平原等待你信马由疆。前路漫漫踏歌行，心生双翼待时飞。愿你鹏程万里，前途无量。9.因为我不能，所以一定要；因为一定要，所以一定能。15、未曾失败的人恐怕也未曾成功过。4、信心来自于实力，实力来自于勤奋。19、幸福越与人共享，它的价值越增加。4.高峰只对攀登它而不是仰望它的人来说才有真正意义。26.以真诚为准则是自我修养的关键，弄清楚哪些是好的言行举动，又是坚
19、持真诚的根本。6、空谈家用空谈来装饰自己，实干家用实干去创造业绩。10、每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。四、涓滴之水终可以磨损大石，不是由于它力量强大，而是由于昼夜不舍的滴坠。29.意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。8、我既没有突出的理解力，也没有过人的机智。只是在觉察那些稍纵即逝的事物并对其进行精细观察的能力上，我可能在普通人之上。7、生活，需要细心观察，更需要理性思考，从而获取鲜活而丰富的写作素材。四、涓滴之水终可以磨损大石，不是由于它力量强大，而是由于昼夜不舍的滴坠。二、我们每个人都不能抱怨自己的出身，没有好的家世，那就去创造好的家世。要知道，那些在雨里奔跑的，从来都是没有伞的孩子。11、时间是个常数，但也是个变数。勤奋的人无穷多，懒惰的人无穷少。
