1、不等关系与不等式（不等关系与不等式（2 2）教学目标教学目标 1、掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论。2、进一步巩固不等式性质定理，并能应用性质解决有关问题。教学重点：教学重点：1、不等式的性质及证明。2、不等式的性质及应用知识回顾知识回顾性质性质1：如果如果ab，那么，那么ba；如果；如果bb.性质性质1表明，把不等式的左边和右边交表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的们把这种性质称为不等式的对称性对称性。新知探究新知探究 a ab bb ba a（对称性）（对称性）性质性质2：如果如果ab，bc，
2、那么，那么ac.证明：根据两个正数之和仍为正数，得证明：根据两个正数之和仍为正数，得00ababbcbc(ab)+(bc)0 ac0 ac.这个性质也可以表示为这个性质也可以表示为cb，ba，则，则cb，则，则a+cb+c.证明：因为证明：因为ab，所以，所以ab0，因此因此(a+c)(b+c)=a+cbc=ab0，即即 a+cb+c.a ab a+cb a+cb+cb+c（可加性可加性）性质性质3表明，不等式的表明，不等式的两边都加上同一两边都加上同一个实数个实数，所得的不等式与原不等式同向，所得的不等式与原不等式同向.由性质由性质3可以得出可以得出推论推论1：不等式中的任意一项都可以把它不
3、等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。一边移到另一边。（移项法则移项法则）a+bc a+b+(b)c+(b)acb.a+bcacb.性质性质4：如果如果ab，cd，则，则a+cb+d.证明：因为证明：因为ab，所以，所以a+cb+c，又因为又因为cd，所以，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 a+cb+d.几个几个同向不等式同向不等式的两边分别的两边分别相加相加，所，所得的不等式与原不等式得的不等式与原不等式同向同向。a ab b，c cd a+cd a+cb+db+d（同向可加性）（同向可加性）性
4、质性质5：如果如果ab，c0，则，则acbc；如果；如果ab，c0，则，则acb，c0，所以，所以acbc，又因为又因为cd，b0，所以，所以bcbd，根据不等式的传递性得根据不等式的传递性得 acbd。几个两边都是正数的几个两边都是正数的同向不等式同向不等式的两边分别的两边分别相乘相乘，所得的不等式与原不等式，所得的不等式与原不等式同向同向。性质性质6：如果如果ab0，cd0，则，则acbd.a ab b0 0，c cd d0 ac0 acbd bd(正数同向不等式的可乘性正数同向不等式的可乘性)性质性质7：如果如果ab0，则，则anbn，(nN+，n1).证明：因为证明：因为 00.0ab
5、abnab 个，个，根据性质根据性质6，得，得anbn.a ab b0 a0 an nb bn n(nN(nN*)(可乘方性可乘方性)性质性质8：如果如果ab0，则，则，(nN+，n1).nnab证明：用反证法，假定证明：用反证法，假定 ，即，即 或或 ，nnabnnabnnab 根据性质根据性质7和根式性质，得和根式性质，得ab矛盾，因此矛盾，因此nnab这个性质是不等式的这个性质是不等式的开方法则。开方法则。a ab b0 0 (nN(nN*)nanb(可开方性可开方性)不等式的基本性质不等式的基本性质总结总结性质性质1：对称性：对称性 ab bb，且bc ac性质性质3：可加性：可加性
6、ab a+cb+c推论推论1：移项法则：移项法则 ab a+cb+c 性质性质4：相加法则：相加法则 ab，cd a+cb+d性质性质5：可乘性可乘性 ab,且且c0 acbc ab，且，且c0acb 0，且，且cd0acbd 性质性质7：乘方法则：乘方法则 ab0 bann(n N,n1)性质性质8：开方法则：开方法则 ab0 (n N,n1)nnba 例例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知）已知ab，ab0，求证：，求证：；11ab证明：证明：（1）因为因为ab0，所以，所以10ab又因为又因为ab，所以，所以 11ababab即即 11ba
7、因此因此 11ab（2）已知）已知ab，cbd；证明：（证明：（2）因为）因为ab，cb，cd，根据性质根据性质3的推论的推论2，得，得a+(c)b+(d)，即，即acbd.（3）已知）已知ab0，0cd，求证：，求证：abcd证明：（证明：（3）因为因为0cb0，所以，所以 11abcd即即 abcd例例2.已知已知ab，不等式，不等式:（1）a2b2；（2）；（；（3）成立的个数是（成立的个数是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）311ab11abaA例例3设设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR，则，则A，B的大小关系是的大小关系是 。AB 例例4（1）如果）如果30 x36，2y
8、6，求，求x2y及及 的取值范围。的取值范围。xy18x2y32，518xy例例5若若 ，求，求的取值范围。的取值范围。22,22,0222224(1)1,1(2)5ff )3(f例例6 6求求:的取值范围的取值范围.已知已知:函数函数,)(2caxxf 解：因为解：因为f(x)=ax2c,所以所以(1)(2)4facfac解之得解之得1(2)(1)314(2)(1)33affcff所以所以f(3)=9ac=85(2)(1)33ff4(1)1,1(2)5ff 因为因为所以所以8840(2)333f5520(1)333f两式相加得两式相加得1f(3)20.练习练习1.已知已知4ab1，14ab5，求求9ab的取值范围。的取值范围。解解（待定系数法）待定系数法）设设9ab=m(ab)+n(4ab)=(m+4n)a(m+n)b，令令m+4n=9，(m+n)=1，解得，解得，58,33mn 所以所以9ab=(ab)+(4ab)5383由由4ab1，得，得 5520()333ab由由14ab5，得，得 8840(4)333ab以上两式相加得以上两式相加得19ab20.
