1、Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-812.7 2.7 平面、直线与立体相交平面、直线与立体相交2.7.3 2.7.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交2.7.1 2.7.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交2.7.2 2.7.2 直线与平面立体相交直线与平面立体相交2.7.4 2.7.4 直线与曲面立体相交直线与曲面立体相交Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-822.7.1 2.7.1 平面与平面立体相交平面与平面立体相交图图2.159 平面与平面立体相交的概念平面与平面立体相
2、交的概念如图所示：平面如图所示：平面P称为称为截平面截平面；棱线与截平面的交点称为；棱线与截平面的交点称为截交点截交点；截；截平面与三棱柱表面的交线称为平面与三棱柱表面的交线称为截交线截交线；截交线围成的平面图形，称；截交线围成的平面图形，称为为断面断面。Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-831.1.平面与棱柱相交平面与棱柱相交图图2.160 作正三棱柱的截交线及断面真形作正三棱柱的截交线及断面真形(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果如图如图2.160a所示，棱线为侧垂线的正三棱柱被正垂面所示，棱线
3、为侧垂线的正三棱柱被正垂面P截去左截去左端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。端，作截交线和完成截断体的水平投影，并求作断面的真形。解解Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-84如图如图2.161a所示，所示，求作一般位置的平行四边形求作一般位置的平行四边形ABCDABCD与正四棱柱与正四棱柱的截交线。的截交线。图图2.161 作一般位置平面与正四棱柱的截交线作一般位置平面与正四棱柱的截交线解解(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果(a)(a)已知条件已知条件Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面
4、、直线与立体相交2022-12-85(a)(a)已知条件已知条件如图如图2.162a所示，求作斜三棱柱所示，求作斜三棱柱AA1BB1CC1的法断面的法断面(也就是垂直也就是垂直于棱线的截平面所截得的断面于棱线的截平面所截得的断面)的的水平投影和正面投影，并作出法水平投影和正面投影，并作出法断面的真形。断面的真形。图图2.162 作斜三棱柱的法断面的两面投影及其真形作斜三棱柱的法断面的两面投影及其真形解解(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果将斜三棱柱的棱线变换为将斜三棱柱的棱线变换为V1面平行线面平行线在在H、V1新投影面体系中新投影面体系中作出法断面的投影作出法断面的投影在在H、V
5、原投影面体系中作原投影面体系中作出法断面的投影出法断面的投影作法断面的真形作法断面的真形Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-862.2.平面与棱锥、棱台相交平面与棱锥、棱台相交图图2.163 2.163 作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形作三棱锥的侧面投影和截交线的投影及断面真形如图如图2.163a所示，求所示，求作三棱锥作三棱锥SABC的侧的侧面投影，以及被正垂面投影，以及被正垂面面P截得的截交线的截得的截交线的三面投影，并作出断三面投影，并作出断面的真形。面的真形。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过
6、程和作图结果解解作三棱锥的侧面投影作三棱锥的侧面投影作截交线的三面投影作截交线的三面投影作断面的真形作断面的真形Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-87如图如图2.164a2.164a所示，正三棱锥被一个正垂面和一个水平面切割成所示，正三棱锥被一个正垂面和一个水平面切割成一个具有切口的三棱锥，补全这个具有切口的三棱锥的水平投一个具有切口的三棱锥，补全这个具有切口的三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影。影，并作出它的侧面投影。图图2.164 补全正三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影补全正三棱锥的水平投影，并作出它的侧面投影(b)(b)切口和
7、截交线的分析切口和截交线的分析(a)(a)已知条件已知条件(c)(c)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解作三棱锥作三棱锥的侧面投影的侧面投影作截交线作截交线的三面投影的三面投影Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-88如图如图2.165a所示，补全具有正四棱柱孔的正四棱台被正垂面切所示，补全具有正四棱柱孔的正四棱台被正垂面切割后的截断体的水平投影，作出它的侧面投影，并作断面的真割后的截断体的水平投影，作出它的侧面投影，并作断面的真形。形。图图2.165 补全水平投影，作出侧面投影和断面真形补全水平投影，作出侧面投影和断面真形(a)(a)
8、已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解作出尚未切割时的具有正作出尚未切割时的具有正四棱柱孔的正四棱台的侧面四棱柱孔的正四棱台的侧面投影投影补全截断体补全截断体的水平投影和的水平投影和侧面投影侧面投影作断面的真作断面的真形形Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-89直线与平面立体相交，当直线或平面直线与平面立体相交，当直线或平面立体表面的投影有积聚性时，利用投立体表面的投影有积聚性时，利用投影的积聚性可以很方便地作出影的积聚性可以很方便地作出贯穿点贯穿点。如图如图2.166a2.166a所示，求作直线所示，求作直线
9、ABAB与正四与正四棱柱的贯穿点，并表明直线的投影及棱柱的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。其可见性。2.7.2 2.7.2 直线与平面立体相交直线与平面立体相交图图2.166 作作AB与正四棱柱的贯穿点，表明可见性与正四棱柱的贯穿点，表明可见性1.1.直线或平面立体表面的投影有积聚性时相交直线或平面立体表面的投影有积聚性时相交(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解由水平投影的积聚性作贯穿点由水平投影的积聚性作贯穿点1 1由正面投影的积聚性作贯穿点由正面投影的积聚性作贯穿点2 2判别可见性，将可见部分画成判别可见性，将可见部分画成粗实线粗实线Wang
10、 chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-810如图如图2.167a所示，求作直线所示，求作直线AB与正四棱锥的侧面投影，作出与正四棱锥的侧面投影，作出贯穿点，并表明直线的投影及贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。其可见性。图图2.167 作作AB与正四棱锥的贯穿点，表明可见性与正四棱锥的贯穿点，表明可见性(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解作直线作直线ABAB和正四棱锥的侧和正四棱锥的侧面投影面投影作贯穿点的投影作贯穿点的投影表明直线表明直线ABAB的投影及其可的投影及其可见性见性Wang chenggang
11、第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8112.2.直线和平面立体表面的投影都无积聚性时相交直线和平面立体表面的投影都无积聚性时相交图图2.168 作作AB与三棱锥的贯穿点，表明可见性与三棱锥的贯穿点，表明可见性如图如图2.168a所示，求作直线所示，求作直线AB与三棱锥的贯穿点，并表明直与三棱锥的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。线的投影及其可见性。解解方法一方法一:方法二方法二:(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)方法一方法一 （c c）方法二方法二 Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8122.7.3 2
12、.7.3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交v截平面与曲面立体表面相交所形成的截平面与曲面立体表面相交所形成的截交线截交线，可能是，可能是一条封闭的一条封闭的平面曲线平面曲线，也可能是由曲线和直线围成的，也可能是由曲线和直线围成的平平面图形面图形，在特殊情况下还可能是，在特殊情况下还可能是多边形多边形。截交线的形状。截交线的形状与曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。与曲面立体的几何性质及其与截平面的相对位置有关。v曲面立体的截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，曲面立体的截交线是截平面和曲面立体表面的共有线，截交线上的点也都是截平面和曲面立体表面的共有点，截交线上的点也都是截平面和
13、曲面立体表面的共有点，当截交线是曲线时，通常都是先作出这些共有点，然后当截交线是曲线时，通常都是先作出这些共有点，然后连成截交线。当截交线是曲线时，截交线上有一些能控连成截交线。当截交线是曲线时，截交线上有一些能控制截交线的形状和范围的点，包括曲面投影转向轮廓线制截交线的形状和范围的点，包括曲面投影转向轮廓线上的点；极限位置点，即最左、最右、最前、最后、最上的点；极限位置点，即最左、最右、最前、最后、最高、最低的点；对称的截交线在对称轴上的顶点；以及高、最低的点；对称的截交线在对称轴上的顶点；以及截交线的曲线段的端点等，称为特殊点。其它的点则称截交线的曲线段的端点等，称为特殊点。其它的点则称为
14、一般点或中间点。为一般点或中间点。Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8131.1.平面与圆柱相交平面与圆柱相交表表2.7 2.7 圆柱面上的截交线圆柱面上的截交线Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-814如图如图2.169a所示，求作圆柱被正垂面所示，求作圆柱被正垂面P截切的截交线，并作出截切的截交线，并作出断面真形。断面真形。图图2.169 作圆柱的截交线，并求断面真形作圆柱的截交线，并求断面真形(a)(a)已知条件已知条件解解作截交线椭圆作截交线椭圆的特殊点。的特殊点。作截交线上作
15、截交线上的一般点。的一般点。(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果判别可见性，判别可见性，顺次连接各点顺次连接各点成截交线的侧成截交线的侧面投影。面投影。作断面真形。作断面真形。Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-815如图如图2.170a所示，求作一般位置的所示，求作一般位置的平行四边形平行四边形PQRT截切圆柱所得的截切圆柱所得的截交线的正面投影，并表明可见性。截交线的正面投影，并表明可见性。图图2.170 作一般位置的平行四边形与圆柱的截交线作一般位置的平行四边形与圆柱的截交线(a)(a)已知条件已知条件解解作截交线椭圆作截
16、交线椭圆上的特殊点和一上的特殊点和一般点。般点。将已作出的将已作出的截交点连成截截交点连成截交线，并表明交线，并表明截交线的可见截交线的可见性。性。(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-816如图如图2.171a所示，所示，求作轴线为侧垂线的圆柱被两个水平面和一求作轴线为侧垂线的圆柱被两个水平面和一个正垂面截切后，取去了上面被切割部分的截余体的水平投影个正垂面截切后，取去了上面被切割部分的截余体的水平投影和侧面的投影。和侧面的投影。图图2.171 作圆柱被切割后的水平投影和侧面投影作圆柱被切割后
17、的水平投影和侧面投影(a)(a)已知条件已知条件解解作中间的正垂截平作中间的正垂截平面与圆柱面的截交线。面与圆柱面的截交线。作两端的水平截平作两端的水平截平面与圆柱面的截交线。面与圆柱面的截交线。(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果完成截余体的水平完成截余体的水平投影和侧面投影。投影和侧面投影。Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8172.2.平面与圆锥相交平面与圆锥相交表表2.8 2.8 圆锥面上的截交线圆锥面上的截交线Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-818如图如图2.
18、172a所示，所示，求作求作正垂面正垂面P与圆锥的截交与圆锥的截交线的水平投影，截断体线的水平投影，截断体的侧面投影，并作出断的侧面投影，并作出断面的真形。面的真形。图图2.172 2.172 作圆锥的截交线和截断体的侧面投影，断面真形作圆锥的截交线和截断体的侧面投影，断面真形解解用双点画线画出圆锥用双点画线画出圆锥未截切时的侧面投影。未截切时的侧面投影。作截交线椭圆的水平作截交线椭圆的水平投影和侧面投影。投影和侧面投影。完成截断体的侧面投完成截断体的侧面投影。影。作断面真形。作断面真形。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第
19、2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-819如图如图2.173a所示，所示，求作求作由两个铅垂面和一个侧由两个铅垂面和一个侧平面截切掉圆锥前面一平面截切掉圆锥前面一部分后的截余体的正面部分后的截余体的正面投影和侧面投影。投影和侧面投影。图图2.173 2.173 作圆锥的截余体的水平投影和侧面投影作圆锥的截余体的水平投影和侧面投影解解在水平投影中标绘出诸截在水平投影中标绘出诸截交线和相邻断面的交线的投交线和相邻断面的交线的投影符号。影符号。作截交线和相邻断面的交作截交线和相邻断面的交线的正面投影和侧面投影。线的正面投影和侧面投影。完成截余体的正面投影完成截余体的正面投影和
20、侧面投影和侧面投影(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果78Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8203.3.平面与球相交平面与球相交图图2.174 作铅垂面作铅垂面P与球的截交线和截断体的正面投影与球的截交线和截断体的正面投影如图如图2.174a所示，所示，求作求作铅垂面铅垂面P与球的截交线与球的截交线和截断体的正面投影。和截断体的正面投影。解解完成截断体的正面投影。完成截断体的正面投影。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果作截交线的正面投影。作截交线的正面投影
21、。Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-821如图如图2.175a所示，所示，半球半球被左右对称的两个侧平被左右对称的两个侧平面和一个水平面在顶部面和一个水平面在顶部截切成一个前后贯通截切成一个前后贯通的槽，补全这个带槽的的槽，补全这个带槽的半球的水平投影和侧面半球的水平投影和侧面投影。投影。图图2.175 2.175 补全带槽半球的水平投影和侧面投影补全带槽半球的水平投影和侧面投影解解作水平截面的投影。作水平截面的投影。作侧平截面的投影。作侧平截面的投影。整理、补充，完成作图。整理、补充，完成作图。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作
22、图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8224.4.平面与其它曲面立体相交示例平面与其它曲面立体相交示例图图2.176 作铅垂面与斜椭圆柱的截交线作铅垂面与斜椭圆柱的截交线如图如图2.176a所示，所示，求作求作铅垂面铅垂面P P与斜椭圆柱的与斜椭圆柱的截交线。截交线。解解用在柱面上作点的方法作用在柱面上作点的方法作出截交线上的一些一般点。出截交线上的一些一般点。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果用较方便的作图方法作出用较方便的作图方法作出截交线上的一部分特殊点。截交
23、线上的一部分特殊点。(1)(1)平面与斜椭圆柱相交平面与斜椭圆柱相交连成截交线椭圆的正面投连成截交线椭圆的正面投影，并表明可见性。影，并表明可见性。Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-823(2)(2)平面与斜圆锥相交平面与斜圆锥相交图图2.177 作正垂面与斜圆锥的截交线作正垂面与斜圆锥的截交线如图如图2.177a所示，求作所示，求作正垂面正垂面P与斜圆锥的截与斜圆锥的截交线。交线。解解作截交线上的一般点。作截交线上的一般点。作截交线上的特殊点。作截交线上的特殊点。连成截交线椭圆的水平投连成截交线椭圆的水平投影，并表明可见性。影，并表明可
24、见性。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-824(3)(3)平面与具有内环面表面的平面与具有内环面表面的回转体相交回转体相交图图2.178 作截交线，并求断面真形作截交线，并求断面真形如图如图2.178a所示，所示，求作正垂面求作正垂面P与具有内环面表面的回转体的与具有内环面表面的回转体的截交线，作出截断体的水平投截交线，作出截断体的水平投影，并求断面真形。影，并求断面真形。解解完成截断体的水平投影。完成截断体的水平投影。作截交线的水平投影。作截交线的水平投影。作断
25、面真形。作断面真形。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8252.7.4 2.7.4 直线与曲面立体相交直线与曲面立体相交1.1.直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交直线或曲面立体表面的投影有积聚性时相交如图如图2.179a所示，所示，求作直线求作直线ABAB与轴线垂直于侧面的圆柱的贯穿与轴线垂直于侧面的圆柱的贯穿点，并表明直线的投影及其可见性。点，并表明直线的投影及其可见性。解解表明直线的投表明直线的投影及其可见性。影及其可见性。作贯穿点。作贯穿点。图图2.17
26、9 作作AB与圆柱的贯穿点，并表明可见性与圆柱的贯穿点，并表明可见性(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-826如图如图2.180a所示，所示，求作求作直线直线ABAB与圆锥的贯穿点，与圆锥的贯穿点，并表明直线的投影及其并表明直线的投影及其可见性。可见性。图图2.180 2.180 作作AB与圆锥的贯穿点，并表明可见性与圆锥的贯穿点，并表明可见性解解(1)(1)作贯穿点。作贯穿点。用纬圆法解题用纬圆法解题(2)(2)表明直线的投影表明直线的投影及其可见性及其可见性(a
27、)(a)已知条件已知条件(b)(b)用纬圆法解题用纬圆法解题用素线法解题用素线法解题(c)(c)用素线法解题用素线法解题Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-8272.2.直线和曲面立体表面的投影都无积聚性时相交直线和曲面立体表面的投影都无积聚性时相交图图2.181 作作AB与球的贯穿点，并表明可见性与球的贯穿点，并表明可见性如图如图2.181a所示，求所示，求作正平线作正平线AB与球的贯与球的贯穿点，并表明直线穿点，并表明直线AB的投影及其可见性。的投影及其可见性。解解作出了贯穿点的投影。作出了贯穿点的投影。(a)(a)已知条件已知条件(b
28、)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果过过AB作正平面作正平面P为辅助截为辅助截平面。平面。(1)(1)过直线作特殊位置辅助截平面，能与曲面立体截切到过直线作特殊位置辅助截平面，能与曲面立体截切到直线或平行于投影面的圆时，求作贯穿点直线或平行于投影面的圆时，求作贯穿点表明可见性。表明可见性。Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-828(2)(2)用投影变换求作贯穿点用投影变换求作贯穿点图图2.182 作直线与球的贯穿点，并表明可见性作直线与球的贯穿点，并表明可见性如图如图2.182a所示，求作所示，求作一般位置直线一般位置直线AB与球的
29、与球的贯穿点，并表明直线贯穿点，并表明直线AB的投影及其可见性。的投影及其可见性。解解作贯穿点。作贯穿点。过过AB作铅垂的辅助截平面作铅垂的辅助截平面P，将它变换成，将它变换成V1面平行面，面平行面，在在H、V1新投影面体系中求新投影面体系中求作截交线。作截交线。表明直线表明直线AB的投影及其可的投影及其可见性。见性。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022-12-829(3)(3)用一般位置的辅助截平面求作贯穿点用一般位置的辅助截平面求作贯穿点图图2.183 作一般位置直线与
30、斜圆柱的贯穿点，并表明可见性作一般位置直线与斜圆柱的贯穿点，并表明可见性如图如图2.183a所示，所示，求作一般求作一般位置直线位置直线ABAB与斜圆柱的贯与斜圆柱的贯穿点，并表明直线穿点，并表明直线ABAB的投的投影及其可见性。影及其可见性。解解作贯穿点作贯穿点C、D的两的两面投影。面投影。向两侧延长底面的正向两侧延长底面的正面投影，作为面投影，作为OX轴。轴。表明直线表明直线AB的投影的投影及其可见性。及其可见性。(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)解题分析解题分析(c)(c)作图过程和结果作图过程和结果Wang chenggang第2章 画法几何 2.7 平面、直线与立体相交2022
31、-12-830如图如图2.184a所示，所示，求作求作一般位置直线与圆锥的一般位置直线与圆锥的贯穿点，并表明直线贯穿点，并表明直线ABAB的投影及其可见性。的投影及其可见性。图图2.184 2.184 作一般位置直线与圆锥的贯穿点，并表明可见性作一般位置直线与圆锥的贯穿点，并表明可见性解解向两侧延长底面的向两侧延长底面的正面投影，作为正面投影，作为OXOX轴。轴。(a)(a)已知条件已知条件作贯穿点作贯穿点C C、D D的两的两面投影。面投影。(b)(b)解题分析解题分析(c)(c)作图过程和结果作图过程和结果表明了直线表明了直线ABAB的投的投影及其可见性。影及其可见性。本节学习结束！本节学习结束！
