1、本 章 整 合第一章第一章 导数及其应用导数及其应用专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题二利用导数确定函数的单调区间利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为:(1)确定f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)解不等式f(x)0或f(x)g(x),则构造函数(x)=f(x)-g(x),只需证(x)0即可,由此转化成求(x)最小值问题,借助于导数解决.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专
2、题2专题3专题4专题5专题五导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间a,b上的最大(小)值或利用导数解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一新热点.1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法:(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定因变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系y=f(x),根据实际问题确定y=f(x)的定义域.(2)求f(x),令f(x)=0,得出所有实数的解.(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小,根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.专题6专题1专题
3、2专题3专题4专题52.利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题:(1)求实际问题的最大(小)值时,一定要符合问题的实际意义,不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中,由f(x)=0常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到,则在这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题6专题5专题六定积分的应用在利用定积分解决实际问题时,要注意找出被积函数和积分上、下限,用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用.解题步骤如下:画
4、出图形;确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限;确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;写出平面图形面积的定积分表达式;运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题6专题1专题2专题3专题4专题5专题61234567891234567891234567892(2016四川高考)设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0
5、,2)C.(0,+)D.(1,+)1234567891234567893(2015课标全国高考)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.1234567891234567894(2016全国丙高考)已知f(x)为偶函数,当x0时,-x0,则f(-x)=ln x-3x.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-
6、1.答案y=-2x-11234567895(2016全国甲高考)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.1234567896(2015课标全国高考)设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)证明:f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增;(2)若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围.(1)证明f(x)=m(emx-1)+2x.若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0.若m0,f(x)0;当x(0,+)时,emx-10.所以,f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递
7、增.123456789(2)解由(1)知,对任意的m,f(x)在-1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是设函数g(t)=et-t-e+1,则g(t)=et-1.当t0时,g(t)0时,g(t)0.故g(t)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,知g(m)0,即em-me-1;123456789当m0,即e-m+me-1.综上,m的取值范围是-1,1.1234567897(2016全国乙高考)已知函数f(x)=(
8、x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x20,则当x(-,1)时,f(x)0,所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.故当x(1,+)时,f(x)0,因此f(x)在(1,+)单调递增.123456789故当x(1,ln(-2a)时,f(x)0.因此f(x)在(1,ln(-2a)单调递减,在(ln(-2a),+)单调递增.又当x1时f(x)f(0)=-1.所以(x-2)ex-(x+2),(x-2)ex+x+20.123456789对任意a0,1),f(0)+a=a-10,f(2)+a=a0.因此,存在唯一
9、xa(0,2,使得f(xa)+a=0,即g(xa)=0.当0 xxa时,f(x)+a0,g(x)xa时,f(x)+a0,g(x)0,g(x)单调递增.1234567891234567899(2016全国丙高考)设函数f(x)=cos 2x+(-1)(cos x+1),其中0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x);(2)求A;(3)证明|f(x)|2A.解(1)f(x)=-2sin 2x-(-1)sin x.(2)(分类讨论)当1时,|f(x)|=|cos 2x+(-1)(cos x+1)|+2(-1)=3-2=f(0).因此A=3-2.当01时,将f(x)变形为f(x)=2cos2x+(-1)cos x-1.(构造函数)令g(t)=2t2+(-1)t-1,则A是|g(t)|在-1,1上的最大值,123456789123456789
