1、微分与积分微分与积分微分是导数的变型运算微分是导数的变型运算积分是积分是 微分的微分的 逆逆 运运 算算2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数.)0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间),0(内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣原函数存
2、在定理：原函数存在定理：如果函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续，内连续，简言之：简言之：连续函数连续函数有原函数有原函数.问题：问题：(1)原函数是否唯一？原函数是否唯一？那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF .(2)若不唯一它们之间有什么联系？若不唯一它们之间有什么联系？2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣关于原函数的说明：关于原函数的说明：（1）若）若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF)(都都是是)(xf的的原原函函数数.（2）若）若 和和 都是都是 的原函数的原函数)(xF)(x
3、G)(xf则则CxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()(xfxfCxGxF )()(（为任意常数）为任意常数）C2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：不定积分就是原函数族不定积分就是原函数族在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣
4、冯国臣例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）,1 C所求曲线
5、方程为所求曲线方程为.12 xy2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积
6、分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3(Cxxdx说明：说明：,0 x,ln Cxxdx )ln(,0 xx,1)(1xxx ,)ln(Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6
7、(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdx
8、x 11 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dxxgxf)()()1(;)()(dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()(dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dxxkf)()2(.)(dxxfk（k是是常常数数，)0 k例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例
9、6 6 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例7 7 求积分求积分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例8 8 求积分求积分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 说明：说明：以上几例中的被积函数
10、都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例 9 9 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5,0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx ,5)0(y,6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.6costan xxy2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分
11、的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念：CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题思考题符号函数符号函数 0,10,00,1sgn)(xxxxxf在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？),(2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数)(xF 0,0,0,)(xCxxCxCxxF但但)(xF在在0 x处处不不可可微微，故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.),
12、()(xf结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都的函数都没有原函数没有原函数.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣问题问题 xdx2cos,2sinCx 解决方法解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程令令xt2,21dtdx xdx2cosdtt cos21Ct sin21.2sin21Cx 一、第一类换元法2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣在一般情况下：在一般情况下：设设),()(ufuF 则则.)()(CuFduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdF)()()(CxFdxxxf)()()()()
13、(xuduuf 由此可得换元法定理由此可得换元法定理2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣设设)(uf具有原函数，具有原函数，dxxxf)()()()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()(dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 12022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1 1 求求.2sin xdx解解（一）（一）xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21Cx 解解（二）（
14、二）xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2Cx 解解（三）（三）xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2Cx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例2 2 求求.231dxx 解解,)23(23121231 xxxdxx 231dxxx)23(23121 duu 121Cu ln21.)23ln(21Cx dxbaxf)(baxuduufa)(1一般地一般地2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例3 3 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln2
15、1(ln21121xdx xuln21 duu121Cu ln21.)ln21ln(21Cx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例4 4 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111CxCx .)1(21112Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例5 5 求求.122dxxa 解解dxxa 221dxaxa 222111 axdaxa2111.arctan1Caxa 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例6 6 求求.25812dxxx 解解dxxx 25812d
16、xx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例7 7 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(Cexx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例8 8 求求.)11(12dxexxx 解解,1112xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx .1Cexx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例9 9 求求.12321dxxx 原式原式 dxxxxxxx 1232
17、12321232dxxdxx 12413241)12(1281)32(3281 xdxxdx .121213212133Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1010 求求解解.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1111 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx
18、)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分次项去凑微分.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1212 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1313 求求解解（一）（一）dxxsin1.csc xd
19、x xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln.)cotln(cscCxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣解解（二）（二）dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似地可推出类似地可推出.)tanln(secsec Cxxxdx2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣解解例例1414 设设 求求 .,c
20、os)(sin22xxf )(xf令令xu2sin,1cos2ux ,1)(uuf duuuf 1)(,212Cuu .21)(2Cxxxf 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1515 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlnCx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣问题问题?125 dxxx解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令txsin,costdtdx dxxx251tdtttcossin1)(si
21、n25 tdtt25cossin （应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数.证证设设 为为 的原函数的原函数,)(t)()(ttf 令令)()(xxF 则则dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数，)()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)(t，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 22022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣第二类积分换元公式第二类积分换元
22、公式 CxFdxxf)()(,)(Cx )()()()(xtdtttfdxxf )(tf ).(xf 说明说明)(xF为为)(xf的原函数的原函数,2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1616 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 2,2t2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣回顾：)()()()(xtdtttfdxxf dxxxf)()()()(xuduuf 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例
23、例1717 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1818 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2,0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .
24、ln22Caaxax 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双曲代换双曲代换.1sinhcosh22 tttaxtaxcosh,sin
25、h 也可以化掉根式也可以化掉根式例例 中中,令令dxax 221taxsinh tdtadxcosh dxax 221 dttatacoshcosh CtdtCaxar sinh.ln22Caaxax 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例1919 求求dxxx 251（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）21xt 令令,122 tx,tdtxdx dxxx 251 tdttt 2
26、21 dttt 1224Cttt 353251.1)348(151242Cxxx 解解2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例2020 求求解解.11dxex xet 1令令,12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例2121 求求dxxx )2(17令令tx1,12dttdx dxxx )2(17dtttt 27121 dttt7621Ct|21|l
27、n1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例2222 求求解解.1124dxxx dxxx 1124令令tx1,12dttdx dxttt 22411111（分母的阶较高）（分母的阶较高）dttt 231222121dttt 2tu 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 duuu121 duuu11121 )1(11121uduu Cuu 11313.1131232Cxxxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣说明说明(5)(5)当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用
28、令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）lkxx,ntx n例例2323 求求.)1(13dxxx 解解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt22162022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣基基本本积积分分表表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(
29、Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣;ln211)22(22Cxaxaadxxa ;arcsin1)23(22Caxdxxa .)ln(1)24(2222Caxxdxax ;ln211)21(22Caxaxadxax 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣两类积分换元法：两类积分换元法：（一）（一）凑微分凑微分（二）（二）三角代换、倒代换、根式代换三角代换、倒代换、根式代换基本积分表基本积分表(2)2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题思考题求积分求积分.)1(ln)ln(dxxxxp 2022-
30、12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题解答思考题解答dxxxxd)ln1()ln(dxxxxp)1(ln)ln()ln()ln(xxdxxp 1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣问题问题?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数,vuvuuv ,vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）
31、解（一）令令,cos xu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然，选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu,解（二）解（二）令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函
32、数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctan xu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例4 4 求积分求积分
33、.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .u2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )sin(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxx
34、x)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例7 7 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1
35、122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例 8 8 已已知知)(xf的的一一个个原原函函数数是是2xe,求求 dxxfx)(.解解 dxxfx)()(xxdf,
36、)()(dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导,得得x,2)(2xxexf dxxfx)(dxxfxxf)()(222xex .2Cex 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu,dxvuuvdxvu 二、小结2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题思考题 在接连几次应用分部积分公式时，在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？应注意什么？2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣思考题解答思考题解答注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类
37、型函数应为同类型函数.u例例 xdxexcos第一次时若选第一次时若选xucos1 xdxexcosdxxexexx sincos第二次时仍应选第二次时仍应选xusin2 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣有理函数的定义：有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(其其中中m、n都都是是非非负负整整数数；naaa,10及及mbbb,10都都是是实实数数，并并且且00 a，00 b.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间
38、没有公因式,)1(mn 这有理函数是这有理函数是真分式真分式；,)2(mn 这有理函数是这有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例1123 xxx.112 xx难点难点 将有理函数化为部分分式之和将有理函数化为部分分式之和.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中其中kAAA,21都是常数都是常数.特
39、殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;axA 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中kqpxx)(2 则分解后为则分解后为042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中其中iiNM,都是常数都是常数),2,1(ki.特殊地：特殊地：,1 k分解后为分解后为;2qpxxNMx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3B
40、AxBAx ,3)23(,1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 12022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣2)1(1 xx,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数CBA,取取,0 x1 A取取,1 x1 B取取,2 xBA,并将并将 值代入值代入)1(1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 22022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1,02
41、,02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例4 4 求积分求积分 .)1(12dxxx dxxx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(112.)1ln(11lnCxxx 解解2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例5 5 求积分求积分 解解.)1)(21(12 dxxxdxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxx
42、x 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例6 6 求积分求积分解解.11632dxeeexxx 令令6xet ,ln6tx ,6dttdx dxeeexxx 63211dttttt61123 dtttt )1)(1(162dttttt 21331362022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣Ctttt arctan3)1ln(23)1ln(3ln62dttttt 2133136.)arctan(3)1ln(23)1ln(3636Ceeexxxx 23)1ln(3ln6 ttdttttd 2221131)1(2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣说明说明 将有理函数
43、化为部分分式之和后，只出将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：现三类情况：)1(多项式；多项式；;)()2(naxA;)()3(2nqpxxNMx 讨论积分讨论积分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx 令令tpx 22022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣,422pqa ,2MpNb 则则 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx ,bMtNMx 记记2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣,1)2(n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn这三类积分均可
44、积出这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.结论结论 有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.,1)1(n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arctanCapxab 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣三角有理式的定义：三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 2022-12-9不定积分不定积分
45、冯国臣冯国臣2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu ,12sin2uux ,11cos22uux uxarctan2 duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （万能置换公式）（万能置换公式）2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例7 7 求积分求积分.cossin1sin dxxxx解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由万能置换公式由万能置换公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(1122222022-12
46、-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan)1ln(212u Cu|1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例8 8 求积分求积分.sin14 dxx解（一）解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣解（二）解（二）修改万能
47、置换公式修改万能置换公式,xutan 令令,1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣解（三）解（三）可以不用万能置换公式可以不用万能置换公式.dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd.cot31cot3Cxx 结论结论 比较以上三种解法比较以上三种解法,便知万能置换不一定便知万能置换不一定是最佳方法是最佳方法,故三角有理式的计算中先考故三角有理式的计算中先考虑其它手段虑其它手段,不得已
48、才用万能置换不得已才用万能置换.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例9 9 求积分求积分.sin3sinsin1 dxxxx解解2cos2sin2sinsinBABABA dxxxxsin3sinsin1 dxxxxcos2sin2sin1 dxxxx2cossin4sin1 dxxx2cossin141 dxx2cos1412022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣 dxxxxx222cossincossin41 dxx2cos141 dxxdxxxsin141cossin412 dxx2cos141 dxxxdxsin141)(coscos1412 dxx2cos14
49、1xcos41 2tanln41x.tan41Cx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣讨论类型讨论类型),(nbaxxR),(necxbaxxR 解决方法解决方法作代换去掉根号作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分 dxxxx11解解 令令txx 1,12txx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1111 求积分求积分.1113 dxxx解解
50、令令16 xt,65dxdtt dxxx3111dtttt52361 dttt 163Ctttt|1|ln663223.)11ln(6131312663Cxxxx 说明说明 无理函数去根号时无理函数去根号时,取根指数的取根指数的最小公倍数最小公倍数.2022-12-9不定积分不定积分 冯国臣冯国臣例例1212 求积分求积分.1213 dxxxx解解先对分母进行有理化先对分母进行有理化原式原式 dxxxxxxxx)1213)(1213()1213(dxxx)1213()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx 2022-12-9不定积分不定积分 冯国
