1、第第24讲讲 梯形梯形 考点考点1 梯形的概念及分类梯形的概念及分类 考点自主梳理与热身反馈 第第2424讲讲 梯形梯形 概念概念 只有一组对边只有一组对边_的四边形；的四边形；一组对一组对 边平行，而另外一组对边边平行，而另外一组对边_的四边形的四边形 直角梯形直角梯形 有一个角是有一个角是_的梯形的梯形 分类分类 等腰梯形等腰梯形 两腰两腰_的梯形的梯形 相等相等 平行平行 不平行不平行 直角直角 第第2424讲讲 梯形梯形 1.一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做( ) A平行四边形平行四边形 B矩形矩形 C菱形菱形 D梯形梯形 2如图如图
2、241，直角梯形，直角梯形ABCD中，中，ADBC，C90， 则则ABC_度度 图图241 270 D 考点考点2 等腰梯形的性质和判定等腰梯形的性质和判定 第第2424讲讲 梯形梯形 轴对称性轴对称性 等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对 称轴，底的垂直平分线是它的对称轴称轴，底的垂直平分线是它的对称轴 性质定理性质定理1 等腰梯形同一底上等腰梯形同一底上的两底角的两底角_ 性性 质质 性质定理性质定理2 等腰梯形的对角线等腰梯形的对角线_ 判定方法判定方法 (1)定义法；定义法；(2)同一底上的两个角同一底上的两个角 _的梯形是等腰梯形的梯形是等腰梯形 判判
3、 定定 判定步骤判定步骤 (1)先判定它是梯形；先判定它是梯形；(2)再用再用“两腰相两腰相 等等”或或“同一底上的两同一底上的两个角相等个角相等”来判来判 定它是等腰梯形定它是等腰梯形 相等相等 相等相等 相等相等 第第2424讲讲 梯形梯形 3.如图如图242，在梯形，在梯形ABCD中，中，ABDC，ADDC CB，若，若ABD25，则，则BAD的大小是的大小是( ) 图图242 A40 B45 C50 D60 C 第第2424讲讲 梯形梯形 4下列结论正确的是下列结论正确的是( ) A有一组邻边相等的梯形是等腰梯形有一组邻边相等的梯形是等腰梯形 B有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是
4、等腰有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰 梯形梯形 C有一组对角互补的梯形是等腰梯形有一组对角互补的梯形是等腰梯形 D有两组角分别相等的四边形是等腰梯形有两组角分别相等的四边形是等腰梯形 C 第第2424讲讲 梯形梯形 5如图如图243，在等腰梯形，在等腰梯形ABCD中，中，ADBC， ABAD，对角线，对角线AC，BD相交于点相交于点O.如下四个结论：如下四个结论： 梯形梯形ABCD是轴对称图形是轴对称图形； DACDCA； AOB全等于全等于DOC； AOD相似于相似于BOC.请把其中正确结论的序号填在横请把其中正确结论的序号填在横 线上：线上：_ 图图243 第第2424讲讲 梯
5、形梯形 6如图如图244，等腰梯形，等腰梯形ABCD中，中，ADBC，点，点E是是AD 延长线上一点，延长线上一点，DEBC. (1)求证：求证：EDBC； (2)判断判断ACE的形状的形状(不需要说明理由不需要说明理由) 图图244 第第2424讲讲 梯形梯形 解：解：(1)证明证明：等腰梯形等腰梯形ABCD中中，ADBC. 又又点点E是是AD延长线上一点延长线上一点， DEBC.又又DEBC， 四边形四边形DBCE是平行四边形是平行四边形， EDBC. (2)ACE是等腰三角形是等腰三角形 第第2424讲讲 梯形梯形 7如图如图245，在锐角，在锐角ABC中，中，ADCD，E、F、G分分
6、别是别是AB、BC、AC的中点的中点 求证：四边形求证：四边形EFDG是等腰梯形是等腰梯形 图图245 第第2424讲讲 梯形梯形 证明：证明：E、F分别是分别是AB、BC的中点的中点， EF是是ABC的中位线的中位线，EF1 2AC. 在在RtADC中中，G是是AC的中点的中点， DG1 2AC， ，EFDG. E、G分别是分别是AB、AC的中点的中点，EGBC. EGFD，四边形四边形EFDG是梯形是梯形 又又EFDG，四边形四边形EFDG是等腰梯形是等腰梯形 考点考点3 梯形中辅助线的作法梯形中辅助线的作法 第第2424讲讲 梯形梯形 辅助辅助 线线 添加方添加方法及目的法及目的 图形图
7、形 平移平移 一腰一腰 从梯形的一个顶点作一腰的平行线，从梯形的一个顶点作一腰的平行线， 把梯形分成一个平行四边形和一个三把梯形分成一个平行四边形和一个三 角形角形 作两作两 高高 从同一底的两端作另一底的垂线，把从同一底的两端作另一底的垂线，把 梯形分成一个矩形和两个直角三角形梯形分成一个矩形和两个直角三角形 平移平移 对对角角 线线 移动一条对角线，即过底的一端作对移动一条对角线，即过底的一端作对 角线的平行线，可以借助所得到的平角线的平行线，可以借助所得到的平 行四边形来研究梯形行四边形来研究梯形 第第2424讲讲 梯形梯形 延长延长 两腰两腰 延长梯形的两腰交于一点，得到两延长梯形的两
8、腰交于一点，得到两 个三角形，如果是等腰梯形，则得个三角形，如果是等腰梯形，则得 到两个到两个分别以梯形两底为底的等腰分别以梯形两底为底的等腰 三角形三角形 连接中连接中 点并延点并延 长长 连接梯形一顶点与一腰的中点并延连接梯形一顶点与一腰的中点并延 长与另一底的延长线相交，可得到长与另一底的延长线相交，可得到 一个三角形，将梯形的面积转化为一个三角形，将梯形的面积转化为 三角形的面积，将梯形的上下底转三角形的面积，将梯形的上下底转 移到同一直线上移到同一直线上 第第2424讲讲 梯形梯形 8如图如图246，在梯形，在梯形ABCD中，中，DCAB，DACB. 若若AB10，DC4，tanA2
9、，则这个梯形的面积是，则这个梯形的面积是 _ . 图图246 42 第第2424讲讲 梯形梯形 9如图如图247，在梯形，在梯形ABCD中，中，B80，C50， 求证：求证：ABBCAD. 图图247 第第2424讲讲 梯形梯形 证明：证明：证法一证法一：作作AEDC交交BC于点于点E， ADBC，AEDC， 四边形四边形AECD是平行四边形是平行四边形 ADEC，CAEB50 . BAE180 50 80 50 . BAEAEB. ABBE. BEBCEC， ABBCAD. 第第2424讲讲 梯形梯形 证法二证法二：延长延长BA和和CD交于点交于点E， 在在EBC中中，E180 BC180
10、80 50 50 ， EC， BEBC. ADBC， EDAC， EEDA， AEAD， ABBCAD. 第第2424讲讲 梯形梯形 10如图如图248，在等腰梯形，在等腰梯形ABCD中，中，ADBC， ACBD，ADBC10，DEBC于于E.求求DE的长的长 图图248 第第2424讲讲 梯形梯形 解：解：过点过点D作作DFAC，交交BC的延长线于的延长线于F，则四边形则四边形ACFD为平为平 行四边形行四边形，ACDF，ADCF. 四边形四边形ABCD为等腰梯形为等腰梯形， ACDB，BDFD. DEBC， BEEF1 2BF 1 2(BC CF) 1 2(BC AD)1 2 105. A
11、CDF，BDAC，BDDF. BEFE，DEBEEF5，即即DE的长为的长为5. 考向互动探究与方法归纳 典型分析 第第2424讲讲 梯形梯形 例例 如图如图249，在，在RtABC中，中，ACB90，B60， BC2.点点O是是AC的中点，点的中点，点D是是AB边上一动点，过点边上一动点，过点C作作CEAB交交 直线直线DO于点于点E，设，设AOD. 图图249 第第2424讲讲 梯形梯形 (1)当当_度时，四边形度时，四边形EDBC是直角梯形；是直角梯形； 当当_度时，四边形度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时是等腰梯形，此时AD长为长为 _； (2)当点当点D运动到运动到AB的中点时，判
12、断四边形的中点时，判断四边形EDBC是否为菱形，是否为菱形， 并说明理由并说明理由 第第2424讲讲 梯形梯形 解：解：(1)60 30 1 (2)当点D运动到AB的中点时，四边形EDBC是菱形 理由如下：点O、D分别是AC、AB的中点，BCED. CEAB，四边形EDBC是平行四边形 在RtABC中，ACB90，B60，BC2， A30.AB4.BD2.BDBC. 平行四边形EDBC是菱形 第第2424讲讲 梯形梯形 方法归纳方法归纳 动点运动探索问题，需要根据点的运动找动点运动探索问题，需要根据点的运动找 出不变量或变化规律，再结合诸如全等或四边形的判定方出不变量或变化规律，再结合诸如全等
13、或四边形的判定方 法解决问题法解决问题 第第2424讲讲 梯形梯形 如图如图2410甲，四边形甲，四边形ABCD是等腰是等腰梯形，梯形， ABDC.由由4个这样的等腰梯形可以拼出图个这样的等腰梯形可以拼出图2410乙所示的乙所示的 平行四边形平行四边形 (1)求四边形求四边形ABCD四个内角的度数；四个内角的度数； (2)试探究四边形试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并四条边之间存在的等量关系，并 说明理由；说明理由； (3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一 个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图个菱形吗？若能，请你画出大致
14、的示意图 甲甲 乙乙 图图2410 第第2424讲讲 梯形梯形 解：解：(1)如图如图，123，123360 ， 31360 ， 1120 . 梯形的上底角均为梯形的上底角均为120 ，下底角均为下底角均为60 . 第第2424讲讲 梯形梯形 (2)过过C点作点作CEAD交交AB于于E，连接连接DE. 四边形四边形AECD中中，DCAE，ADCE. 四边形四边形AECD为平行四边形为平行四边形DCAE. 由题中图乙由题中图乙，得得DCAD，即即AEAD. 又又A60 ，ADEAED60 . EDC60 ，DEADAEDC. DEC为等边三角形为等边三角形 ADBC，CEBC. 又又B60 ，EBC为等边三角形为等边三角形 四边形四边形ABCD中中，ADDCBC1 2AB. 第第2424讲讲 梯形梯形 (3)能拼出菱形，常见的设计有如下四种：能拼出菱形，常见的设计有如下四种：
