1、上页下页返回第四章第四章 抽样分布抽样分布 4.1 统计量统计量(Statistics)4.2 抽样分布（抽样分布（sample distribution）上页下页返回课题课题:“关于南京市居民教育文化消费的调查与分析关于南京市居民教育文化消费的调查与分析”1.问题的提出问题的提出选择一定的方法选择一定的方法,调查南京市居民的教育文化调查南京市居民的教育文化消费情况消费情况,并作出科学定量的分析并作出科学定量的分析.2.问题的假设问题的假设城市居民城市居民;年年;月月;消费范围消费范围3.问题的分析问题的分析消费额为一随机变量消费额为一随机变量 ,如分布已知如分布已知,那么那么,问题回答问题回
2、答;实际其分布未知实际其分布未知!X上页下页返回4.拟回答的问题拟回答的问题(1)平均消费额多少平均消费额多少?差异性如何差异性如何?(2)平均消费额的大致范围多少平均消费额的大致范围多少?差异性变化范围如何差异性变化范围如何?你所作你所作 的判断的风险怎样的判断的风险怎样?(3)消费额消费额 的分布类型怎样的分布类型怎样?是正是正 态分布的吗态分布的吗?X(4)对以往的研究或某一结论对以往的研究或某一结论,根据你根据你的调查与分析的调查与分析,差异明显吗差异明显吗?同意吗同意吗?(5)消费与可支配收入有关消费与可支配收入有关,怎样定量描怎样定量描述述?是否可以预测是否可以预测?反之能控制吗反
3、之能控制吗?其它其它如价格如价格,预期预期,趋向趋向.统计估计讨论统计估计讨论(1)(2)假设检验讨论假设检验讨论(3)(4)回归分析讨论回归分析讨论(5)上页下页返回5.模型的建立模型的建立估计模型估计模型(第五章第五章)检验模型检验模型(第六章第六章)回归模型回归模型(第七章第七章)6.问题的回答问题的回答上页下页返回建模的准备建模的准备:如何取得数据如何取得数据?怎样加工怎样加工?怎样科学推断怎样科学推断?为什么为什么?上页下页返回 4.1 统计量统计量3.测量值的误差测量值的误差一一.总体与样本总体与样本总体总体(population)：研究对象的全体：研究对象的全体个体个体(indi
4、vidual)：组成总体的每个单元（每一个研：组成总体的每个单元（每一个研究对象）究对象）例：例：1.某城市居民的家庭年消费某城市居民的家庭年消费2.灯泡的寿命灯泡的寿命样本：从总体中抽出的部分个体组成的集合（子样）样本：从总体中抽出的部分个体组成的集合（子样）总体容量总体容量(size of a sample)：总体所含个体的数量：总体所含个体的数量上页下页返回总体：随机变量总体：随机变量X12,nXXX样本样本(sample)：样本容量：样本容量：n样本观察值：样本观察值：1,2,nx xx简单随机抽样（简单随机抽样（simple random sampling）：）：（一）（一）总体中每
5、个个体被抽到的机会均等；总体中每个个体被抽到的机会均等；（二）（二）样本具有独立性样本具有独立性.12,nXXXX相互独立且与总体相互独立且与总体 具有相同的分布具有相同的分布 由简单随机抽样所得样本由简单随机抽样所得样本简单随机样本（简单随机样本（simple random sampling）：）：12(,)nXXX上页下页返回211()niiXn 二二.统计量（统计量（statistic）211()niiXn 11niiXXn X 12,nXXX定义定义4.1 是来自总体是来自总体 的一个样本，的一个样本，是一个连续函数，是一个连续函数，中不含任何未知中不含任何未知数，称数，称 为统计量。
6、为统计量。12(,)ng XXX12(,)ng xxxXg例：例：，已知，已知，未知未知2(,)XN 2 上页下页返回常用的统计量：常用的统计量：1.样本均值样本均值（sample mean）11niiXn 2.样本方差样本方差（sample variance 修正样本方差修正样本方差）2211()1niiSXXn 2211()1niiXnXn 未修正的样本方差未修正的样本方差22011()niiSXXn 211()1niiSXXn 3.样本标准差样本标准差 X上页下页返回11nkkiimXn 2,3,k 11()nkkiiMXXn 1,2,k 22201nMSSn 较大时，较大时，22MS
7、n4.样本的样本的 阶原点矩阶原点矩k5.样本的样本的 阶中心矩阶中心矩k上页下页返回4.2 抽样分布（抽样分布（sample distribution）抽样分布：统计量的分布。（抽样分布：统计量的分布。（*有些含有未知参数有些含有未知参数 的随机样本函数的分布也称抽样分布）的随机样本函数的分布也称抽样分布）一一.样本均值的分布样本均值的分布12,nXXX定理定理4.1 ，来自总体来自总体 的一的一个样本，则个样本，则 服从均值为服从均值为 ，方差为，方差为 的正态分的正态分布。布。2n 2(,)XN XX 211(,)niiXXNnn 上页下页返回2iDX 证：证：，iEX 1,2,in 1
8、1()nniiiiEXEXn 211()nniiiiDXDXn X定理定理4.2 任意总体，任意总体，来自来自 的一个样本，当的一个样本，当 充分大，充分大，近似服从正态近似服从正态分布分布12,nXXXEX 2DX 2(,)Nn nX由中心极限定理，当由中心极限定理，当 充分大时充分大时n上页下页返回1/niinXnXnn 近似服从近似服从(0,1)N近似服从近似服从2(,)Nn X由中心极限定理，当由中心极限定理，当 充分大时充分大时n结论结论:样本均值样本均值 的分布服从或近似服从正态分布的分布服从或近似服从正态分布.X上页下页返回1.定义定义22210()2()200nxnx exnf
9、 xx 随机变量随机变量二二.分布分布2 其中其中 是是 函数，称函数，称 服从自由度为服从自由度为 的的 分布分布()r Xn2 上页下页返回上页下页返回定理定理4.312,nXXX相互独立相互独立222212()nXXXn1,2,in(0,1)iXN2.分布的典型模式分布的典型模式2 期望与方差期望与方差:nnE)(2 nnD)(2 上页下页返回21()Xn 22()Yn 212()XYnn 定理定理4.4推论推论：推广推广1kiinn 12,kXXX独立同分布独立同分布1,2,ik 2()iiXn 212()kXXXn 3.分布的可加性分布的可加性2 相互独立相互独立,X Y上页下页返回
10、4.样本方差的分布（与样本方差的分布（与 有关的分布）有关的分布）定理定理4.5 2(,)XN 12,nXXX来自总体来自总体 的样本的样本 X2(1)n Note：只有来自正态总体的样本方差和样本均值才独立。：只有来自正态总体的样本方差和样本均值才独立。5.分布的自由度和分位数分布的自由度和分位数2（1）自由度）自由度相互独立相互独立与与 XS2)2(22221(1)1()niinSXX )1(2 上页下页返回x)(xf0 （2）分布的上侧分位点分布的上侧分位点2 上页下页返回例例1.，求，求 ，使，使2(11)X 12,21()()0.025P XP X210.975(11)3.8161(
11、)0.025P X 1()0.975P X 220.025(11)21.920例例2.设设 为取自总体为取自总体 的样的样 本，求本，求1210,XXX(0,0.09)XN1021(1.44)iiPX 2()0.025P X 解：解：解：解：(0,0.09)XN(0,1)0.3iXN1,2,10i 上页下页返回22(1)0.3iX 1,2,10i ，且相互独立，且相互独立21021(10)0.3iiX 1021(1.44)iiPX 21011.440.30.09iiXP 2101160.100.3iiXP 注：当注：当 近似服从近似服从 452nX(21,1)Nn 221()(21)2nnu
12、上页下页返回三三.分布（学生氏分布）分布（学生氏分布）t1.定义定义 随机变量随机变量 的密度函数的密度函数X12212()12nnxf xnnn x 称称 服从自由度为服从自由度为 的的 分布，记分布，记tXn()Xt n（1）图形关于直线）图形关于直线 对称；对称；0 x （2）较大时，与标准正态密度曲线接近。较大时，与标准正态密度曲线接近。n上页下页返回0 x)(xf上页下页返回2.分布随机变量的典型模式分布随机变量的典型模式t定理定理4.6(0,1)XN2()Yn ()/Xtt nY n 相互独立相互独立,X Y3.服从服从 分布的统计量（与分布的统计量（与t分布有关的分布）分布有关的
13、分布）t定理定理4.712,nXXX来自总体来自总体 的样本的样本 X2(,)XN /XtSn (1)t n 期望与方差期望与方差:)1(0)(nnEt)2(2)(nnnnDt上页下页返回2(1)n 222221(1)1()niinSXX X与与 相互独立相互独立22(1)nS 2/(1)Utn /XtSn (1)t n 22/XSn 证：证：2,XNn /XUn (0,1)N上页下页返回定理定理4.8 212,nYYY取自取自22(,)N 112,nXXX取自取自21(,)N 两组样本相互独立两组样本相互独立1212()()11wXYtSnn 12(2)t nn222112212(1)(1)
14、2wnSnSSnn 其中其中注：注：22212上页下页返回证：证：221212(,)XYNnn1212()11XYUnn (0,1)N2112(1)nS 21(1),n 2222(1)nS 22(1)n V 2112(1)nS 2222(1)nS 212(2)nn 122UVnn1212()()11wXYSnn 12(2)t nn上页下页返回4.分布的双侧分位数分布的双侧分位数t()tn ()P t n例例3：(15)tt（1）求）求 的双侧分位数；的双侧分位数；0.01 （2），求，求 ；()0.05P t 解解（1）0.01(15)2.947t（3），求，求 .()0.95P t（2），(
15、15)0.1P t()0.05P t 0.1(15)1.753t（3）()0.95P t()0.05P t 0.1(15)1.753t 自由度为自由度为 的的 分布的分布的 水平双侧分位数水平双侧分位数tn:0 x)(xf2 2)(nt)(nt 上页下页返回来自总体来自总体 的样本，且的样本，且 例例4.129,XXX2(,)XN 116Y 2126()(,)6XXXN 27891()3YXXX922271()2iiSXY ，求证：，求证：122()(2)YYZtS 证：证：126(),XXX116Y 27891()3YXXX2(,)3N 12YY 2(0,)2N 12/2YY (0,1)N2
16、(2)12/2YY 122()(2)YYZtS 222 s22 s上页下页返回1.定义定义 ：随机变量随机变量 的概率密度为的概率密度为X1121122211121222210()2200nnnnnnnnxxxnnf xnnx 四四.分布分布FF则称则称 服从自由度为服从自由度为 和和 的的 分布，分布，称第一自由称第一自由度，度，称第二自由度，记作称第二自由度，记作X1n1n2n2n12(,)XF n n上页下页返回0 x)(xf102021 nn 2120nn252021 nn上页下页返回2.分布随机变量的典型模式分布随机变量的典型模式F定理定理4.922()Yn 21()Xn 相互独立相
17、互独立,X Y12/X nFY n 12(,)F n n推论：推论：F12(,)F n n1F21(,)F n n上页下页返回3.服从服从F分布的统计量（与分布的统计量（与F分布有关的分布）分布有关的分布）212,nYYY112,nXXX取自取自222(,)N 取自取自211(,)N 两组样本相互独立两组样本相互独立22112222/SFS 12(1,1)F nn定理定理4.10上页下页返回证：证：22222(1)nS 21121(1)nS 22(1)n 21(1)n 12/(1)/(1)nFn 12(1,1)F nn22112222/SS Note：当：当 时，时，12 2122SFS 12
18、(1,1)F nn上页下页返回0 x)(xf),(21nnF:自由度为自由度为 和和 的的 分布分布 水平的上侧分位数水平的上侧分位数1n2nF()P F12(,)Fn n 4.分布的分布的上侧分位数上侧分位数F上页下页返回例例5.，求，求 使使(24,15)FF12,2()0.025P F 1()0.025P F 解：解：20.025(24,15)2.70F 1111()()0.025P FPF 1(15,24)FF0.02511(15,24)F 10.025110.411(15,24)2.44F 上页下页返回来自总体来自总体 的样本，求的样本，求 例例6.12,nXXX(0,1)XN5212615iiniiXnVX (5)n 的分布的分布.解：解：5221(5)iiX 226(5)niiXn 521265(5,5)5iiniiXFnXn 5212615iiniiXnVX
