1、1.1.二次函数 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个 矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明 同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积 最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投 篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算 篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模 型来解决，今天我们学习“二次函数” 情 境 引 入 请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个 变量变量 y y 与与 x x 之间的关系：之间的关系： (1)圆的面积圆的面积 y ( &
2、nbsp;)与圆的半径与圆的半径 x ( cm ) 2 cm y =x2 (2)某商店某商店1月份的利润是月份的利润是2万元，万元，2、3月份利润逐月月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的月份的 利润为利润为y y = 2(1+x)2 (3)拟建中的一个温室的平面图如图拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是如果温室外围是 一个矩形，周长为一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图室内通道的尺寸如图,设设 一条边长为一条边长为 x (m), 种植面积为种植面积为 y (m2)。 1 1 1 3 x y = (60-x-4)(x-
3、2) 1.y =x2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? ? 经化简后都具有经化简后都具有y=ax +bx+c 的形式的形式. (a,b,c是常数是常数, ) a0 我们把形如我们把形如y=axy=ax +bx+c+bx+c( (其中其中a,b,ca,b,c 是常数，是常数，a0a0) )的函数叫做的函数叫做二次函数二次函数 称：称：a为二次项系数，为二次项系数， b为一次项
4、系数，为一次项系数， c为常数项为常数项, 下列函数中下列函数中,哪些是二次函数哪些是二次函数? 22 2 2 ) 1()4( )1 ()3( 1 )2( ) 1 ( xxy xxy x y xy 是是 不是不是 是是 不是不是 先化简后判断先化简后判断 (5)y=3x-1 不是不是 1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项数、常数项 （1） y=-x2+58x-112 （ （2）y=x2 2、指出下列函数y=ax+bx+c中的中的a、b、c （1） y=-3x2-x-1 （2）y=x2+x （3）y=5x2-6 请举请举1个符合以下条件的
5、个符合以下条件的y关于关于x的二次函数的二次函数 的例子的例子 （1）二次项系数是一次项系数的）二次项系数是一次项系数的2倍，倍， 常数项为任意值。常数项为任意值。 （2）二次项系数为）二次项系数为-5，一次项系数为，一次项系数为 常数项的常数项的3倍。倍。 展示才智展示才智 例例1、若函数、若函数 为二次函数，为二次函数， 求求m的值。的值。 mm2 2 1)x(my 解：因为该函数为二次函数，解：因为该函数为二次函数， 则则 )2(01 )1(2 2 2 m mm 解（解（1）得
6、：）得：m=2或或-1 解（解（2）得：）得： 11mm且 所以所以m=2 例例2 2：已知二次函数已知二次函数y=x+px+q,y=x+px+q,当当x=1x=1时时, ,函函 数值为数值为4,4,当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为- - 5, 5, 求这个二求这个二 次函数的解析式次函数的解析式. . 2 ,yxpxq 解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数得： 14 425 pq pq 12,15.q解得，p 2 1215yxx所求的二次函数是 已知二次函数已知二次函数 4) 1( 2 2 xy 当当x=1时时,函数函数y有最小值为有最小值为4 x取任意
7、实数取任意实数 （1 1）你能说出此函数的最小值吗？）你能说出此函数的最小值吗？ （2 2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ 例如：圆的面积例如：圆的面积 y ( )y ( )与圆的半径与圆的半径 x x （cmcm) )的函数关系是的函数关系是 2 cm y =x2 其中自变量其中自变量x能取哪些值呢？能取哪些值呢？ 0x 问题问题：是否任何情况下二次函数中的自变量是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？的取值范围都是任意实数呢？ 注意注意: :当二次函当二次函 数表示数表示
8、某个实际问题时某个实际问题时,还必还必 须根据题意确定自变须根据题意确定自变 量的取值范围量的取值范围. 例例3:3: 如图，一张正方形纸板的边长为如图，一张正方形纸板的边长为2cm,2cm,将它将它 剪去剪去4 4个全等的直角三角形个全等的直角三角形 ( (图中阴影部分图中阴影部分 ) ) ， 设设AE=BF=CG=DH=x(cm)AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形，四边形 EFGHEFGH的面积为的面积为 y(cmy(cm2 2) )，求，求 : : (l)(l)求求y y关于关于 x x的函数解析式和的函数解析式和
9、自变量自变量x x的取值范围的取值范围 A B E F C G D H X X X X 2X 2X 2X 2X (2)当当x分别为分别为0.25，0.5，1，1.5， 1.75 时时 ，求对应的四边形，求对应的四边形EFGH的的 面积面积y，并列表表示，并列表表示. x 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y 2 请大家分析上表请大家分析上表，分组讨论一下：分组讨论一下： (1)随着随着x的取值的增大的取值的增大，y的值有怎样的变化的值有怎样的变化？ x 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y 2 8 25 2 5 2 5 8 25 (2)当当x x
10、为多少时，四边形为多少时，四边形EFGHEFGH的面积最小？的面积最小？ 填表填表 满足什么条件时当 ，是常数其中函数 cb,a, )cb,a,c(bxaxy 2 01a）解：（ 0, 0)2(ba 0, 0, 0) 3(cba (2)它是一次函数？它是一次函数？ (3)它是正比例函数？它是正比例函数？ (1)它是二次函数它是二次函数? 这堂课，你学到了哪些新知识？这堂课，你学到了哪些新知识？ 驶向胜利 的彼岸 x 2 2、用、用2020米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的 一边为一边为x,x,矩形的面积为矩形的面积为y,y,求：求：
11、 (1)(1)写出写出y y关于关于x x的函数关系式和自变的函数关系式和自变 量的取值范围量的取值范围. . (2)(2)当当x=3x=3时时, ,矩形的面积为多少矩形的面积为多少? ? 1 1、已知二次函数、已知二次函数y=axy=ax +bx+3, +bx+3, 当当x=2x=2时时, ,函数值为函数值为3, 3, 当当x= x= - - 2 2时时, , 函数值为函数值为2, 2, 求这个二次函数的解析试求这个二次函数的解析试. . 独立独立 作业作业 二次函数二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系的二次项系 数是数是_,常
12、数项是常数项是_. 当当k=_时时,函数函数y=(k-1)xk 2+1+3x 是二次函数是二次函数 说出二次函数说出二次函数y=y=- -x x2 2+8x+8x- -1 1的一次的一次 项系数，二次项系数，常数项项系数，二次项系数，常数项 对于任意实数对于任意实数k,k,下列函数一定是二次函数的是下列函数一定是二次函数的是( )( ) A、y=(k-1)2x2 B、y= (k+1)2x2 C、 y=(k2+1)x2 D、 y=(k2-1)x2 &nb
13、sp;正方形的边长是，若边长增加正方形的边长是，若边长增加x，则面积增加，则面积增加y， 则则y关于关于x的函数关系式是，的函数关系式是， 它是二次函数吗？它是二次函数吗？ 已知二次函数已知二次函数y= xy= x2 2+bx+c+bx+c，当，当x=x=时，时，y=y=， 当当x=x=时，时，y=3,y=3,你能求出二次函数的解析式吗？你能求出二次函数的解析式吗？ 下列函数中，哪些是二次函数？下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 &
14、nbsp; (4)y=2x2-2x+1 (5)y= (6)y=x2-x(1+x) 回顾知识回顾知识: : 一、正比例函数一、正比例函数y=kx（k 0）其图象是什么）其图象是什么. 二、一次函数二、一次函数y=kx+b（k 0）其图象又是什么）其图象又是什么. 正比例函数正比例函数y=kx（k 0）其图象是一条经过）其图象是一条经过原点原点的的 直线直线. 一次函数一次函数y=kx+b（k 0）其图象也是一条直线）其图象也是一条直线. 反比例函数反比例函数 &
15、nbsp; （k 0）其图象是双曲线）其图象是双曲线. k y x 三、反比例函数三、反比例函数 （k 0）其图象又是什么）其图象又是什么. k y x 二次函数二次函数y=ax + bx+c（a 0） 其图象又是什么呢？其图象又是什么呢？. 二次函数二次函数y=ax2的图像的图像 x y 1 x y 2 x y=x2 y= - x2 . . . . . . 0 -2 -1.5 -1 -0.5 1 1.5 0.5 2 函数图象画法函数图象画法 列表列表 描点描点 连线连线 0 0.25 1 2.25 4 0.25 1 2.25 4 描点法描点法 用光滑
16、曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 用光滑曲线连结时要用光滑曲线连
17、结时要 自左向右顺次连结自左向右顺次连结 0 -0.25 -1 -2.25 -4 -0.25 -1 -2.25 -4 注意：列表时自变量注意：列表时自变量 取值要均匀和对称。取值要均匀和对称。 画出下列函数的图象。画出下列函数的图象。 2 2 2 3 2 ) 3 ( 2) 2( 2 1 ) 1 ( xy xy xy 2 xy 2 xy x y=2x2 . . . . 0 -2 -1.5 -1 -0.5 1 1.5 0.5 2 x y=x2 . . . . 0 -4 -3 -2 -1 2 3 1 4 2 2 1 xy 0 0.5 2 4.5 8 0.5 2 4
18、.5 8 列表参考 0 0.5 2 4.5 8 0.5 2 4.5 8 x . . . . 0 -3 -1.5 -1 1.5 1 -2 2 3 2 2 3 yx 0 2 3 1.5 8 3 -6 2 3 1.5 8 3 -6 2 2 1 xy 2 2xy 2 3 2 xy 二次函数二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 2 2xy 2 3 2 xy 2 2 1 xy 2 xy 2 xy 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称，对称，y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 &n
19、bsp; 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称，对称，y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴 对称，对称，y轴就是它的轴就是它的 对称轴。对称轴。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点 叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点。 2 xy 2 xy 1、观察右图，、
20、观察右图， 并完成填空。并完成填空。 抛物线抛物线 y=x2 y=-x2 顶点坐标顶点坐标 对称轴对称轴 位置位置 开口方向开口方向 增减性增减性 极值极值 （0，0） （0，0） y轴轴 y轴轴 在在x轴的上方（除顶点外）轴的上方（除顶点外） 在 在x轴的下方（除顶点外）轴的下方（除顶点外） 向上向上 向下向下 当当x=0时，最小值为时，最小值为0。 当当x=0时，最大值为时，最大值为0。 二次函数二次函数y=ax2的性质的性质 、顶点坐标与对称轴、顶点坐标与对称轴 、位置与开口方向、位置与开口方向 、增减性与最值、增减性与最值 2 2、练习、练习2 2 3 3、想一想、想一想
21、 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 4 4、练习、练习4 4 说明演示说明演示 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内如果在同一坐标系内 画函数画函数y=ax2与与y= -ax2的图象，怎样画才简便？的图象，怎样画才简便？ 答：抛物线抛物线答：抛物线抛物线y=x2与抛
22、物线与抛物线 y= -x2 既关于既关于x轴对轴对 称，又关于原点对称。只要画出称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与与y= -ax2中的中的 一条抛物线，另一条可利用关于一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点轴对称或关于原点 对称来画。对称来画。 2 xy 2 xy 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的 左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而 减小。减小。 当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的 右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而 增大。增大。 &nb
23、sp; 当当a0,试比较试比较y1与与y2的大小的大小. 1.二次函数二次函数y=ax2(a0)的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线. 2.图象关于图象关于y轴对称轴对称,顶点是坐标原点顶点是坐标原点. 3.当当a0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上,顶点是抛物顶点是抛物 线上的最低点线上的最低点;当当a 0 有有一个一个交点交点 b b2 2- -4ac = 04ac = 0 没有没有交点交点 b b2 2- -4ac CB则下列等式则下列等式 成立的是成立的是（ ） (A) AB2=ACCB &
24、nbsp; (B) CB2=ACAB (C) AC2=CBAB (D) AC2=ABBC 例题分析例题分析 例例4.如图如图,点点P是线段是线段AB的黄金分割点的黄金分割点，且且APBP （1）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项）请写出黄金分割的比例式，并指出比例中项 个有效数字）个有效数字）的值（结果保留的值（结果保留）求）求（22 PB AP （3）若）若AB=2，求，求PB A B P D 1.经过经过点点B作作BDAB,使使 2.连接连接AD,在在AD上截取上截取DE=DB. 3.在在AB上截取上截取AC=AE. 你
25、能验证这个结论吗你能验证这个结论吗?相信你完成下列相信你完成下列 两个小题后就会有答案两个小题后就会有答案. 三、动手画一画三、动手画一画 找黄金分割点找黄金分割点 已知线段已知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点用直尺和圆规作出它的黄金分割点 作法作法: 2请计算请计算 1如果设如果设AB=1,那那BD,AD,AC,BC分别分别 等于多少等于多少? 点点C就是所求线段就是所求线段AB的黄金分割点的黄金分割点 A E BC D 黄金分割的深远意义黄金分割的深远意义 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的 几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如
26、几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如 古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上 海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽 与长之比也设计成与长之比也设计成0.618，在自然界中也有，在自然界中也有 很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后 的长度之比约为的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与许多美丽的形状都与 0.618这个比值有关。这个比值有关。 古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也是按 黄金比黄金比0.618来建立，他们认为这样的长方形来建立，他们认为这
27、样的长方形 看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金看来是较美观；其大理石柱廓，就是根据黄金 分割律分割整个神庙的分割律分割整个神庙的. 帕 特 农 神 庙 帕 特 农 神 庙 五、应用新知五、应用新知 体验成功体验成功 你能用所学你能用所学 的知识解释的知识解释 帕特农神庙帕特农神庙 建筑中所蕴建筑中所蕴 含的数学道含的数学道 理吗理吗? 积累就是知识积累就是知识 请用请用所学知识所学知识回答上面的问题回答上面的问题 AEBC AB BC BC BE ，）解：（ 1 AB AE AE BE 的黄金分割点是点ABE A B C D E F 618. 02 AB BC BC BE ）（ 的宽与长
28、的比是黄金比矩形ABCD 这时的矩形这时的矩形ABCD称称黄金矩形黄金矩形 1.1.作顶角为作顶角为3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC与腰与腰ABAB的长度的长度, ,计算计算: : ; 2.2.作作B B的平分线的平分线, ,交交ACAC于点于点D,D,量出量出CDCD的长度的长度, , 再计算再计算: : . (. (精确到精确到0.001)0.001) D D C C &n
29、bsp;A A B B E E 尝试尝试 0.6180.618 0.6180.618 再作再作CC的平分线的平分线, ,交交BDBD于于E,E, CDECDE也是也是黄金三角形黄金三角形 顶角为顶角为3636的等腰三角形称为的等腰三角形称为 黄金三角形黄金三角形 点点D D是线段是线段ACAC的黄金分割点的黄金分割点. . 六、拓展新知六、拓展新知
30、 七、生活中的黄金分割七、生活中的黄金分割 1.小明家的房间高小明家的房间高3M,他打算在四周墙中他打算在四周墙中 涂上涂料美化居室涂上涂料美化居室,从地面算起从地面算起,涂到多高涂到多高 时才使人感到舒适时才使人感到舒适? 2在人体下半身与身高的比例上，越接近在人体下半身与身高的比例上，越接近 0.618，越给人美感，遗憾的是，即使是身体，越给人美感，遗憾的是，即使是身体 修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某修长的芭蕾舞演员也达不到如此的完美。某 女士身高女士身高1.68米，下半身米，下半身1.02米，她应该选米，她应该选 择多高的高跟鞋看起来更美呢？择多高的高跟鞋看起来更美
31、呢？ 八、读一读八、读一读 神奇的神奇的0.618 打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬3030度度 左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁 门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬北纬 3030度度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山， 九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好 在在这黄金分割的纬度这黄金分割的纬度上。上。 &n
32、bsp;蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, , 普通树叶的宽与普通树叶的宽与 长之比也接近长之比也接近0.6180.618; ; 节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，节目主持人报幕，绝对不会站在舞台的中央，而总是站而总是
33、站 在舞台的在舞台的1 13 3处，站在处，站在舞台上侧近于舞台上侧近于0.6180.618的位置才是最的位置才是最 佳的位置佳的位置; 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来 舒服顺眼，舒服顺眼，正规裁法得到的纸张正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对于，不管其大小，如对于8 8 开、开、1616开、开、3232开等，都仍然是近似的开等，都仍然是近似的黄金矩形黄金矩形。 九、谈谈
34、感受九、谈谈感受 清点收获清点收获 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别；线段的比例中项与数的比例中项的区别； 1.比例中项的概念比例中项的概念. 3.什么是什么是黄金分割黄金分割. 4.如何去确定如何去确定黄金分割点黄金分割点或或黄金比黄金比. 5.用数学美去装点和用数学美去装点和美化生活美化生活. 十、布置作业十、布置作业 : 课本课本P102 1、3、4、5 课外作业课外作业:请同学们收集建筑、雕刻和自然界请同学们收集建筑、雕刻和自然界 的黄金分割的黄金分割 知识象一艘船 让它载着我们 驶向理想的 谢 谢 合 作 谢 谢 合 作 再 见 再 见
35、4.2由平行线截得的比例 线段 问题问题1：这两个三角形是否为相似形？：这两个三角形是否为相似形？ 观察左图中两 幅图形的形状 和大小有什么 关系？ 相似形定义：相似形定义：我们把形状相同的两个图我们把形状相同的两个图 形称为相似形。形称为相似形。 表示为： ABC A'B'C' C A B A' B' C ' 在写两个三角形相似时应 把表示对应顶点的字母写在对 应的位置上。 注意注意 读作：读作： ABC相似于相似于 A'B'C' ABC与与 A'B'C&#
36、39;相似相似 用符号语言表示：用符号语言表示： A= A 、B= B 、 C=C， C BA 'A'C CA 'C'B BC 'B'A AB C' B'A' ABCA'B'C' （相似三角形的定义可以作为三 角形相似的一种判定方法。） A B C D E F 2cm 3cm 那么ABC与DEF对应边的比= 已知ABCDEF，AC=2cm，DF=3cm 我们将相似三角形对应边的比我们将相似三角形对应边的比 称之为相似比称之为相似比。(用字母用字母k表示）表示） 2/3 ？ 问题问题2 C A B A
37、' B' C' 6cm 3cm ABC与A'B'C'的 相似比k1 2 1 'C'B BC A'B'C'与ABC的相似比k2 1 2 BC 'C'B ABCA'B'C' 问题问题 三角形的前后次序不同，三角形的前后次序不同， 所得相似比不同。所得相似比不同。 ADE=B,AED=C， 又 A= A D E A B C ( 2 ) ABCADE 已知已知BCDEBCDE A B C ( 1 ) D E ABC与与ADE是否是否相似？相似？ 若若D、E点分别在
38、两边的延长线上点分别在两边的延长线上 呢？结论是否成立？呢？结论是否成立？ 问题问题3 BCDE AC AE BC DE AB AD 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边(或两或两 边的延长线边的延长线)相交，所构成的三角形与原三相交，所构成的三角形与原三 角形相似。角形相似。 A B C ( 1 ) A B C ( 2 ) D E D E 用数学符号表示：用数学符号表示： DEBC ADEABC 三角形的中位线三角形的中位线截得的三角形截得的三角形与与原三角形原三角形是是 否相似？否相似？ 相似比是多少？相似比是多少？ A B C D E 问题问题 已知：如图，已
39、知：如图，ABEF CD，则，则AOB与与 _和和_都相似。都相似。 CD A B E F O 3 图中共有图中共有_对相似三角形。对相似三角形。 EOFCOD FOE DOC ABEF AOB FOE ABCD EFCD AOB DOC 问题问题 A B C D E F 图中有几个三角形相似 思考题 DF/BC DE/AC EF/AB 已知： 为什么？为什么？ 相似三角形的传递性：如果如果 ABCA1B1C1 ， 而而A1B1C1 A2B2C2 那那么么ABCA2B2C2 。 如果如果ABCA1B1C1 而而A1B1C1 A2B2C2 那么那么ABC与与
40、A2B2C2 是否相似？是否相似？ 问题问题 如果一个三角形的三边长分别为如果一个三角形的三边长分别为5、12和和13， 与其相似的三角形的最长边为与其相似的三角形的最长边为39，你知道这个三，你知道这个三 角形的其它情况吗？角形的其它情况吗？ 1全等三角形是不是相似三角全等三角形是不是相似三角 形？说明你的理由。形？说明你的理由。 （）所有的等腰三角形是（）所有的等腰三角形是 不是相似三角形？不是相似三角形？ （）所有的直角三角形是不是（）所有的直角三角形是不是 相似三角形？相似三角形？ （）所有的正三角形是不是相（）所有的正三角形是不是相 似三角形？似三角形？ 全等全等三角形的判定三角形的
41、判定 ASA AAS SAS SSS ASA AAS SAS SSS 两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三角形相且夹角相等的两个三角形相 似吗似吗? ? 相似相似三角形的判定三角形的判定1: 有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。 '''' ABBC A BB C B=BB=B/ / 请同学们在如图的方格纸上请同学们在如图的方格纸上 画两个三角形，使画两个三角形，使ABCABC与与 A
42、A/ /B B/ /C C/ /满足满足 合作探究合作探究 再量一量再量一量C与与C的大小的大小，看看你有什么发现。，看看你有什么发现。 ABCABC与与A A/ /B B/ /C C/ /相似吗？相似吗？ A A B B C C B B/ / A A/ / C C/ / 命题命题: :如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边 对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. . 全等全等三角形
43、的判定三角形的判定 ASA AAS SAS SSS ASA AAS SAS SSS 两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三角形相且夹角相等的两个三角形相 似似. . 相似相似三角形的判定三角形的判定1: 有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。 相似相似三角形的判定三角形的判定2: 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. A A B B C C 把方格纸中的把方格纸中的ABCABC的各边
44、放的各边放 大到原来的大到原来的2 2倍，得到倍，得到A A/ /B B/ /C C/ / 合作探究合作探究 AA CC BB 相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理3 3：三边对应成比例的两三边对应成比例的两 个三角形相似。个三角形相似。 ABCABC与与A A/ /B B/ /C C/ /相似吗？相似吗？ ABCABC与与A A/ /B B/ /C C/ /的三边有什么的三边有什么 数量关系？数量关系？ 几何语言表示：几何语言表示： ABCABCA A B B C C / CB
45、BC CA AC BA AB 全等全等三角形的判定三角形的判定 ASA AAS SAS SSS ASA AAS SAS SSS 两边对应成比例两边对应成比例, ,且夹角相等的两个三角形相且夹角相等的两个三角形相 似似. . 相似相似三角形的判定三角形的判定1: 有两个角对应相等的两个三角形相似。有两个角对应相等的两个三角形相似。 相似相似三角形的判定三角形的判定2: 三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角形相似. 相似相似三角形的判定三角形的判定3: &nb
46、sp;F F 3636 3030 4848 C C A A B B 4545 7272 5454 判断下图中的各对三角形是否相似？判断下图中的各对三角形是否相似？ DE BC FE AC FD AB 2 3 辨一辨辨一辨 35 20 7 4 C A B 54 AE AC AD AB 1 5 DAEBAC （2 2） 判断下图中的各对三角形是否相似？判断下图中的各对三角形是否相似？ 辨一辨辨一辨 （4 4）判断图中的各对三角形是否相似。）判断图中的各对三角形是否相似。 &nb
47、sp;AB C D O 56 24 20 AB C D E F 30 36 4872 45 54 A B D P 8 1221 14 A B C D P 4 1112 18 辨一辨辨一辨 求证求证:DEBC:DEBC A A B B C C D D E E AC AE AB AD 例例1 1、如图、如图, ,已知点已知点D,ED,E分别在分别在AB,ACAB,AC上上, ,且且 证明：证明：A=AA=A AC AE AB AD ABCABCADEADE ADE=BADE=B
48、; DEBCDEBC 方法一：方法一：设小正方形的边设小正方形的边 长为长为1 1，则比较容易计算，则比较容易计算 三边的长度，然后寻找三三边的长度，然后寻找三 边的对应关系；边的对应关系； 方法二：方法二：仔细观察不难发仔细观察不难发 现图中的现图中的BACBAC和和DEFDEF都都 是直角，那么能否从两边是直角，那么能否从两边 一夹角的角度考虑并证明。一夹角的角度考虑并证明。 例例2、如图判断如图判断44方格中的两个三角形是否相似方格中的两个三角形是否相似, 并说明理由并说明理由. E E D D F F B B &n
49、bsp;A A C C 22AB 10BC 2CA E E D D F F B B A A C C 例例2、如图判断如图判断44方格中的两个三角形是否相似方格中的两个三角形是否相似, 并说明理由并说明理由. 解：根据勾股定理，得：解：根据勾股定理，得： 52EF 5FD5DE 5 2 FD BC EF AB DE CA ABCABCEFDEFD ( (相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理3)3) D是是ABC边边AB上一点，上一点， 若若AC2=AD AB ，ABC与与C
50、AD相相 似吗似吗?为什么为什么? 若若BCDBAC,需补充什么条件需补充什么条件? A B C D 1 1、如图：在、如图：在ABCABC中，中，D D，E E分别为分别为ABAB、ACAC上的点，若上的点，若 AD=4AD=4，BD=3.5BD=3.5，AE=5AE=5，EC=1EC=1，则下列结论错误的是（，则下列结论错误的是（ ） A A、1.5DE=BC1.5DE=BC B B、ABCABCAEDAED C C、ADE=BADE=B D D、AED=BAED=B C C B B &nbs
51、p; A A C C 2 2、如图、如图,D,D为为ABCABC的边的边ABAB上一点上一点. .若使若使ACDACD与与ABCABC相相 似似, ,可添加可添加一个一个什么条件什么条件? ?你有几种添加条件的你有几种添加条件的不同方法不同方法? ? C C B B A A 方法一方法一: :添加一个角相等添加一个角相等 方法二方法二: :添加两边对应成比例添加两边对应成比例 如如 ADC=ACB ADC=ACB &nb
52、sp;或或 ACD=BACD=B AB AC AC AD 如： 或或 ACAC2 2=ADAB=ADAB 3 3、在直角梯形、在直角梯形BACDBACD中中,ACCD,AC=CD=4AB, E,ACCD,AC=CD=4AB, E是是ACAC中中 点点. .求证求证: :ABEABECEDCED E E D D C C B B A A 变式练习变式练习: :若若AB=2,EAB=2,E是线段是线段ACAC上的一个动点上的一个动点, , ABEABE 与与CEDCED相似相似, ,求求AEA
53、E的长的长. . 在有平行横线的练习本上画一条线段AB,使 线段的两端点A,B恰好在两条平行线上,线段 AB就被平行线分成了相等的三小段.你能说 出这一事实的数学原理吗?如果只给你圆规和 直尺,你会把任意一条线段AB五等分吗?请试 一试,并说明你的画法的依据. B A 思考题：思考题： 如图所示，在平面直角坐标系中，已知如图所示，在平面直角坐标系中，已知 AO=12cm，OB=6cm，点，点P从点从点O开始沿开始沿 OA边向点边向点A以以1cm/s的速度移动；点的速度移动；点Q从从 点点B开始沿开始沿BO边向点边向点O以以1cm/s的速度移的速度移 动动.如果如果P，Q同时出发，用同时出发，用t（s）表示移）表示移 动的时间（动的时间（0t6），那么：），那么： （1）设）设POQ的面积为的面积为y，求，求y关于关于t的函的函 数解析式；数解析式； （2）当）当POQ的面积最大时，
