1、21.1 二次函数 第21章 二次函数与反比例函数 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1.掌握二次函数的概念；（重点） 2.能识别一个函数是不是二次函数； (重点) 3.能根据实际情况建立二次函数模型.（难点） 学习目标 雨后天空的彩虹，公园里的喷泉， 跳绳等都会形成一条曲线.这些曲线能否 用函数关系式表示？ 导入新课导入新课 图片引入 1.什么叫函数? 一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x与y，并 且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变量，y是x的函数. 3.一元二次方程的一般形式是什么？ 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数
2、，k0）的函数叫做 一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数. 2.什么是一次函数？正比例函数？ ax2+bx+c=0 (a0) 请用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系： (1)圆的面积 y ( )与圆的半径 x ( cm ); 2 cm (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这 两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y； 讲授新课讲授新课 二次函数的概念及建立二次函数模型 一 探究归纳 (3)一个温室的平面图如图,温室外围是一个矩形，周长为 120m , 室内通道的尺寸如图,设一
3、条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2). 1 1 1 3 x 1. y =x2 2. y = 2(1+x)2 3. y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112 上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征? 经化简后都具有y=ax +bx+c(a,b,c是常数, )的形式. a0 一般地，表达式形如 y=ax +bx+c (其中a,b,c是常数，a0) 的函数叫做二次函数. 二次函数的一般式为 y=ax +bx+c (其中a,b,c是常数， a0) ，其中a为二次项系数，ax2叫做二次项；b为一次 项系数，b
4、x叫做一次项;c为常数项. 二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在 实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.如 问题（3）中，2x56. 归纳 1.下列函数中,哪些是二次函数? 22 2 2 ) 1()4( )1 ()3( 1 )2( ) 1 ( xxy xxy x y xy 先化简后判断 练一练 是 不是 是 不是 .把下列函数化成一元二次函数的一般式. (1)y=(x-2)(x-3); (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2. 解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; (2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2
5、+4x-6; (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. 3.（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（ ）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘 米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的 表达式 2 cm 解：（1）y=x2; (2) y=(4+x)(3+2x). 例：关于x的函数 是二次函数, 求m的值. mm xmy 2 ) 1( 注意:二次函数的二次项系数不能为零. 解：根据题意得m+10且 m -m=2，解
6、得m=2. 根据二次函数的定义求待定字母的值 二 典例精析 1. 函数 （m 为常数） （1）当 m _时，这个函数为二次函数； （2）当 m _时，这个函数为一次函数 2 = 2 （ ） m - 2 x 2 + mx - 3 y = 练一练 2.请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子. （1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值； （2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍. y=2x2+x+3（答案不唯一） y=-5x2+9x+3（答案不唯一） 1.下列函数中，哪些是二次函数？ (1) y=3x-1
7、 (2) y=3x2 (3) y=3x3+2x2 (4) y=2x2-2x+1 (5) y=x-2+x (6) y=x2-x(1+x) 当堂练习当堂练习 解：（2）、（4）是二次函数. 2.填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛，则比 赛场次数 m
8、与球队数 n 之间的关系是_ S = 4r 2 m =n n - 1 （ ） (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ (1)它是二次函数? 3.函数y=ax +bx+c（其中a,b,c是常数），当a,b,c满足什么条件时， a0 a=0且b0 a=0,b0且c=0 4写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积y（ ）与正方体棱长x（cm）之 间的函数关系； （2）写出圆的面积y（ ）与它的周长x（cm）之间的函数 关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积y（ ）
9、 与一对角线长x（cm）之间的函数关系 2 cm 2 cm 2 cm . xxxxy ;x x y ;xy 13 2 1 26 2 1 3 4 1 2 2 61 2 2 2 2 解：解： 定义中应该注意的几个问题: 1.定义：一般地,形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数叫做x的 二次函数. y=ax +bx+c(a,b,c是常数,a0)的几种不同表示形式: (1)y=ax (a0,b=0,c=0,). (2)y=ax +c(a0,b=0,c0). (3)y=ax +bx(a0,b0,c=0). 2.定义的实质是：ax +bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自 变量x的
10、取值范围是全体实数. 课堂小结课堂小结 21.2 二次函数的图象和性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1.二次函数y=ax 的图象和性质 1.正确理解抛物线的有关概念；（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax 的图象，概括出图象的特点； (难点) 3.掌握形如y=ax 的二次函数图象的性质，并会应用.（难点） 学习目标 问题1 我们学过哪些函数？研究这些函数是从哪几个方面入 手的？我们要研究二次函数应该从哪几个方面入手呢？ 问题2 函数图象的画法是什么？一般步骤有哪些？ 导入新课导入新课 回顾与思考 o 9 解：（1）列表： x 3 2 1 0 1 2 3
11、;y = x2 （2）根据表中x,y的数值在坐标平 面中描点（x,y）; 3 3 3 6 9 0 1 4 9 1 4 9 （3） 如图，再用平滑曲线顺次连 接各点， 就得到y = x2 的图象 画二次函数 y=x2的图象. 3 3 6 x y 讲授新课讲授新课 二次函数 y=ax 的图象 一 3 3 o 3 6 9 当取更多个点时，函数y=x2的图象如下： x y 二次函数 的图象形如物体抛射时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线. 2 xy 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴.
12、 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点. 例：画二次函数 的图象. x 0 1 2 3 4 0 1 4 2 1 4 yx 1 4 9 4 描点和连线：画出图象在y轴 右边的部分，再利用对称性 画出y轴左边的部分. 2 1 4 yx 解：列表 2 4 2 4 2 4 这样我们得到了 的图象，如图 2 4 1 xy x y o 观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？ 2 1 4 yx 的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线. 2 4 2 4 2 4 2 1 4 yx x y o 以铅球在空中经过的路
13、线的最高点为原点建立直角坐标 系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出 铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段. 2 4 2 4 2 4 2 (0)yax a x y o 1.yx2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而 减小; 4图象关于y轴对称; 5顶点（ 0 ，0 ）; 6图象有最低点 观察图象y=x2,说说它有哪些特点. 二次函数 y=ax 的性质 二 2 2 2 4 6 4 4 8 相同点：开口都向上，顶 点是原点而且是抛物线的
14、最低点，对称轴是 y 轴 不同点：a 越大，抛物线的 开口越小 归纳： x y o 1. 画出函数 的图象，并考虑这些抛物线 有什么共同点和不同点 22 2, 2 1 xyxy 2 2 2 4 6 4 4 8 相同点：开口都向下， 顶点是原点而且是抛物 线的最高点，对称轴是 y 轴. 不同点：a 的绝对值越大， 抛物线的开口越小 归纳： 2.在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2, y= x2
15、 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点 x y o 2 1 例：一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴， 且经过点（-1， ） （1）求这个二次函数的解析式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）根据图象指出，当x0时，若x增大，y怎样变化？当 x0时，若x增大，y怎样变化？ （4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？ 4 1 典例精析 （1）求这个二次函数的解析式； 解：设这个二次函数解析式为 y =ax2，将（-1， ）代入得 y= x2. 4 1 4 1 （2）画出这个二次函数的图象； （3）根据图象指
16、出，当x0时，若x增大，y怎样变化？当 x0时，若x增大，y怎样变化？ （4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？ 解：当x=0时，y有最小值为0. 2 1 4 yx 当x0时，y随x增大而增大；当x0时, y随x增大而减小； 二次函数y= -3x2 (1)图象的开口向 _，对称轴是 _， 顶点是_ ，顶点坐标是_.图象有最_点. (2)当x_时，y随x的增大而增大. (3)当x_时，y随x的增大而减小. (4)当x_时，函数y有最_值_. 下 y轴 原点 （0,0） 0 0 高 =0 大 0 练一练 1.画出下列函数图象： （1）y=2x2 ; &nb
17、sp; （2）y= x2 2 1 2. 2.下列函数中，当x0时，y值随x值增大而减小的是 （ ） A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2 3 4 yx 2 x 当堂练习当堂练习 解：画图略. D 而变化的规律吗？ 的变化的值随函数的值为多少？你能说明此时 值？最大值是多少？为何值时，函数有最大 增大而增大？ 的随为何值时，坐标是什么？此时，当 点？最低点的为何值时，图象有最低）（ 的
18、值）求满足条件的（ 的二次函数是关于已知函数 xyx m xyx m ;m xmxy m 3 2 1 1 2 3. 解：（1）由题意知m0，m2+1=2,得m= -1或1； （2）当m=1时，图象有最低点，最低点的坐标为 （0,0）.此时，当x0时，y随x的增大而增大； （3）当m= -1时，函数有最大值，最大值是0.此时，x 的值为0.当 x0时，y随x的增大而减小；当x0 时，y随x的增大而增大. 1.一般地，抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点； 2.当a0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a0时，抛物线
19、开口向下，顶点是抛物线的最高点； 3.对于抛物线 y = ax 2 （a0） 当x0时，y随x取值的增大而增大； 当x0 时，向上平移k个单位; 当k0向上,a0向上,a0时，开口向上；当a0 时，向上平移k 个单位; 当k0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而_； 在对称轴的右侧y随x的增大而_. （4）当a0时, 开口向上; 当a0) y=a(x+h)2+k(a 0,开口向上; 对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3). 2 1 3)6( 2 1 2 xy 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 描点、连线，画出函数 &nb
20、sp; 图象. （6,3） O x 5 5 10 3)6( 2 1 2 xy y 问题： (1)看图象说说抛物线 的增减性； (2)怎样平移抛物线 可以得到抛物线 ？ 216 2 1 2 xxy 216 2 1 2 xxy 2 2 1 xy 解：（1）当x6时，y随x的增大而增大， 当x6时，y随x
21、的增大而减小； （2）把抛物线 先向右平移6个单位，再向上平 移3个单位即可得到抛物线 . 归纳：二次函数 图象的画法： (1)化” ：化成顶点式 ； (2)定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)画”：列表、描点、连线. 216 2 1 2 xxy 求二次函数y=ax +bx+c的对称轴
22、和顶点坐标 配方: cbxaxy 2 2 bc a xx aa 提取二次项系数 a c a b a b x a b xa 22 2 22 配方:加上再减去一次 项系数绝对值一半的 平方. 2 2 2 4 4 2a bac a b xa 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项. . 4 4 2 2 2 a bac a b xa 化简:去掉中括号 方法归纳 画出二次函数y2x24x1的图象，并写出函数的对称 轴、顶点坐标和最值. 练一练 解： y2x24x1 -2(x2+2x+1)+3 -2(1+x)2 +3 根据顶点式y2(x+1)2+3 确定开口方向,对称轴,顶点坐标. x
23、-4 -3 -2 -1 0 1 2 2 213yx 列表:利用图象的对称性,选取适当值列表计算. a=-20,开口向下; 对称轴:直线x=-1;顶点坐标:(-1,3). -15 -5 1 3 1 -5 -15 描点、连线，画出函数 y2(x+1)2+3 图象. （-1,3） O x 4 8 -8 -4 4 8 12 y -4 -8 -12 -16 y2(x+1)2+3 1.抛物线 的顶点坐标为（ ） A.(3,-4)
24、 B.(3,4) C.(-3,-4) D.(-3,4) 56 2 xxy 当堂练习当堂练习 A 2.如图，二次函数 的图象开口向上，图象 经过点（-1，2）和（1，0），且与y轴相交于负半轴. (1)给出四个结论：a0;b0;c0； a+b+c=0.其中正确结论的序号是_. (2)给出四个结论:abc0;2a+b0;a+c=1; a1.其中正确结论
25、的序号是_. cbxaxy 2 (2)直线 是二次函数 的对称轴；顶点坐 标是( ). 1.一般地，我们可以用配方法将 配方成 cbxaxy 2 (1)二次函数 &nbs
26、p; ( a0)的图象是一条 _； 抛物线 cbxaxy 2 课堂小结课堂小结 2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质 抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值 y=ax2+bx+c(a0) y=ax2+bx+c(a0 ？ （3）x取什么值时，y0） 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） 的根 不等式ax2+bx+c0 （a0）的解集 不等式ax2+bx+c0）的解集 x2 x1 x y o O x 1= x2 x y x O x y x 0 0 0 x1 ; x2 x1 =x2 b/2a 没有实数根 xx2 x x1的一切 实数 所有
27、实数 x1 8，所以没有触礁危险. B A D F 30 60 2. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图) 救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B处有人发出求救信号他立即沿AB方向径直前往救援，同 时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从C处入海，径 直向B处游去甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向 B处游去若CD40米，B在C的北偏东35方向，甲、乙的 游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数 据：sin550.82，cos550.57，tan551.43). 分析： 在RtCDB中，利用三角函数即可求得BC，BD 的长，
28、则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小 即可 解：由题意得BCD55，BDC90. tanBCDBD CD， BDCDtanBCD40tan55 57.2(米) cosBCDCD BC， BC CD cosBCD 40 cos5570.2(米) t 甲57.2 2 1038.6(秒)，t 乙70.2 2 35.1(秒) t 甲t乙 答：乙先到达 B 处 课堂小结课堂小结 方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于90的 水平角，叫方向角. 解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直 角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线 构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）
29、；当问 题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实 际问题化归为直角三角形中的边角关系. 23.2 解直角三角形及其应用 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第4课时 坡度问题 1.理解并掌握坡度、坡比的定义；（重点） 2.学会用坡度、坡比解决实际问题. (难点) 学习目标 在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a2b2c2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: A B 90 ； (3)边角之间的
30、关系: tanA a b sinA a c cosA b c (必有一边) a b c 别忽略我哦！ 导入新课导入新课 回顾与思考 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 坡度i=13 ，斜坡CD的坡度i=12.5 ， 则斜坡CD的坡面角 ， 坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ A D B C i=1:2.5 23 6 3:1i 讲授新课讲授新课 与坡度、坡角有关的实际问题 l h i= h : l 1.坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 . 2.坡度（或坡比） 坡度通常写成1m的形式，如i=16. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫
31、做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i= h l 3.坡度与坡角的关系 itan h l 坡度等于坡角的正切值 坡 面 水平面 1.斜坡的坡度是 ，则坡角=_度. 2.斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_. 3:1 l h 30 1：1 练一练 例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB 的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m ）; （2）斜坡CD的坡角（精确到 1）. E F A D B C i=1:2.5 23 6 3:1i 分析：由坡度i会想到
32、产生铅垂高度，即分别过点B、C 作AD的垂线； 典例精析 垂线BE、CF将梯形分割成RtABE，RtCFD和矩形 BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度, 通过解RtABE和RtCDF求出； 斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解 Rt ABE和Rt CDF. 解：(1)分别过点B、C作BEAD，CFAD，垂足分别为点E、 F,由题意可知 E F A D B C i=1:2.5 23 6 1 3i: BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在RtABE中 在RtDCF中，同理可得 =69+6+57.5=132.5
33、m 在RtABE中，由勾股定理可得 (2) 斜坡CD的坡度i=tan=1：2.5=0.4， 由计算器可算得 答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米斜坡 CD的坡角约为22. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面 的铅直高度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求： （1）坡角a和; （2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）. B A D F E C 6m i=1:3 i=1:1.5 解：（1）在RtAFB中，AFB=90 1 tan 1.5 AF i BF 33.7 在RtCDE中，CED=90 tan1:3 DE i CE 18.4 探究归纳
34、完成第（2）题 与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而 山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？ h h l l 我们设法“化曲为直，以直代曲” 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小 段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直” 的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以 算出这段山坡的高度h1=l1sina1. h l 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,hn,然后我们再“积零为整”， 把h1,h2,hn相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，
35、以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在 数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面 的内容 方法归纳 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情 况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的 高度h时，只要测出仰角a和大坝的坡面长度l，就能算出 h=lsina，但是，当我们要测量如图所示的山高h时，问题就 不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长 度l. 化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问 题的策略 1.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米， 路基的坡面与地面的倾角分别是45和30，求路基下底 的宽（
36、精确到0.1米, ）. 45 30 4米 12米 A B C D 414. 12,732. 13 当堂练习当堂练习 解：作DEAB，CFAB，垂足分别为E、F由题意可知 DECF4（米）， CDEF12（米） 在RtADE中， 在RtBCF中，同理可得 因此ABAEEFBF4126.9322.93（米） 答： 路基下底的宽约为22.93米 45 30 4米 12米 A B C E F D 2.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AHBC，坡角 ABC74，坝顶
37、到坝脚的距离AB6 m为了提高拦河坝 的安全性，现将坡角改为55，由此，点A需向右平移至点D， 请你计算AD的长(精确到0.1 m) 分析： 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡 角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构 造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长 解：解： 如图如图， 过点过点 A 作作 AEBC 于点于点 E， 过点过点 D 作作 DFBC 于点于点 F. 在在 RtABE 中中，sinABEAE AB， ， AEABsinABE6sin745.77. cosABEBE AB， ， BEABcos
38、ABE6cos741.65. AHBC，DFAE5.77. 在在 RtBDF 中中，tanDBFDF BF， ， BF DF tanDBF 5.77 tan55 4.04. ADEFBFBE4.041.652.4(m) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化 为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解 直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案 课堂小结课堂小结 义务教育教科书（沪科）九年级数学下册义务教育
39、教科书（沪科）九年级数学下册 第第24章章 圆圆 1.1.确定一个圆的位置与大小的条件是什么？确定一个圆的位置与大小的条件是什么？ . .圆心与半径圆心与半径 2.2.叙述角平分线的性质与判定叙述角平分线的性质与判定 性质：性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：判定： 到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 或或. .不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点 3.下图中下图中ABC与圆与圆
40、O的关系？的关系？ ABCABC是圆是圆O O的内接三角形；的内接三角形； 圆圆O O是是ABCABC的外接圆的外接圆 圆心圆心O O点叫点叫ABCABC的外心的外心 A B B C O 小小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用 料，料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？ 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。 A B C 思考下列问题：思考下列问题： &
41、nbsp;1 1 如图，若如图，若O O与与 ABCABC的两边相切，那的两边相切，那 么圆心么圆心O O的位置有什么的位置有什么 特点？特点？ 圆心圆心0 0在在ABCABC的平分线上。的平分线上。 O O M M A B B C C N N 三 角 形 内 切 圆 的 作 法 三 角 形 内 切 圆 的 作 法 思考下列问题：思考下列问题： 2 2如图如图2 2，如果，如果O O与与 ABCABC的内角的内角ABCABC的两边相的两边相 切，且与内角切，且与内角ACBACB的两边的两边 也相切，那么此也相切，那么此O O的圆心的圆
42、心 在什么位置？在什么位置？ 圆心圆心0 0在在BAC,ABCBAC,ABC与与ACBACB的三个的三个 角的角平分线的交点上。角的角平分线的交点上。 A O O 图图2 2 A A B B C C 三 角 形 内 切 圆 的 作 法 三 角 形 内 切 圆 的 作 法 4 4你能作出几个与一个三角形你能作出几个与一个三角形 的三边都相切的圆？内切圆圆心的三边都相切的圆？内切圆圆心 能否在三角形外部能否在三角形外部? ? 作出三个内角的平分线，三条内角作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合条平分线相交于一点，这点就是符合
43、条 件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂 线段的长是符合条件的半径。线段的长是符合条件的半径。 I F C A A B E D 3 3. .如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆 心位置与半径的长？心位置与半径的长？ 圆心都在三角形内部圆心都在三角形内部, ,因为三角形的三因为三角形的三 条内角平分线在三角形内部条内角平分线在三角形内部, ,且相交只有且相交只有 一个交点。一个交点。 试一试：试一试： 分别作
44、出锐角三角形、直角三角形、分别作出锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形的内切圆，并说明三角形的钝角三角形的内切圆，并说明三角形的 内心是否都在三角形内部内心是否都在三角形内部 作法：作法： A B C 1.1.作作B B、C C的平分线的平分线 BMBM和和CNCN，交点为，交点为I I。 I 2.2.过点过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D D。 3.3.以以I I为圆心，为圆心，IDID为为 半径作半径作I.I. II就是所求的圆。就是所求的圆。 M N D 试一试试一试: :
45、 你能画出一个三角形的内切圆吗你能画出一个三角形的内切圆吗? ? 定义：定义： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角 形叫做圆的外切三角形。形叫做圆的外切三角形。 C B A D F E O r 1.1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等； 性质：性质： C B A D F E O r 2.2.三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心在三角形的角平分线上；
46、例例 如图，如图，ABCABC中，中， ABC=50ABC=50，ACB=75 ACB=75 ， 点点O O是是O O的内心，求的内心，求 BOCBOC的度数。的度数。 A A O O C C B B 解：解：点点O O是是O O的内心的内心 OBC=1/2ABC=25OBC=1/2ABC=25 OCB=1/2ACB=37.5OCB=1/2ACB=37.5 BOC=180 BOC=180252537.537.5 =117.5=117.5 1.1.如图如图1 1，
47、ABCABC是是O O的的 三角形。三角形。 O O是是ABCABC的的 圆，圆， 点点O O叫叫ABCABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。 2.2.如图如图2 2，DEFDEF是是I I的的_ 三角形，三角形， I
48、I是是DEFDEF的的_ 圆圆, ,点点I I是是DEFDEF的的 心心， 它是三角形它是三角形 的的 交点。交点。 A A B B C C O O 图图1 1 I D D E E F 图 2 内接内接 外接外接 外心外心 三边中垂线三边中垂线 外切外切 内切内切 内内 三条角平分线三条角平分线 3. 3. 三角形的内切
49、圆能作三角形的内切圆能作_个个, ,圆的外切三角圆的外切三角 形有形有_ _ 个个, ,三角形的内心在三角形的三角形的内心在三角形的_. _. 1 1 无数无数 内部内部 I D E F 图2 （2 2）若）若A=80 A=80 ，则，则BIC = BIC = 度。度。 130130 2020 4.4.如图，在如图，在ABCABC中，点中，点I I是内心，是内心， （1 1）若）若ABC=50ABC=50， ACB=70ACB=70，BIC=
50、_.BIC=_. A A B B C C I I （3 3）若）若BIC=100 BIC=100 ，则，则A = A = 度。度。 （4 4）试探索：）试探索： A A与与BICBIC之间存在之间存在 怎样的数量关系？请说明理由。怎样的数量关系？请说明理由。 BOC = 90 + A BOC = 90 + A 1 1 2 2 120120 5.5.如图，如图，ABCABC的顶点在的
51、顶点在O O上，上，ABCABC的各边的各边 与与I I都相切，则都相切，则ABCABC是是I I的的 三三 角形；角形； ABCABC是是O O的的 三角形；三角形； I I叫叫ABCABC的的 圆；圆； O O叫叫ABCABC的的 &nb
52、sp; 圆，圆， 点点I I是是ABCABC的的 心，心， 点点O O是是ABCABC的的 心心 外切外切 内接内接 内切内切 外接外接 A B C I O 内内 外外 (1)(1)任意一个三角形一定有一个外接圆任意一个三角形一定有一个外接圆, ,并且只有并且只有 一个外接圆一个外接圆. . (2)(2)任意一个圆一定有一个内接
53、三角形任意一个圆一定有一个内接三角形, ,并且只有并且只有 一个内接三角形一个内接三角形. . (3)(3)任意一个三角形一定有一个内切圆任意一个三角形一定有一个内切圆, ,并且只有并且只有 一个内切圆一个内切圆. . (4)(4)任意一个圆一定有一个外切三角形任意一个圆一定有一个外切三角形, ,并且只有并且只有 一个外切三角形一个外切三角形 正确说法有正确说法有_ (1)(1) (3)(3) 6.6.下列说法：下列说法： 7.如图如图，ABCABC中中，O O是内心是内心，AA的平分线的平分线 和和ABCABC的外接圆相交于点的外接圆相交于点D D. . 求证：求证：DODODBDB A BC O 1 2 3 4 5 D 证明：连接证明：连接BOBO， ADAD是是B
