1、23232 2解直角三角形及其应用解直角三角形及其应用第二十三章第二十三章 解解直角三角形直角三角形第第2 2课时课时 解直角三角形的应用解直角三角形的应用感悟新知感悟新知知识点知识点解直角三角形在解实际问题中的应用解直角三角形在解实际问题中的应用知知1 1讲讲11.利用利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤解直角三角形解决实际问题的一般步骤(1)画画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化转化为为解直角三角形的问题；解直角三角形的问题；(2)根据根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等已知条件的特点，灵活选用锐角三角函数等知知识识解直角三角形；解直角
2、三角形；(3)得到得到数学问题的答案；数学问题的答案；(4)得到得到实际问题的答案实际问题的答案.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.解决解决实际问题时，常见的基本图形及相应的表达式实际问题时，常见的基本图形及相应的表达式图形图形表达式表达式图形图形表达式表达式ACBC tan，AGACBEBCDCBDAD(tantan)感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表续表图形图形表达式表达式图形图形表达式表达式ABDEAEtan，CDCEDEAE(tantan)感悟新知感悟新知知知1 1讲讲续表续表图形图形表达式表达式图形图形表达式表达式感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别提醒特别提醒1.当实际问题当实际问题
3、中涉及中涉及的图形可以的图形可以直接直接转化为转化为直角三角形直角三角形时，时，可利用解可利用解直角三角形直角三角形的知识的知识直接直接求解求解.2.若相关的若相关的角不是角不是直角三角形直角三角形的内角的内角，应利用，应利用平行线平行线的性的性质或互余质或互余、互补、互补的角的性质的角的性质将其将其转化为转化为直角三角形直角三角形的的内角，再内角，再利用解利用解直角三角形的直角三角形的知识知识求解求解.3.问题中有两问题中有两个或个或两个以上的两个以上的直角三角形直角三角形，当用，当用其中一其中一个个直角三角形直角三角形不能不能求解时，可求解时，可考虑分别考虑分别由两个由两个直角三角直角三角
4、形形找出含有找出含有相同未知相同未知元素的表达式元素的表达式，运用，运用方程求解方程求解.知知1 1练练感悟新知感悟新知母母题题 教材教材 P126 例例 3如如图图 23.2-8 所示，某居民楼所示，某居民楼高高 20 m，窗户，窗户朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面的距朝南，该楼内一楼住户的窗台离地面的距离离 CM 为为 2 m，窗户窗户CD高高1.8 m.现计划在楼现计划在楼的正南的正南方距楼方距楼 30 m处新建一居民楼处新建一居民楼.当正午当正午时刻太阳光时刻太阳光线与地面成线与地面成 30角时，要使楼角时，要使楼的的影子影子不不影响楼影响楼所有所有住户的采光，新建住户的采光，新建楼楼
5、最高只能建多少米？最高只能建多少米？例1知知1 1练练感悟新知感悟新知解解：设正午时刻，太阳光线正好照在楼：设正午时刻，太阳光线正好照在楼 一楼的一楼的窗台处，窗台处，此时新建此时新建居民楼居民楼 高高 EG=x m，如如图图 23.2-8 所示，所示，过点过点 C 作作 CF EG 于点于点 F，则则 FG=CM=2 m.解题秘方解题秘方：将实际应用问题建模成解直角三角形将实际应用问题建模成解直角三角形问题问题.知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知1-1.模拟模拟宿州宿州合肥包公合肥包公园是合肥市有名园是合肥市有名的的4A 级旅级旅游景区，是游景区，是为了纪念为了纪念
6、北宋著明清官北宋著明清官包拯而包拯而修建的园修建的园林林.为了让为了让游客游客能更好地休息，在园能更好地休息，在园中设计中设计如图所如图所示的凉亭，示的凉亭，点点D，A，E 在同一在同一水平线上水平线上，测得，测得 DAC=79，BCA=109，AC=2 m，AN=1.35 m，求，求凉亭凉亭最高点到地面的最高点到地面的距离距离BN的的长长.(sin79 0.98，cos79 0.19，结果，结果精确精确到到 0.1 m)知知1 1练练感悟新知感悟新知解：过点解：过点C作作CFBN于点于点F，过点，过点C作作CGDE于点于点G，则则AGC90，BFC90.易得四边形易得四边形CGNF为矩形，为
7、矩形，CFGN，CGFN，CFGN.ACFDAC79.BCFACBACF30.在在RtACG中，中，CGACsinGAC20.981.96(m)，知知1 1练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知1 1练练例2感悟新知感悟新知知知1 1练练解题秘方解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，在建立的非直角三角形模型中，用用“化斜为直化斜为直法法”解解含公共直角边的含公共直角边的直角三角形问题直角三角形问题.感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练知知1 1练练感悟新知感悟新知2-1.如图，要测量如图，要测量小河两岸小河两岸相对的两点相对的两点 P，A的的距离，距离，可以在小可以在
8、小河边取河边取 PA 的垂线的垂线 PB 上的一点上的一点 C，测得，测得 PC=100米米，PCA=35，则小河宽则小河宽 PA 等于等于()A.100sin35 米米B.100sin55 米米C.100tan35 米米D.100tan55 米米C感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用21.仰角仰角和俯角的定义和俯角的定义在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当角中，当视线在视线在水平线上方时叫做仰角；当视线水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫做俯角在水平线下方
9、时叫做俯角.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.示示图图 如图如图23.2-10 所示所示.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别提醒1.仰角和俯角是视线仰角和俯角是视线的位置的位置相对于水平线相对于水平线而言而言的，可的，可巧记为巧记为“上仰上仰下俯下俯”.2.实际问题中遇到实际问题中遇到仰角或仰角或俯角时，要放在俯角时，要放在直角三角形直角三角形中或转化中或转化到直角三角形到直角三角形中，中，注意确定注意确定水平线水平线.感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图23.2-11，在数学活动课中，小敏为了测量在数学活动课中，小敏为了测量校园校园内旗杆内旗杆CD的的高度，先在教学楼的底端高度，先
10、在教学楼的底端A处，处，观测到旗杆顶端观测到旗杆顶端C的的仰角仰角CAD60，然后然后爬爬到教学楼上到教学楼上的的B处处，观测到，观测到旗旗杆杆底端底端D的俯角的俯角是是30，已知，已知教学教学楼楼AB高高4 m.解题秘方：解题秘方：将实际问题转化为解直角三角形问题求解将实际问题转化为解直角三角形问题求解.例3感悟新知感悟新知知知2 2练练(1)求教学楼与旗杆的水平距离求教学楼与旗杆的水平距离AD(结果结果保留保留根号根号)；感悟新知感悟新知知知2 2练练(2)求旗杆求旗杆CD的的高度高度.知知2 2练练感悟新知感悟新知3-1.月考月考合肥合肥 浮山浮山是安徽省名山之一是安徽省名山之一，也，也
11、 是是 我我 国国 著著 名名 文文 山山，山，山 上上 有有 大大 量量 的的 摩摩 崖崖 石刻石刻，奇峰异石，有，奇峰异石，有大小七十二大小七十二个溶个溶洞如图洞如图，为了，为了测量浮山与学校测量浮山与学校的相对高的相对高度度 DO，某校，某校数学数学兴趣小组在操场兴趣小组在操场 A 处观处观测测到山顶最高点到山顶最高点 D 的仰角的仰角为为 35，向着，向着山山的方向的方向前进前进 20 米后米后到达点到达点 B，观测，观测到到知知2 2练练感悟新知感悟新知山顶山顶最高点最高点 D 的的 仰仰 角角 为为 37.求浮求浮 山山 与与 学学 校校 的的 相相 对高度对高度 DO.(参考数据
12、：参考数据：sin35 0.57，cos 35 0.82，tan 35 0.70，sin 37 0.60，cos 37 0.80，tan 37 0.75)知知2 2练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点解直角三角形在解方向角问题中的应用解直角三角形在解方向角问题中的应用31.方向角方向角的的定义定义 一般地，指北或指南的方向线与目标方一般地，指北或指南的方向线与目标方向线向线所成所成的小于的小于90的角叫做方向角的角叫做方向角.特别警示：特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线线起，按顺时针方向到目标方向线
13、之间的水平夹角，变化起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为范围为0360，而方向角的变化范围是，而方向角的变化范围是090.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.示示图图 如如图图23.2-12，目标方向线目标方向线OA，OB，OC的的方向角方向角分别分别可以表示为北偏东可以表示为北偏东30、南偏东、南偏东45、北北偏西偏西30.南偏南偏东东45习惯上又习惯上又叫做叫做东南东南方向，北偏东方向，北偏东45习惯上又习惯上又叫做叫做东北东北方向，北偏西方向，北偏西45习惯上又习惯上又叫做叫做西北西北方向，南方向，南偏西偏西45习惯上又习惯上又叫做叫做西南西南方向方向.感悟新知感悟新知知
14、知3 3讲讲特别提醒特别提醒1.因为方向角是指北因为方向角是指北或指南或指南的方向线与的方向线与目标方向目标方向线所成的线所成的小于小于90 的的角，角，所以所以方向角方向角通常都写成通常都写成“北偏北偏”“南南偏偏”的的形式形式.2.解决实际问题时，解决实际问题时，可利用可利用正南、正北、正南、正北、正西正西、正东方向、正东方向线线构造直角三角形构造直角三角形来求解来求解.3.观测点不同，所得的观测点不同，所得的方向角方向角也不同，但各个也不同，但各个观测点观测点的南的南北方向线是北方向线是互相互相平行的，通常借助平行的，通常借助此性质此性质进行角度转换进行角度转换.感悟新知感悟新知知知3
15、3练练例4感悟新知感悟新知知知3 3练练解题秘方解题秘方：建立数学模型后，用化斜为直法，将建立数学模型后，用化斜为直法，将斜斜三角形三角形问题转化为直角三角形问题问题转化为直角三角形问题求解求解.感悟新知感悟新知知知3 3练练解解：如：如图图23.2-11，过，过点点C作作CEAB于于点点E，则则 AEC=BEC=90.易易得得ACE30，BCE45=CBE，BE=CE.(1)分别分别求出求出A与与C及及B与与C的的距离距离AC，BC(结果保留根号结果保留根号)；感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练知知3 3练练感悟新知感悟新知4-1.中考
16、中考安徽安徽 如图如图，为了测量河对岸，为了测量河对岸A，B 两点间两点间的距离，的距离，数学兴趣数学兴趣小组在河岸南侧小组在河岸南侧选定选定观测点观测点 C，测得测得 A，B 均在均在 C 的北偏东的北偏东 37方向上，沿正东方向上，沿正东方向方向行走行走 90 米米 至至 观观 测测 点点 D，测，测得得A在在D的正北的正北方向方向，B 在在 D 的的 北北 偏偏 西西 53 方向上方向上.求求 A，B 两点间两点间的距离的距离.(参考参考数据：数据：sin370.60，cos37 0.80，tan37 0.75)知知3 3练练感悟新知感悟新知解：如图，易知解：如图，易知ADB53，ECA
17、37，ADC90，CEAD，BDC905337，AECA37.CBDAADB375390.ABD90.在在RtBCD中，中，BDC37，CD90米，米，知知3 3练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用解直角三角形在解坡角、坡度问题中的应用41.坡坡角与角与坡度坡度(坡比坡比)的的定义定义(1)坡坡角：坡面与水平面的夹角，如图角：坡面与水平面的夹角，如图23.2-14 中的中的.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲(2)坡度坡度(坡比坡比)：我们通常把坡面我们通常把坡面的铅直的铅直高度高度h和和水平长度水平长度l 的比叫做的比叫做坡度坡度(
18、坡比坡比)(如如图图23.2-14 所所示示)，坡度，坡度(坡比坡比)也也可可写成写成ih l的的形式，在实际应用中形式，在实际应用中常表示常表示成成1 x的的形形式式.感悟新知感悟新知知知4 4讲讲感悟新知感悟新知知知4 4讲讲特别提醒特别提醒1.坡度是两条线段的坡度是两条线段的比值比值，不是度数，不是度数.2.表示坡度时，通常表示坡度时，通常把比把比的前项取作的前项取作1，后项后项可以是可以是小数小数.3.坡面的倾斜程度坡面的倾斜程度通常可用通常可用坡度表示坡度表示.坡度越坡度越大，坡大，坡角越大，角越大，坡面坡面越陡；反之，越陡；反之，坡度越坡度越小，坡角越小，小，坡角越小，坡面坡面越缓
19、越缓.知知3 3练练感悟新知感悟新知母母题题 教材教材 P129 例例 6 如如图图 23.2-15，水坝的横断面为，水坝的横断面为梯梯形形ABCD，迎水坡，迎水坡 BC 的坡角为的坡角为 30，背水坡，背水坡 AD 的坡的坡度为度为 1：1.2，坝，坝顶宽顶宽 DC 2.5 米，坝高米，坝高 4.5 米求：米求：(1)迎迎水坡水坡 BC 的长；的长；(2)迎迎水坡水坡 BC 的坡度；的坡度；(3)坝坝底底 AB 的长的长例5知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣坡角和坡度的定义，构造紧扣坡角和坡度的定义，构造直角三角直角三角形形并解并解直角三角形直角三角形是解题的关键是解题的关
20、键知知4 4练练感悟新知感悟新知(1)迎水坡迎水坡 BC 的长的长；知知4 4练练感悟新知感悟新知(2)迎水坡迎水坡 BC 的坡度的坡度；知知4 4练练感悟新知感悟新知(3)坝底坝底 AB 的长的长知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知5-1.模拟模拟合肥合肥如图如图，一，一架无人机在滑架无人机在滑雪雪赛道的赛道的一段坡道一段坡道 AB 的的上方进行上方进行跟跟踪拍摄，踪拍摄，无人机伴随无人机伴随运动员水平向运动员水平向右右飞行飞行某次拍摄中，当某次拍摄中，当运动员运动员在在点点 A 位置时，位置时，无人机无人机在他的仰角为在他的仰角为 45的的 斜斜 上上 方方 C 处
21、，处，当当 运动员运动员到到达地面达地面 B 点时点时，无人机，无人机恰好恰好到达到达知知4 4练练感悟新知感悟新知解：过点解：过点A作地面的垂线，交地面于点作地面的垂线，交地面于点M，过点，过点C作作CEAF于点于点E，则，则AEC90.由题意可知四边形由题意可知四边形CEFD为矩形，为矩形，EFCD60米，米，DFCE.知知4 4练练感悟新知感悟新知知知4 4练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知5 5讲讲知识点知识点坐标系中直线与坐标系中直线与 x x 轴的夹角轴的夹角5知知5 5讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读利用直线与利用直线与 x 轴夹角轴夹角的正切的正切值与直线表达式中值与直线表达式中k 的关系进行转化的关系进行转化可以简化可以简化求解过程求解过程.感悟新知感悟新知知知5 5练练例660知知5 5练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：因为直线因为直线 x+3=0 与与 y 轴平行，所以将轴平行，所以将此问题此问题转化为转化为求与求与 y 轴的夹角的轴的夹角的大小大小.知知5 5练练感悟新知感悟新知A知知5 5练练感悟新知感悟新知课堂小结课堂小结解直角三角形的应用解直角三角形的应用解直角三解直角三角形的应角形的应用类型用类型仰角和俯角问题仰角和俯角问题方向角问题方向角问题坡角和坡度问题坡角和坡度问题
