1、22.2 22.2 相似三角形相似三角形的判定的判定第二十二章第二十二章 相似形相似形感悟新知感悟新知知识点知识点相似三角形相似三角形知知1 1讲讲11.定义定义 如果两个三角形中，对应角相等，对应边成比例，如果两个三角形中，对应角相等，对应边成比例，那么那么这两个三角形相似这两个三角形相似.数学表达式：如图数学表达式：如图22.2-1，在在ABC和和ABC中中，ABCABC感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.相似三角形相似三角形的表示方法的表示方法 相似相似用符号用符号“”表示，读作表示，读作“相似于相似于”.如图如图22.2-2，ABC与与ABC相似相似，记记作作“ABCABC”，读作，读作
2、“ABC相似相似于于ABC”.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲特别警示：用符号特别警示：用符号“”表示两个三角形相似时，要表示两个三角形相似时，要把把表示表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上对应顶点的大写字母写在对应的位置上.如如ABC ABC表示表示顶点顶点A与与A，B与与B，C与与C 分别对应；分别对应；如果仅如果仅说说“ABC与与ABC 相似相似”，没有用，没有用“”连接，连接，则需要则需要分类分类讨论它们顶点的对应关系讨论它们顶点的对应关系.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1如图如图22.2-3，已知，已知ABCADE，A70，B40，AB6，BC6，A
3、D3.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“相似三角形相似三角形定义中对应角相等，定义中对应角相等，对应边对应边成成比例比例”求解求解.感悟新知感悟新知知知1 1练练(1)求求ABC与与ADE的的相似比；相似比；感悟新知感悟新知知知1 1练练(2)求求AED的的度数和度数和DE的的长长.知知1 1练练感悟新知感悟新知1-1.如图，已知如图，已知 ABC ADE，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，BAC=45，ACB=40.(1)求求 AED和和 ADE的的度数度数；解解：BAC45，ACB40，ABC95.ABCADE，AEDACB40，ADEABC95.知知1 1练练感悟新知感悟新
4、知(2)求求 DE 的长的长感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点平行线截三角形相似的定理平行线截三角形相似的定理21.定理定理 平行于三角形一边的直线与其他平行于三角形一边的直线与其他两边两边(或或两边的两边的延长线延长线)相交相交，截得的三角形与原三角形相似，截得的三角形与原三角形相似.数学表达式：如图数学表达式：如图22.2-4 所示所示，DEBC，ABCADE.书写两个书写两个三角形三角形相似时，要把相似时，要把表示表示对应顶对应顶点的点的大写字母大写字母写在对应的写在对应的位置位置上上.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲2.作用作用 本本定理是相似三角形判定定理的预备定理，定理是相似
5、三角形判定定理的预备定理，它通过它通过平行平行证三角形相似，再由相似证对应角相证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例等、对应边成比例.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别提醒特别提醒根据定理根据定理得到的得到的相似三角形的相似三角形的三个三个基本图形中都基本图形中都有有BCDE，图，图22.2-4 很像很像大写字母大写字母A，故我，故我们称之为们称之为“A”型型相似相似；图；图22.2-4 很很像大写字母像大写字母X，故我们，故我们称之为称之为“X”型相似型相似(也也像像阿拉伯数字阿拉伯数字“8”).感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图22.2-5，已知，已知在在 ABCD中中，E为
6、为AB延长线上延长线上的的一点，一点，AB3BE，DE与与BC相交相交于点于点F，请找出图中，请找出图中各各对相似三角形对相似三角形，并求出相应的相似比，并求出相应的相似比.例2感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方：解题秘方：紧扣紧扣“平行线截三角形平行线截三角形两边两边的两种的两种基本图形基本图形A 型和型和X型型”进进行查找行查找.感悟新知感悟新知知知2 2练练知知2 2练练感悟新知感悟新知2-1.如图，如图，在在 ABCD中中，E 是是 AB 延延 长长 线线 上一点上一点，连接，连接 DE，交，交 AC于于点点 G，交，交 BC 于点于点 F，那么图中相，那么图中相 似三角形似三角形
7、(不不含含全等三角形全等三角形)共有共有()A.6 对对B.5 对对C.4 对对D.3 对对B感悟新知感悟新知知知2 2练练如图如图22.2-6，在井口在井口B处处立一根垂直于井口立一根垂直于井口的木的木杆杆BD，从木杆的顶端，从木杆的顶端D观察观察井水水岸井水水岸C，视线视线DC与与井口井口的直径的直径AB交交于点于点E，如果如果测测得得AB1.6 米，米，BD1 米，米，BE0.2 米米，那么那么AC为为_米米例 37感悟新知感悟新知知知2 2练练解题秘方：解题秘方：判断是判断是用用“平行线平行线截线段成截线段成比例比例”，还是还是用用“平行线平行线截三角形相似的对应边成截三角形相似的对应
8、边成比例比例”解题解题是关键是关键.知知2 2练练感悟新知感悟新知3-1.如图，在如图，在 ABCD中中，AC 与与 BD 相相 交交 于点于点 O，E 为为 OD 的的 中点中点，连接，连接 AE 并延长并延长交交DC 于于 点点 F，则则 DF FC=()A.1 4 B.1 3C.2 3 D.1 2D感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点利用角的关系判定三角形利用角的关系判定三角形相似的定理相似的定理31.定理定理 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两两个角个角对应相等，那么这两个三角形对应相等，那么这两个三角形相似相似(可可简单说成：
9、简单说成：两角两角分别分别相等的两个三角形相等的两个三角形相似相似).数学表达式：如图数学表达式：如图22.2-7 所示，所示，在在ABC和和DEF中中，AD，且，且BE，ABC DEF.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别提醒特别提醒由由两角两角分别相等分别相等判定两个判定两个三角形三角形相似，其关键相似，其关键是找是找准对应角准对应角.一般地一般地，相等的角是，相等的角是对应对应角如：公角如：公共角共角、对顶角、对顶角、同、同角角(等角等角)的余角的余角(补角补角)等都是等都是相等相等的角，的角，解题时解题时要注意挖掘要注意挖掘题目中题目中的隐含条件的隐含条件.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲
10、2.常见常见的相似三角形的类型的相似三角形的类型(1)平行平行线型：线型：如图如图22.2-8，若，若DEBC，则，则ADEABC；(2)相交相交线型：线型：如图如图22.2-8，若，若AEDB，则，则AEDABC；感悟新知感悟新知知知3 3讲讲(3)“子母子母”型型：如图如图22.2-8，若，若ACDB，则，则ACDABC；(4)“K”型：如图型：如图22.2-8，若点，若点A，C，D共线共线，且且ADBCE90，则，则ACBDEC，图形整体，图形整体像一像一个横放的字母个横放的字母K，所以称为，所以称为“K”型相似型相似.知知3 3练练感悟新知感悟新知如图如图 22.2-9，ABC 是等边
11、三角形，点是等边三角形，点 D，E 分别分别在在CB，AC 的延长线上，的延长线上，ADE=60求证求证：ABD DCE.例4 知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“两角分别相等的两个三角形相两角分别相等的两个三角形相似似”找到找到两组两组角对应相等即可角对应相等即可证明证明：ABC=ACB=60，ABD=DCE=120 ADB+DAB=ABC=60，ADB+EDC=ADE=60，DAB=EDC ABD DCE知知3 3练练感悟新知感悟新知4-1.期末期末六安六安如图如图，在，在 ABC 与与 ADE中中，C=E，1=2，证明：证明：ABC ADE.证明：证明：12，1DA
12、C2DAC，BACDAE.又又CE，ABCADE.知知3 3练练感悟新知感悟新知例5知知3 3练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：先利用勾股定理求出先利用勾股定理求出 BC 的长，再分的长，再分类讨论类讨论.根据根据“两角分别相等的两个两角分别相等的两个三角形相似三角形相似”和和“相似三角形的对应相似三角形的对应边边成比例成比例”计算计算知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知答案答案：D知知3 3练练感悟新知感悟新知5-1.如图如图，在在 ABC中中，按如下步骤作图：，按如下步骤作图：(1)以点以点 B 为圆心，为圆心，BA 长为半径画弧，长为半径画弧，交交BC 于点
13、于点 D；(2)以以点点 C 为圆心为圆心，CA 长为半径画弧，长为半径画弧，交交CB 于点于点 E若若 AB=AC=2，B=36，求，求 ED 的长的长知知3 3练练感悟新知感悟新知解：连接解：连接AE，AD.由作图可得由作图可得BDBA2，CACE2.ABAC，B36，BC36，BADADB72，CAECEA72，ADBCEA，BAECEAB36，AEAD，BAEB.BEAE.AEBEAD.知知3 3练练感悟新知感悟新知感悟新知感悟新知知知4 4讲讲知识点知识点利用利用边角边角关系判定三角形关系判定三角形相似的定理相似的定理4感悟新知感悟新知知知4 4讲讲特别提醒特别提醒运用该运用该定理证
14、明定理证明相似时，一定相似时，一定要注意要注意边角的关边角的关系系，相等，相等的角一定是的角一定是成比例成比例的两组对应的两组对应边的边的夹角夹角.类似于类似于判定三角形判定三角形全等的全等的SAS的的方法方法.感悟新知感悟新知知知4 4练练例 5感悟新知感悟新知知知4 4练练解题秘方解题秘方：先先紧紧扣扣“两边成比例且夹角相等的两个两边成比例且夹角相等的两个三角形三角形相似相似”证明两个三角形证明两个三角形相似，再根据相似三角相似，再根据相似三角形的对应边成形的对应边成比例解决问题比例解决问题知知4 4练练感悟新知感悟新知6-1.如图如图，根据图中给出的数据根据图中给出的数据，一定能得到一定
15、能得到()A.AED CEDB.ABE ACBC.ABC EDCD.AED CBAC感悟新知感悟新知知知5 5讲讲知识点知识点利用利用三三边关系判定三角形边关系判定三角形相似的定理相似的定理5感悟新知感悟新知知知5 5讲讲特别提醒特别提醒1.由三边成比例由三边成比例判定判定两个三角形两个三角形相似的相似的方法方法与三边对应与三边对应相相等判定等判定三角形全等三角形全等的方法的方法类似，只需类似，只需把三把三边对应相等边对应相等改改为三为三边成比例即可边成比例即可.2.应用时要应用时要注意注意比的比的顺序性顺序性，即即分子分子为同一个为同一个三角形三角形的的 三三边，边，分母为分母为另一个另一个
16、三角形的三角形的三边，三边，同时同时要注意要注意边的对应边的对应情况情况，用大边对大边，用大边对大边、小边、小边对小边的对小边的思路思路找对应边找对应边.感悟新知感悟新知知知5 5练练期中期中安庆安庆 如图如图 22.2-14，正方形网格中的小，正方形网格中的小正方正方形的面积形的面积都为都为 1，网格中有，网格中有 ABC 和和 DEF(三角三角形形中的每个顶点都中的每个顶点都在格点上在格点上)这两个三角形相似这两个三角形相似吗？请说明你的理由吗？请说明你的理由例7知知5 5练练感悟新知感悟新知解题秘方：解题秘方：先根据勾股定理分别求出先根据勾股定理分别求出 ABC 和和 DEF 的的三边长
17、三边长，再判断它们是否对，再判断它们是否对应成比例即可应成比例即可知知5 5练练感悟新知感悟新知知知5 5练练感悟新知感悟新知7-1.如图，网格中如图，网格中相似的两个三角形是相似的两个三角形是_(填填序号序号)感悟新知感悟新知知知6 6讲讲知识点知识点直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定61.定理定理 如果如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个一个直角三角形直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个这两个直角三角形相似直角三角形相似(可可简单说成：斜边和一组直角简单说成：斜边和一组直角边对应成比例边对应成
18、比例的两的两个直角三角形个直角三角形相似相似).感悟新知感悟新知知知6 6讲讲2.直角三角形直角三角形相似的判定方法相似的判定方法(1)一一组锐角相等的两个直角三角形相似；组锐角相等的两个直角三角形相似；(2)两两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似；组直角边对应成比例的两个直角三角形相似；(3)斜边斜边和一组直角边对应成比例的两个直角三角形和一组直角边对应成比例的两个直角三角形相似相似.感悟新知感悟新知知知6 6讲讲感悟新知感悟新知知知6 6讲讲思路总结思路总结判定判定两两个个三角形三角形相似的相似的思路思路：已知平行于已知平行于三角形三角形一边的直线，一边的直线，直接找直接找两个三角形相
19、似；两个三角形相似；已知一角对应已知一角对应相等相等，找另一角，找另一角对应相等对应相等，或夹这个，或夹这个角的角的两两边对应成比例边对应成比例；已知已知两边两边对应成对应成比例，找夹角比例，找夹角相等相等，或与第三边，或与第三边成比例成比例；已知已知直角三角形直角三角形，找一组锐角，找一组锐角相等相等，或两组直角，或两组直角边对应边对应成成比例，或比例，或斜边斜边和一组直角边和一组直角边对应对应成比例成比例.感悟新知感悟新知知知6 6练练母母题题 教材教材 P84 练习练习 T3 在在RtABC和和RtDEF中中，CF90，下列，下列条件中，不能判定这两条件中，不能判定这两个个 三角形三角形
20、相似的相似的是是()A.A55，D35B.AC9，BC12，DF6，EF8C.AC3，BC4，DF6，DE8D.AB10，AC8，DE15，EF9例8感悟新知感悟新知知知6 6练练解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“直角三角形相似的判定方法直角三角形相似的判定方法”一一一一进行进行验证验证.感悟新知感悟新知知知6 6练练感悟新知感悟新知知知6 6练练答案：答案：C知知6 6练练感悟新知感悟新知8-1.如图，点如图，点 A，B，C，D，E，F，G，H，K 都是都是 88 方格纸中的格点方格纸中的格点，为使为使 EDM BAC，则点则点 M 应是应是 F，G，H，K 四点中的四点中的()A.F B.GC.H D.KC课堂小结课堂小结相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角相似三角形的判定形的判定相似三角形的定义相似三角形的定义平行线截三角形相似的定理平行线截三角形相似的定理相似三角形相似三角形的判定定理的判定定理直角三角形直角三角形相似的判定相似的判定
