1、线性代数线性代数1上1下4上更新2022-12-112第二章 矩阵111212122212nnmmm naaaaaaaaa 一、矩阵定义（数表）.nmmnAAA 当当时时，为为方方阵阵.记记为为或或=()mnijmnAa 记记 为为或或 称称为为一一个个m mn n阶阶矩矩阵阵.m mn n个个数数排排成成m m行行n n列列的的一一个个矩矩形形数数表表（一）矩阵与行列式的区别：运运算算2.矩阵：1.行列式：运运算算对对象象被被运运算算有有结结果果数数特特殊殊的的函函数数 ()对对讨讨论论的的实实际际问问题题的的一一种种数数学学表表达达 描描述述 形形式式1112111211211221222
2、12221221212121212 12=mmmmmmpppaaapppaaaPApppaaa 例例多多种种产产品品个个月月的的价价格格、产产量量，（二）特殊矩阵 1.零阵：1121111.mnaaAna（列矩阵仅一列）（列矩阵仅一列）nmnm000000000 2.行（列）矩阵：111121,.,(1,)nnAaaam （），（），行矩阵仅一行行矩阵仅一行2022-12-1153.负矩阵NoImageNoImagenmijnmaA）（4.三角阵（方阵）nnnnnaaaaaaB21222111000 nnnnnaaaaaaA00022211211上三角阵下三角阵2022-12-116nna00
3、0a0AaE00a 5.对角阵、单位阵、数量阵（均为方阵）1122000000nnnaaa n100010E001 对角阵（方阵）单位阵（方阵）数量阵（方阵）2022-12-1176.对称矩阵、反对称矩阵（方阵）nnnnnnnnaaaaaaaaaA 212221211211nnnnnnaaaaaaB 00021212112反对称阵（方阵）主对角线元素为零对称阵（方阵）ijjiaa ijjiaa 二、矩阵运算1.转置矩阵：nmmnmmnnnmaaaaaaaaaA 212222111211mnmnnnmmTmnaaaaaaaaaA 212221212111（注意与行列式对比学习；与实际问题对应。）
4、2.矩阵相等：两矩阵完全一样，称为相等。3.矩阵加法：同型矩阵才能相加。nmijnmaA）（nmijnmbB）（nmnmBA,ijijabi j 对对所所有有nmijaA）（nmijbB）（nmijcC）（nmnmnmCBAijijijbac111211112121222212221212nnnnmmmnmmmnaaabbbaaabbbaaabbb 2022-12-11104.数乘矩阵：数k遍乘矩阵的所有元素。nmijaA）（nmijkakA）（注意：数乘行列式只乘某一行（列）。111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababababab 111
5、211112121222212221212nnnnmmmnmmmnaaakakakaaaakakakakaaakakaka 2022-12-11115.加法与数乘的性质：（交换律）（ABBA1）（结合律）（）（CBACBA2AA 0）（3kBkABAk）（(4lAkAAlk)5）（AkllAk）（）（）（60AAAAA0117，），（）（例1：。，求，已知矩阵BABA32876543210987654321()AAO 解：24211815129630181614121086428765432103987654321232BA654321012例2：。，求，且，已知XBXABA279429702
6、解：112222442121）（ABX12,QQ例 某企业今年产量为计划明年问在今年例 某企业今年产量为计划明年问在今年基础上调整多少？基础上调整多少？2022-12-1113 6.矩阵乘法：smijsmaA）（nsijnsbB）（nmijnmnssmcCBA）（.,2,1;,2,11njmibacskkjikij 注意：（1）左列=右行，可乘。否则无意义。（2）运算=左行右列；（3）结果=左行右列。2022-12-1114111211112121222212221212snsnmss nmmmssssnaaabbbaaabbbABaaabbb 11 1112 211111 1212 2212
7、21 1122 212121 1222 22221 112 2111 122 222s ss ss ss smmms smmms sa ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba ba b 不可乘，无意义。显然2432BA343224CAB；BAAB不相等2 34 2112 1 00211 3 2312 0AB （），（），11122022 1 0264311 3 27622 042 0 2022-12-111611112BA，）（BAABABBA1111221121221，111111113BA，）（BAABAB0BA22222222222
8、222，）（422302214BA4667BAABA BB A，可乘，但，可乘，但行数列数不同.行数列数不同.,AB BA行列数相同 但行列数相同 但2022-12-1117例注意：（1）AB=BA，称A、B可交换；乘法一般不满足交换律。（2）AB=0，称A、B互为零因子；但AB=0不一定能推出A=0或B=0。CBA66711215216432，8844ACAB（3）由AB=AC，A0，不能不能推出推出B=C。aEOE对角阵、数量矩阵、零矩阵、单位阵对角阵、数量矩阵、零矩阵、单位阵11121122122212000000nnmmmmnaaaaaaaaaaaa 11111211221222221
9、2nnmmmmmmna aa aa aa aa aa aa aa aa a 11121121222212000000nnnmmmnaaaaaaaaaaaa 111122121122221122nnnnmmmnna aa aa aa aa aa aaa aaaa mm nm nm nnE AAAE故故,m nm nOAO AOO,()mm nm nm nnm naE AaAAaEaA矩矩阵阵乘乘法法的的性性质质：1.结结合合律律()()AB CA BC 2.左左右右分分配配律律()()A BCABACST USUTU 3.对对数数乘乘满满足足交交换换律律()()()A kBkA Bk AB 4.
10、对对转转置置运运算算满满足足转转置置倒倒乘乘T()TTABB A 三、矩阵表示法销售收入：PQ引进价格矩阵 和销售量 矩阵引进价格矩阵 和销售量 矩阵12mppPp 111212122212112212mmmqqqqqqQqqq .RQP 则各月收入则各月收入 某企业有m种产品，一年12个月中各产品销售量各不相同，若第j产品售价为pj,求一年各月收入及年总收入。1 12(1 1 1)U 再引进汇总矩阵再引进汇总矩阵.URUQPUQ 则年收入为且为各产品产量则年收入为且为各产品产量1.线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2211222221211121211
11、1111212122212 nnmmmnm naaaaaaAaaa 引引进进系系数数矩矩阵阵.11221,.nmnxbxbXBxb 未未 知知 数数 矩矩 阵阵、常常 数数 列列 矩矩 阵阵 真简洁！BAX mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111121122,iiinnmiaaAA xA xA xBa若记则化为若记则化为2022-12-11232.线性函数的矩阵表示法：3.线性变换的矩阵表示法：nnxcxcxcy 2211CXY 其中，1 1()Yyy 记记为为=。，）（TnnxxxXcccC),(,2121 ，nmnmmmnnn
12、nxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111 knknnnkkkktbtbtbxtbtbtbxtbtbtbx22112222121212121111设nmmnmmnnaaaaaaaaaA 212222111211，121 mmyyyYknnknnkkbbbbbbbbbB 212222111211则BTXAXY，TABBTAAXY）（）（,121 nnxxxX.121 kktttT12,.,()nnjiix xx例 设某系统有 个部门 在生产过程中 部门需要例 设某系统有 个部门 在生产过程中 部门需要消耗 部门的产品 同时要提供部分产品供 部门作消耗 部
13、门的产品 同时要提供部分产品供 部门作原料 若各部门产值分别为时 问系统原料 若各部门产值分别为时 问系统可向社会提供多少产品 产值？可向社会提供多少产品 产值？1212()(),(,),()(,)ijTnijnTnajiAaXx xxBb bb 解 引入为 部门每生产一个单位产品 产值 需消解 引入为 部门每生产一个单位产品 产值 需消耗 部门产值.记终产耗 部门产值.记终产品 产值 记为品 产值 记为11 iixa x 则 由则 由1i部门消耗掉的 部门产值部门消耗掉的 部门产值22+ia x2i部门消耗掉的 部门产值部门消耗掉的 部门产值+inna x+ib XAXB故有故有12 iii
14、iiniixa xa xa xi再由部门薪利再由部门薪利矩阵表示：矩阵表示：111122211111nkknkknnnknkxzaxzaxza izi其中 为 部门薪酬、利润总和其中 为 部门薪酬、利润总和1.性质2.(反)对称矩阵的等价定义AATT）（1TTTBABA）（2)(3为实数）（kkAkATTTTTABAB）（4为对称阵；，则若AAAT例：证明：为对称阵。，对于任意矩阵TAAA证T TT TTAAAA （）（）为反对称阵；，则若AAATTAA为对称矩阵。TAA四、转置矩阵的性质28五、方阵的幂及其行列式（一）方阵的幂为正整数个kAAAAknnnkn （1）性质：（2）幂等阵：Zlk
15、AAAAAklnlknlknlnkn,.)(;nnAA 2注意：（1）knknknnBABA)(一般地，1111,0122:BA如ABAB11001100)(2200442222224222BA;)(222BAAB 2(),ABABAB 但但故故为为幂幂等等阵阵。（二）方阵的行列式：（2）注意与数的幂运算区别：非零阵的幂可能为零阵；非单位阵的幂可能为单位阵。nnAA（1）性质（2）定理注意：AkkAAAnT；nnnnBABA可推广至有限项！；）（BABA1。）（AkkA 2 24,2EEEEE 例例证证明明：A OA BE B 1111111100001001nnnnnnnnaaaabbbb
16、121,2,1,2,jjnjbnjbnjnbnjjn第 列乘上加到第列 第 列乘上第 列乘上加到第列 第 列乘上加到第列第 列乘上加到第加到第列第 列乘上加到第列.分别取得列.分别取得A OA CE BE O 1 122 ijijijinnjca ba ba b 其其中中 CAB 即即 A OAABA BE BEO 从而从而(1)(2)21 2(1)nnnnEAB 22(1 2)(1)(1)nnnAB 2(1)nnAB (1)(1)n nABAB 2022-12-1132注意：（注意：（1）A、B、E必必为同阶方阵；为同阶方阵；（2）不是方阵必不可逆；）不是方阵必不可逆；（3）A、B的地位对等
17、，即的地位对等，即A、B互为逆矩阵。互为逆矩阵。一一、逆矩阵定义逆矩阵定义（方阵）方阵）111,.ABABBAEABABAAAA AE 若若对对方方阵阵 存存在在 使使得得则则称称矩矩阵阵 可可逆逆 并并称称 是是 的的逆逆矩矩阵阵 记记即即1.定义：逆逆 矩矩 阵阵例2，设42230221BA7664ABBAE 则则是否可逆。、因此，不能断定BA461351341121011322BA，设,100010001 BAAB则4613513411BAA可逆，故例11 .BA 同同样样例3：单位阵可逆，且1EE 例4：零矩阵不可逆。二、逆矩阵的性质（用定义证明）性质1 若A可逆，则A的逆阵唯一。性质
18、2 若A可逆，则A的逆阵也可逆。且AA11)(性质3 若A可逆，则A的转置也可逆。且TTAA)()(11OAOE 性质4 若方阵A、B可逆，则AB也可逆。且111)(ABAB2022-12-1135性质4可推广：1211111221kkkAAAA AAAAA 若若，为为同同阶阶可可逆逆矩矩阵阵，则则（）11AA性质5 若A可逆，则 性质6 若A可逆，则kA也可逆，且 111)(AkkA注意：可逆阵的乘积、数量乘积都可逆；但可逆 阵的和差不一定可逆，即使可逆，一般地 111)(BABA1111 0102 00 1010 2,13 32ABCABOACACEACE 如如，均均可可逆逆，但但不不可可
19、逆逆；可可逆逆但但（）而而定理2 若AB=AC，且A可逆，则B=C。三、逆矩阵求法伴随矩阵（1）实例；的逆求1153132543AA2022-12-1137解：设有方阵使得）（ijbB A BE 由矩阵乘法和相等定义，可得三个线性方程组：05303215431312111312111312111bbbbbbbbb）（100010001153132543333231232221131211bbbbbbbbb即列）的第的各行（1BA2022-12-113805313205432322212322212322212bbbbbbbbb）（15303205433332313332313332313bbb
20、bbbbbb）（列）的第的各行（2BA列）的第的各行（3BA方程组（1）（2）（3）的系数行列式均为：01153132543A2022-12-1139由克莱姆法则，得第一个方程组的解：8181513)1(150130541111111AAAAb5151312)1(103102513121221AAAAb1115332)1(053032143131331AAAAb2022-12-1140其中代数余子式。中，第一行元素的为行列式、AAAA131211同理，第二个方程组的解为：292112AAb182222AAb32332AAb同理，第三个方程组的解为：113113AAb73223AAb13333A
21、Ab其中数余子式。第二、三行各元素的代中，分别为行列式、AAAAA33232221 2022-12-1141得3332312322211312111bbbbbbbbbBAAAAAAAAAAAAAAAAAAA332313322212312111131718511298AAAAAAAAAAAA*3323133222123121111 11121112112122212222121211nnnnijnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAcAAaaaAAA 令令（2）定义：11121*2122212,()TnTnnij nnijnnnnnAAAAAAAaAAAAA 设（）设（）（3）定理3：*10
22、AAAAA 可可 逆逆，且且*AA为为 的的伴伴随随矩矩阵阵。其中证明：*1*10AAAAAAAAAAA 显显然然，有有意意义义。11211*1222212,nnnnnnAAAAAAAAAAA 称为 的伴随矩阵。称为 的伴随矩阵。njijijiAAaAaAacjninjijiij,2,1,02211 1*00110000AAAAAAEAAA 1,AAAE 反反之之可可逆逆，则则有有定义13 为非奇异矩阵。，称若AA0为奇异矩阵。，称若AA0111,0.AAEA AA 进进而而从从而而（4）例 判断下列矩阵是否可逆，若可逆求出逆矩阵。221021132341251341227534311CBA）
23、（；）；（）（解：（1）A不是方阵，故A不可逆。不可逆。，故）（BB02可逆。，故）（CC062210211323174152244332313322212312111*CCCCCCCCCC例：设CCC*1616732616531313232174152244610 0 000 00 000 0 0abAcd 求1AdcbaabcabdacdbcdabcdAAAAabcdAAabcdA1111*10000000000000000000000001100可逆，且时，当不可逆。时，当3120132513BAXBXA，其中，求已知注意：此结论对一般的对角阵均成立。例解：，从而可逆，且，故351201
24、*1AAAAA定理4 若A、B为n阶方阵,AB=E,则A、B均可逆。且。，ABBA11证明：11111111100ABEABA BEABABBEBA A BAABA EAAAEA BBAB BEBB，、可逆。且，、可逆。且（）（）（）（）（）（）（）（）8136100135123120131BAX注意：（1）伴随矩阵求逆法的计算量大，适用于求较低阶矩阵的逆以及理论证明；后面还要介绍矩阵的初等变换求逆法。（2）要会灵活应用求逆公式的各种变形：*1*1*1AAAAA EAA AAA AA 如如（）四、小结：矩阵运算全了：加减乘除（逆），将 其视为黑箱（字母）与数的运算比较，注意 其差异点；掌握正确
25、的运算规则和性质。2022-12-1150nmAnmAnmA1031201321002000002000002A2222211211AAAA32122 220EAE 无限制2022-12-1152110010101001000203211000001000001000421002101AB22 32 32 13 2333 1EABOOEEB 110010101001604433422 32 32 33 133 1ABABEB 2022-12-1153111.1BOOABOOAOABOOBAO111.211111.3COBCAACOBA11111.4CBACOACBOA123413241324.
26、nmXXA BXXC DAXBXAXBXCXDXCXDXEOO E 由由可解出可解出2022-12-11546000004000001001095201473D11A BDO C 610000041000001002121193267454375COBA1111AA BCOC 15723A 111/41/6C 2022-12-1155mAAAA21mBBBB21mmBABABABA2211.12022-12-1156kmkkkAAAA21.3mkAkAkAkA21.2mmBABABAAB2211.41122000000000000ttABABAB 1122000000000000ttABABA
27、B 11122312123333A BA BA BA AB BO AO BOA B 1122000000ttA BA BA B 1211000000tttA BA BA B 11112323213233AOBOA BOAABBA BA BA B 112111.6mAAAATmTTTAAAA21.5121.7AAAA211110001100001000003200012AOOAA31,.TTAAAAA A A 2022-12-1159121 0 02 11 1 082 31 1 1AAA 3338512AA22864TTAAA AA112284 0 0 04 10 0 0 0003 2 1002
28、 2 1001 1 1TTTA AOA AOA A 11112AOAOA 2022-12-1160112 12 31 0 01 1 01 1 1OO 3100 0881100 0440010 0001 1 00001 1 112 1312 31 28 倍倍法法）（2对对换换）（1引例：解线性方程组的三种等价变换221322121xxxx132222121xxxx1324422121xxxx矩阵的初等变换消消法法）（337442221xxx倍倍法法1228282814221xxx消消法法1228161421xx倍倍法法737821xx111122111121211222221222a xa xb
29、aaba xa xbaab 1,2122 3 112 224 412 22 3 12 3 1 对对换换倍倍法法换换行行行行 倍倍212424 41428 280 7302812 行行行行行行 倍倍消消法法倍倍法法1+2114873714 0161 00 28120 1 行行行行行行除除以以消消法法2 2行行除除以以2 28 8同同解解方方程程组组(),.矩矩阵阵作作上上述述变变化化 矩矩阵阵变变 保保留留了了原原矩矩阵阵问问题题某某些些特特性性 却却化化简简了了矩矩阵阵 显显出出矩矩阵阵问问题题本本质质121122108 7 8 7013 73 7xxxxxx 2.定义：(1)(2)(3)两两
30、行行互互换换一一行行乘乘非非零零常常数数一一行行乘乘常常数数加加到到其其它它行行.称称为为对对矩矩阵阵做做初初等等行行变变换换(1)(2)(3)两两列列互互换换一一列列乘乘非非零零常常数数一一列列乘乘常常数数加加到到其其它它列列.称称为为对对矩矩阵阵做做初初等等列列变变换换对对换换倍倍法法消消法法注注意意：初初等等变变换换后后矩矩阵阵变变3.几个矩阵乘法：121 0 0 01 0 0 00 0 1 000 00 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 1kAA设，设，1112131421222324331323334414243441 0 0 00 1 0 001 00 0 0 1b
31、bbbbbbbABkbbbbbbbb，,1,2,3iiA BBAi 求、求、初等矩阵：对单位阵施行一次初等变换而得。1,E i j （）对换矩阵：（）（）对换矩阵：（）,1E i j （）101101(2)()E i k 倍倍法法矩矩阵阵：（）11k 对对换换矩矩阵阵可可逆逆。i行 j行 i行()E i kk（倍倍法法矩矩阵阵可可逆逆。,0k 注意：初等阵均可逆，且逆阵仍为初等阵。(3),()E j i k消消法法矩矩阵阵：（），1111k,()1E j i k （）消消法法矩矩阵阵可可逆逆。i行 j行r n rm r rm r n r11010000 00 0rm nED 4.定理 一次初等
32、变换结果等于乘对应初等矩阵三、矩阵的标准形1.定义16：mn阶矩阵的标准形*m nm nAEAAA E 左左乘乘初初等等阵阵，作作行行变变换换。（）右右乘乘初初等等阵阵，作作列列变变换换。（）:(),).(,()E i kjjkiE i j k注注右右乘乘为为 列列乘乘 加加到到 列列也也记记定理 任何矩阵A均可经有限次初等变换化为标准形D。定义 若矩阵A经有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价。记为 ABAB（或或）注：任何矩阵A与其标准形D等价。1112122221222121210010000nnnmmnmmmnaaaaaaaaAaaaaa 行行、列列变变换换简简记记为为ABABAB（
33、或或）、有有相相推推论论：同同标标准准形形AA；）（1851340511A矩阵等价关系的性质：（1）反身性：（2）对称性：（3）传递性：ABBACACBBA，例 化A为标准形：解：；）（1112111202A1851340511A）（117011700514510001710501000117005151112111202A）（00001000111112021110012021110002001110001001110001000122111721122112 1,2,1,2,0.stijstADPP P AQ QQDPQis jtPP P AQ QQDDDE“”设可逆阵 的标准形为，即“”
34、设可逆阵 的标准形为，即，、均为初等矩阵，可逆，、均为初等矩阵，可逆，可逆，从而 可逆；，可逆，从而 可逆；，证明：定理 A可逆的充要条件是A可经有限次初等 变换（包括行、列变换）化为单位阵E。2112*001,2,1,2,*0stijijAEPP P AQ QQEPQPQis jtAA“”可经有限次初等变换化为，即“”可经有限次初等变换化为，即（）（）、可逆，、可逆，由（）取行列式，故 可逆。由（）取行列式，故 可逆。:.初等变换不初等变换不推推改变可逆性改变可逆性论论定理说明了矩阵可经初等变换直接判定 是否可逆：12ADEAADEA （）若若，则则可可逆逆；（）若若，则则不不可可逆逆。一般
35、地，对矩阵进行初等变换，由不同类型的矩阵会得到不同的等价矩阵。如1、方阵2、非方阵三角阵、对角阵阶梯形标准形标准形（不可逆）单位阵（可逆）12nnA EE A 变变换换行行初等变换求逆法1.定理 A可逆的充要条件为A可表为若干 初等阵之积。2.推论 A可逆，则A 仅由初等行变换可化为 单位阵。3.求逆方法：21121111111112112112*stssttmPP P AQ QQEAPPPPEQ QQ QR RR （）11111112121 ,mmRR R AERR R EA由由111121 ()()mRR RA EE A 或或2022-12-111013231134312100010001
36、4.例 。求设1,311021211AA解：1 1 2 1 0 01 2 0 0 1 01 1 3 0 0 1A E （）（）1010110011002302111012132031000300111013231120310001001112231110132311343121A10010104301100013210969000002121 例1121221 45,.4 12111 11AA 设设求求解：121 21 0 0 021 4 5 0 1 0 04 12 1 0 0 1 011 1 1 0 0 0 1AE （）10010104001200013210969096302121 全为零
37、，A不可逆。12432022-12-1176183114243661X3120132513021230201CBA设五、利用初等行变换解矩阵方程、线性方程组 1.例解：。，求且XCAXB 1111CBAXBA存在，则、若用初等行变换求得：12 231 11,33122A 121,5 3B 11 0 2 31()0 3 2 0212 0 13A CA C 方法二：先求方法二：先求1 02 3 10 32 0 20222 21 0 2 3 11 0 2 3 11 0 0-3 110 1 1 110 1 1 110 1 0-2 40 3 2 0 20 013 50 0 1 3-513112 43 5
38、A C 11131523 112 435A CBBA C 再求再求131010252101113113661 364241424 145 35 183118 2022-12-1111111112121,mmRR RARR R AE 或或。，求，若，设XBAXBA131322010211110 例解：法1 先求A的逆，再求BAX1法2 初等变换法111121mA BRR R B 111322X 1 A BE A B 初初等等行行 变变换换即即2022-12-11799161203300651015101021943216651253024321432321421xxxxxxxxxxxxx 例 解线性方程组解：设方程的矩阵形式为BAX 则9161204321651005311021BA1131122022-12-118032812241100700015103100134275411001000601013001143201001000001000014132100001000010000141321BAX所以105161341
