1、第十五章 二次根式15.1 二次根式第1课时 二次根式及其化简知识回顾2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根.一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.0的算术平方根是0.a的平方根是 .a用 (a0)表示.a情景导入学校要修建一个占地面积为S的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？解：设喷水池的半径为r m.SrSr22,则SSrr的算术平方根，所以是学校要修建一个占地面积为S的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个
2、圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？.设大圆的半径为RaSRaSR22,则aSRaSR的算术平方根，所以是通过上面的实例，我们发现在日常生活中，常会用到一个数的算术平方根.一个非负数的算术平方根有什么特征呢？本节课我们一起来探究吧.获取新知知识点二次根式的定义11.(1)2，18，的算术平方根是怎样表示的?(2)非负数m，pq，t21的算术平方根又是怎样表示的?8153102181583.0mqp1-t2一起探究把我们得到的式子放到一起，观察它们有什么共同特征？3181583.0mqp22m2非负数SaS观察与思考概念学习被开方数a0根指数为2（省
3、略不写）概念解析：(1)二次根式的定义是从代数式的形式上界定的，必须含有二次根号“”；(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的代数式，但是a必须大于或等于0；(3)在具体问题中，已知二次根式 ，就有了a0这一隐含条件；(4)形如 (a0)的式子也是二次根式b与 是相乘的关系，若b为带分数，则要写成假分数的形式 ab aa易错提示：(1)二次根式是从形式上定义的，不能从化简结果上判断，如：是二次根式(2)像 1(a0)这样的式子只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式 a9例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由(1)(2)(3)(4)1(a0);(5)(6)解析：判断一个式
4、子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别21x；36 4；5 a；a 213x ；例题讲解.4-a-2）（解：(1)的根指数是3，不是二次根式(2)不论x为何值，都有x210，是二次根式(3)当5a0，即a0时，是二次根式；当a0时，5a0，则 不是二次根式 不一定是二次根式(4)1(a0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式21x 36 45 a a36 45 a 5 a(5)当x3时，无意义，也无意义；当x3时，0，是二次根式 不一定是二次根式(6)当a4，即a40时，是二次根式；当a4时，(a4)20，不是二次根式不一定是二次根式 213x 24
5、a 213x 213x 213x 213x 24a 24a 变式练习1 下列各式中不是二次根式的是()A.B.C.D.12z1122zC二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，关键看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数为非负数变式练习2 若二次根式 有意义，则x的取值范围是 x55x知识点二次根式的“双重”非负性2 (a0)是一个非负数.1.理解二次根式的非负性应从算术平方根入手，当a0时，表示a的算术平方根，因此 0.所以“二次根式”包含有两个“非负”即：(1)被开方数非负：a0；(2)二次根式的值非负：0.2.若 则 a
6、0，b0.由于二次根式 都是非负数，所以它们的值都为0.a0,abab和和aaa例2 若 则xy的值为()A1 B1 C7 D7解析：因为和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以所以 xy10，y30，解得x4，y3，所以xy7.故选C 2130,xyy 230,10,yxy1-yxC两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0 变式练习3 设x、y为实数，且y +4，则|xy|的值是（）A2 B4C6 D8变式练习4 若 求a2012b2012的值110,ab1010,ab，110,ab解：又 a10，b10，a1，b1，原式(1)201212012112.C 知识点二次根式二次根式 的性质
7、的性质3 22aa与1.小亮和小颖对二次根式“(a0)”分别有如下的观点.你认同小亮和小颖的观点吗?请举例说明.a2.计算 (a0)，并与大家交流你的结果.2a小亮的观点因为 表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根的意义，有0.aa小颖的观点因为 表示的是非负数a的算术平方根，所以，根据算术平方根和被开方数的关系，有a 2aa 222420231420 归纳：，即任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.20aa a 做一做 1.根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中的规律 =_;=_;=_;=_.2220 5.223202320.50a(a0)2a做一做 2.根据算术平方根的
8、意义填空，并试着归纳其中的规律总结事实上，对于二次根式，有(a0)是一个非负数，a(a0)，a(a0).a 2a2a当a0时，？2a|a|例3 化简：例题讲解04.0)1(2913)2(2.02.004.0)1(2）（解：1919913913)2(222)0(2aaa)0(2aaa拓展会等于什么？时，当20aa.,002aaaa的算术平方根是时，当aaa20时，当的算术平方根是22aa.00的相反数是由于aaa20时，当归纳运用 a(a0)，进行化简的方法：(1)化简 直接运用 a(a0)(2)化简一般有两个步骤：去掉二次根号，写成绝对值的形式，即|a|；去掉绝对值符号，根据绝对值的意义进行化
9、简，即 2a2aa 2a 2a2a 00.a aaa a ，2a 变式练习5 计算：2222311;24 3;36;4.58解：222222331;5524 34316 348;3666;1114.888 随堂演练3.为要使二次根式 有意义，x应取 （）A.x1 B.x1 C.x=1 D.x=-1D 221xx1.下列各式中：，一定是二次根式的有()A1个 B.2个 C3个 D4个3334a21a 21a 15C 2.下列式子不一定是二次根式的是()A.B.C.D.Aa0 2ab 21b 5.若 12a，则()Aa Ba Ca Da 221a B121212124.下列结论正确的是()ABC.
10、D 266 239 21616 216162525 A._12.6的取值范围是有意义，则mmm7.若 ,则a-b+c=_.0)4(322cba3 m-2m-2且且m1m18.已知 ，试求x+2y的值.201911xxy解：由题意知解得x=1，y=2019，所以1-x 0,x-1 0所以x+2y=1+22019=4035.9.化简：(1)(2)(3)(4)解：24 3；218；225；222169 13xxxxx 222(1)4 34316 348.2111(2)=.888 2(3)25=25=52.22(4)2169xxxx 22=13xx|x1|x3|.1x3，x10，x30.原式x1(x3)2.222(3)25(4)2169 13xxxxx；课堂小结二次根式即a0,0二次根式的“双重”非负性概念二次根式 我们把形如 (a0)的式子叫做二次根式 22aa与2()(0)aaa2aaa(a0)-a(a0)aa
