1、人教版七年级下学期数学章节知识点人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析精讲精析 实 数 6.1 平方根 . 2 知识框架 2 一、基础知识点 2 知识点 1 算术平方根的概念 . 2 知识点 2 平方根 . 3 知识点 3 算术平方根、平方根的特点及产生原因 4 知识点 4 算术平方根的性质及应用 4 二、典型题型 6 题型 1 运用平方根和算术平方根的概念解题 6 题型 2 开平方解方程 . 6 题型 3 算术平方根的实际应用 . 8 题型 4 算术平方根的双重非负性 . 8 三、难点题型 10 题型 1 估算a . 10 6.2 立方根 . 11 知识框架 11 一、基础知识点 11 知
2、识点 1 立方根的概念 . 11 知识点 2 立方根的特点 . 11 知识点 3 根指数 . 12 知识点 4 用计算器求值 . 12 二、典型题型 13 题型 1 运用开立方法解方程 . 13 题型 2 利用估值法比较大小 . 14 题型 3 立方根在实际问题中的应用 14 三、难点题型 16 题型 1 平方根与立方根的综合应用 16 6.3 实数 . 17 知识框架 17 一、基础知识点 17 知识点 1 有理数与无理数 . 17 知识点 2 实数的分类 . 18 知识点 3 实数的运算规则 . 19 二、典型题型 20 题型 1 无理数的辨别 . 20 题型 2 实数的综合计算 . 20
3、 三、难点题型 21 题型 1 实数的综合运算-数形结合 21 题型 2 实数的综合应用-特殊形式 21 6.1 平方根平方根 知识框架知识框架 基础知识点 算术平方根的概念 平方根 算术平方根、平方根的特点及产生原因 平方根的性质及应用 典型题型 运用平方根和算术平方根的概念解题 开平方解方程 算术平方根的实际应用 算术平方根的双重非负性 难点题型估算a 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 算术平方根的概念算术平方根的概念 1）算术平方根概念：一个正数的平方等于 a，即2=a，那么这个正数 x 叫作 a 的算术平方根。其中， a 叫作被开方数，规定 0 的算术平方根为 0。记作
4、= 。 注：注：“”表示的是算术平方根（与后面的平方根注意区分） a0，x0。负数没有算术平方根（因为20） 2）常见算术平方根表： 被开方数 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 被开方数 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 算术平方根 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 例例 1.求下列各数的算术平方根： （1） 1 16； （2）21 4； （3）0； （4）（4） ； （5）（ 31） 2 【答案】见解析 【解析】 （1） 1 16= 1 4； （
5、2）2 1 4= 9 4= 3 2 （3）0=0 （4）（4）=2 （5）（ 31） 2=31 例例 2.若 3有意义，则 x 的取值范围是： 【答案】x3 【解析】要使 3有意义 则根号里面的数必须非负，即 x30 解得：x3 知识点知识点 2 平方根平方根 1）平方根的概念：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根或者二次方根。求一个数 a 的平方根的运算，叫作开平方。 注：注：“”表示算数平方根的意思，平方根表示为“” 正数的平方根有两个，它们互为相反数。且正数根即为算术平方根； 0 的平方根和算术平方根都为 0； 负数没有平方根和算术平方根。 例例 1.求下列各数的平方根
6、： （1）1 15 49； （2） （-3）2 【答案】 （1）8 7 （2）3 【解析】 （1）1 15 49 = 64 49， 64 49的平方根是： 8 7 （2） （-3）2=9 ，9 的平方根是：3 例例 2.（1）一个非负数的平方根是 2a-1,和 a-5，则这个非负数是多少？ （2）已知 2a-1 与-a+2 是 m 的平方根，求 m 的值。 【答案】 （1）9 （2）9 【解析】 （1）非负数的平方根有 2 个，互为相反数 2a1 与 a5 互为相反数 2a1+a5=0 解得：a=2 这个数的平方根是：3 这个数是 9 （2）同理，2a1 与a+2 互为相反数 2a1+（a）+
7、2=0 解得：a=1 m 的平方根为：3 m=9 例例 3.计算： （1）484； （2）12 1 4； （3）8 9 10 11 + 1 【答案】 （1）22 （2） 7 2 （3）89 【解析】 （1）484=22 （2）12 1 4= 49 4 = 7 2 （3）8 9 10 11 + 1=7921 = 89 知识点知识点 3 算术平方根、平方根的特点及产生原因算术平方根、平方根的特点及产生原因 1）特点：算术平方根是平方根正值部分；平方根是算术平方根及其相反数。 2）产生的原因： 若 a0； （-a）1=-a1； （-a）2=a2； （-a）3=-a3； （-a）4=a4 奇数次方时，
8、符号不变，结果仍为负数；偶数次方时，值变为正数（与正数的对应次方的值相同） 因此，奇数次方，一个数对应一个结果；偶数次方，两个数对应一个结果，且这两个数互为相反数。 3）开方是次方的逆运算。 4）预测：奇数次开方，没有算术平方根与平方根区别，结果仅为一个值； 偶数次开方，会存在两值的情况。 知识点知识点 4 算术平方根的性质及应用算术平方根的性质及应用 1）算术平方根有意义，存在“双重非负性” a0；0 例例 1.x 取何值时，下列各式有意义？ （1）2 x； （2）2 4+12 3x 【答案】 （1）x2 （2）2x4 【解析】 （1）要使根号有意义，则根号里必须为非负数，即： 2x0 解得
9、：x2 （2）同理： 2 4 0 12 3 0 解得：2x4 例例 2.（1） 9 16的算术平方根是： （2）=8，则 x= ，x 的平方根是 （3）若2=3，则 x= 【答案】 （1）3 4 （2）64；8 （3）3 【解析】 （1） 9 16= 3 4 （2）=8，x=82=64 64 的平方根是：8 （3）2=3，2= 32=9 x=3 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 运用平方根和算术平方根的概念解题运用平方根和算术平方根的概念解题 解题技巧：解题技巧：平方根与算术平方根的区别于联系： 算术平方根 平方根 区 别 定义 如果一个正数 x 的平方等于 a， 那么 这个正数 x 叫
10、作 a 的算术平方根 如果一个数的平方等于 a， 那么这个 数叫作 a 的平方根 个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个 表示方法 正数 a 的算术平方根表示为 正数 a 的平方根表示为 取值范围 正数的算术平方根一定是正数 正数的平方根为一正一负，互为相 反数 联 系 具体包含关系 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根 存在的条件 只有非负数才有平方根和算术平方根 0 0 的平方根和算术平方根都是 0 例例 1.判断对错 （1）（ 5） 2 = 5 （ ） （2）因为（ 3） 2=9，所以 9 的算术平方根是3 （ ） （3）4 的平方根是2 （ ） （4）
11、（5） 2 = 5 （ ） 【答案】； 【解析】 （1）（ 5） 2 = 25 = 5，错误 （2）9 的算术平方根为 3，错误 （3）4 的平方根为2，错误 （4）二次根式中必须为非负数，（5） 2中，5 为负数，无意义，错误 例例 2.下列说法是否正确，为什么？ （1）7 是 49 的算术平方根。 （2）5 是 25 的一个平方根。 （3）（ 4） 2的平方根是4. （4）0 的平方根与算术平方根都是 0. 【答案】； 【解析】 （1）49 = 7，正确 （2）25 的平方根是：5，5 是 25 的一个平方根，正确 （3）（ 4） 2 = 16，16 = 4，错误 （4）0 的平方根为 0
12、， 0 的算术平方根为 0，正确 题型题型 2 开平方解方程开平方解方程 解题技巧：解题技巧：先将方程化简为（ + ） 2 =的形式，移项将系数化为 1；然后直接开方即可。 当 h0 时，x+a=，则 x=a 当 h0 时，方程无解 例例 1. 求下列各式中 x 的值： （1）22=162 （2）362-16=0 （3）1 4（2 + 3） 2=1 【答案】 （1）x=9 （2）x=2 3 （3）x=1 2或 x= 5 2 【解析】 （1）22=162 解：2=81 x=9 （2）362-16=0 解：362=16 2=16 36 x= 4 6= 2 3 （3）1 4（2 + 3） 2=1 解
13、：（2 + 3） 2 = 4 2x+3=2 2x=23 x=13 2 x=1 2或 x= 5 2 例例 2. 求下列各式中 x 的值： （1）2 16 25=0 （2）8（ 1） 2=32 【答案】 （1）x=4 5 （2）x=3 或 x=1 【解析】 （1）2 16 25=0 解：2= 16 25 x=4 5 （2）8（ 1） 2=32 解：（ 1） 2 = 4 x1=2 x=2+1 x=3 或 x=1 题型题型 3 算术平方根的实际应用算术平方根的实际应用 解题技巧：解题技巧：与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。 例例 1.一个正方形体的表面积是 122，则这个正
14、方体的棱长为： 【答案】2 【解析】设正方体的棱长为 xdm 则根据题意，等量关系式为：6 个面的面积和=表面积 根据等量关系式，方程为：62= 12 解得：x=2 棱长为正数 棱长为2 例例 2.某小区要扩大绿化带的面积，已知原绿化带的形状是一个边长为 5m 的正方形，计划扩大后绿化地啊 仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的 4 倍，求扩大后绿化带的边长。 【答案】10m 【解析】设扩大后绿化带边长为 xm 根据题意，等量关系式为：正方形面积=4 倍的原正方形面积 根据等量关系式，方程为：2= 4 52 解得：x=10 绿化带边长为正数 边长为 10m 题型题型 4 算术平方根的双重非
15、负性算术平方根的双重非负性 解题技巧：解题技巧：多个非负数相加为 0，则这多个非负数必定为 0. 例例 1.已知2 + 6 + | 2|=0，解关于 x 的方程（a+2）x+b2=a-1 【答案】x=8 【解析】 2 + 6 0， | 2| 0 又 2 + 6 + | 2|=0 2 + 6 = 0，且| 2|=0 a=-3，b=2 （a+2）x+b2=a-1 化简为：-x+4=-4 解得 x=8 例例 2.若 y= 4+ 4 +5，求 x+y 的值。 【答案】x+y=9 【解析】x-40，且 4-x0 x=4 代入得 y=5 x+y=9 三、难点题型三、难点题型 题型题型 1 估算估算 解题技
16、巧：解题技巧：通常利用平方法，结合“夹逼法”确定平方根的范围，即 a|，那么该 数轴的原点 O 的位置应该在： A.点 A 的左边 B.点 A 与点 B 之间 C.点 B 与点 C 之间 D.点 B 与点 C 之间或点 C 的右边 【答案】D 【解析】| 又在数轴上，ab A 点一定在负半轴上 同理，B 点一定在负半轴上 答案为 D 例例 2. 已知实数 x，y，z 在数轴上的对应点如下入所示，化简：| | | + | + | + | + | 【答案】1 【解析】原式=（y-x）-（y+z）+（x+z）+ =y-x-y-z+x+z-1 =-1 题型题型 2 实数的综合应用实数的综合应用-特殊形
17、式特殊形式 解题技巧：解题技巧：该类题型，需根据有理数的特点进行分析。两个实数相等，则这两个实数的有理数部分相等， 且无理数部分也相等。 例例 1.已知有理数 a，b 满足 53a=2b+2 33-a，试求 a，b 的值。 【答案】 = 2 3 = 13 6 【解析】根据题意得： 53a=（2b-a）+2 33 2 = 5 = 2 3 解得： = 2 3 = 13 6 例例 2. 已知 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，e 的绝对值是 2，求2（a+b）+1 2cd-2e 2的值。 【答案】 15 2 【解析】a，b 互为相反数 a+b=0 c，d 互为倒数 cd=1 e 的绝对值为 2 2= 4 2（a+b）+1 2cd-2e 2 =0+1 28 = 15 2
