1、平面的基本性质平面的基本性质.21公公理理则则线线在在面面内内线线面面若若有有两两个个公公共共点点,平平面面不不共共线线的的三三点点确确定定一一个个3公公理理1推推论论确确定定一一个个平平面面过过直直线线和和直直线线外外一一点点可可2推推论论一一个个平平面面过过两两条条相相交交直直线线可可确确定定只只有有一一个个平平面面经经过过两两条条平平行行直直线线有有且且3推推论论方方法法平平面面确确定定2公公理理 相相交交重重合合面面面面有有公公共共点点平平行行面面面面无无公公共共点点x判判断断题题线平行线平行平行于同一平面的两直平行于同一平面的两直)1线平行线平行垂直于同一平面的两直垂直于同一平面的两
2、直)4线垂直线垂直垂直于同一直线的两直垂直于同一直线的两直)6面平行面平行垂直于同一直线的两平垂直于同一直线的两平)5面面平平行行平平行行于于同同一一直直线线的的两两平平)2线线平平行行平平行行于于同同一一直直线线的的两两直直)3xx.)7面面平平行行垂垂直直于于同同一一平平面面的的两两平平x.)8直直线线也也异异面面与与第第三三直直线线都都异异面面的的两两xx则则这这两两平平面面垂垂直直一一平平面面垂垂直直平平面面内内有有一一条条直直线线和和另另,)10行行直直线线一一定定和和另另一一平平面面平平则则一一个个平平面面内内的的两两平平面面平平行行,)11一一定定和和另另一一平平面面垂垂直直则则
3、一一个个平平面面内内的的直直线线两两平平面面垂垂直直,)12则则这这两两平平面面平平行行一一平平面面平平行行平平面面内内有有一一条条直直线线和和另另,)9xx重重合合、或或bab/ab/a平行平行交线一定交线一定则两则两相交相交两平行平面和第三平面两平行平面和第三平面,)13一一定定也也平平行行、直直线线所所在在的的、平平行行向向量量baba)14两两直直线线平平行行分分别别在在两两平平行行平平面面内内的的)15两两直直线线垂垂直直分分别别在在两两垂垂直直平平面面内内的的)16xx与与已已知知平平面面平平行行有有且且只只有有一一个个平平面面过过空空间间一一点点 P)19与与已已知知平平面面垂垂
4、直直有有且且只只有有一一个个平平面面过过空空间间一一点点 P)20与与已已知知平平面面平平行行有有且且只只有有一一条条直直线线过过空空间间一一点点 P)17与与已已知知平平面面垂垂直直有有且且只只有有一一条条直直线线过过空空间间一一点点 P)18xx与与已已知知直直线线平平行行有有且且只只有有一一个个平平面面过过直直线线外外一一点点 P)23与与已已知知直直线线垂垂直直有有且且只只有有一一个个平平面面过过空空间间一一点点 P)24与与已已知知直直线线平平行行有有且且只只有有一一条条直直线线过过直直线线外外一一点点 P)21与与已已知知直直线线垂垂直直有有且且只只有有一一条条直直线线过过空空间间
5、一一点点 P)22xx)(记记忆忆与与传传递递性性有有关关的的问问题题面面面面平平行行则则线线面面平平行行线线面面垂垂直直则则面面面面垂垂直直无无条条件件 件件条条有有线线面面平平行行则则线线线线平平行行 面面面面垂垂直直则则线线面面垂垂直直 线线平平行行平平行行于于同同一一直直线线的的两两直直线平行线平行垂直于同一平面的两直垂直于同一平面的两直面平行面平行垂直于同一直线的两平垂直于同一直线的两平平平行行交交线线交交平平行行平平面面和和第第三三平平面面相相)1 /)3外外一一点点有有唯唯一一过过垂垂直直有有唯唯一一直直线线与与已已知知平平面面过过点点P)2垂垂直直有有唯唯一一平平面面与与已已知
6、知直直线线过过点点P)5/P)4有有唯唯一一直直线线外外点点过过线线都都正正确确直直线线与与平平面面平平行行的的判判断断.,.3与与另另一一直直线线平平行行必必则则其其中中一一个个平平面面的的直直线线两两平平面面平平行行直直线线与与平平面面没没有有公公共共点点.1平平行行则则这这条条直直线线与与这这个个平平面面直直线线平平行行面面内内的的一一条条平平面面外外的的一一条条直直线线与与平平,.2则则线线面面平平行行线线线线平平行行面面面面平平行行则则线线面面平平行行?立立吗吗反反之之成成平平面面与与平平面面平平行行的的判判断断平平面面与与平平面面没没有有公公共共点点.1.,.2那那么么这这两两个个
7、平平面面平平行行另另一一个个平平面面分分别别平平行行于于平平面面内内的的两两条条相相交交直直线线.,.3那那么么这这两两个个平平面面平平行行另另一一个个平平面面内内的的行行于于分分别别平平平平面面内内的的一一个个两两条条相相交交直直线线两两条条相相交交直直线线.4面平行面平行垂直于同一直线的两平垂直于同一直线的两平直直线线与与直直线线垂垂直直的的判判断断ba0ba.1 .,.2也也和和这这条条斜斜线线垂垂直直那那么么它它直直内内的的一一条条斜斜线线的的射射影影垂垂如如果果它它和和平平面面平平面面内内的的一一条条直直线线三三垂垂线线定定理理?三三垂垂线线定定理理的的逆逆定定理理呢呢直直线线与与平
8、平面面垂垂直直的的判判断断线线都都垂垂直直直直线线与与平平面面内内的的所所有有直直.1都都垂垂直直直直线线与与平平面面内内.2两两条条相相交交直直线线.,.3必必与与另另一一平平面面垂垂直直则则其其中中一一个个平平面面内内两两平平面面垂垂直直垂垂直直于于交交线线的的直直线线0baba.4 面面面面垂垂直直则则线线面面垂垂直直)(有有条条件件平平面面与与平平面面垂垂直直的的判判断断.90:0平平面面角角为为法法一一.:另另一一个个平平面面垂垂直直于于一一个个平平面面内内有有一一条条直直线线法法二二线线面面垂垂直直则则面面面面垂垂直直利用三垂线定理利用三垂线定理法三法三:利用面积射影法利用面积射影
9、法法四法四 cosSS/.:内内两两直直线线都都垂垂直直内内一一直直线线与与利利用用向向量量证证明明法法五五 H ACFEMAOB 作棱的垂面作棱的垂面法一法一:.AOB,OB,OA,O:为二面角的平面角为二面角的平面角棱的垂线棱的垂线分别在两个半平面内作分别在两个半平面内作在棱上任取一点在棱上任取一点法二法二 利用三垂线定理利用三垂线定理法三法三:利用面积射影法利用面积射影法法四法四 cosSS/00180,0求求二二面面角角 0090,0直直线线与与平平面面所所成成的的角角OAB ABOAcos)1 ABhsin)2 )hB,2(到平面的距离到平面的距离点点只需求只需求不用找射影不用找射影
10、法法)(coscoscos)321内直线内直线平面的斜线与射影、面平面的斜线与射影、面 起点相同起点相同向量的夹角向量的夹角 babab,acos)1 ,0232221232221332211bbbaaabababab,acos)2 0090,0求求异异面面直直线线所所成成的的角角定义定义)1babab,acos)2 )(取取非非负负数数距离距离直线到与它平行平面的直线到与它平行平面的两个平行平面的距离两个平行平面的距离.3异面直线的距离异面直线的距离.4 面面距离面面距离线面距离线面距离的距离的距离到平面到平面点点 A利用等体积法利用等体积法找垂线段找垂线段)2)1的距离的距离到到另一点另一
11、点上上转换为求转换为求有直线有直线过过 B,/A)3)a,a,a(a321232221aaaa cosmn2ndmEF,FE222异面直线上两点距离为异面直线上两点距离为侧时侧时在公垂线同在公垂线同、当点当点)(异异异面直线上两点的距离异面直线上两点的距离2AB2AB2ABB,A)zz()yy()xx(d 空间两点的距离空间两点的距离.aP,10P,a120P.10的的距距离离到到棱棱求求的的距距离离均均为为和和到到内内的的一一点点的的二二面面角角为为 OABP ,PA:作作解解,PB .B,A为为垂垂足足OaPAB 棱棱设设平平面面.PO,BO,AO连连接接,PA ,PB PABa平平面面
12、POa,BOa,AOa 的的平平面面角角为为二二面面角角 aAOB,120AOB0 1010,APBO中中在在平平面面四四边边形形,90PAO0 的的距距离离到到棱棱为为点点且且aPPO060sinPOPA 060sinPAPO 3320,60AOP0 ,APA:于于作作解解 ,AC 设设的平面角的平面角为为 ACB).(,2,1,2P.2平面角为锐角平面角为锐角的的求此二面角的大小求此二面角的大小到棱的距离为到棱的距离为到两个面的距离分别为到两个面的距离分别为内一点内一点二面角二面角 APB,BC BC,AC 确定平面确定平面、设设PBPA,BPB于于 1PB,2PA ,PC 又又2PC 2
13、21PCPAACPsin 22 4ACP ,PBCRt中中在在 PCPBPCBsin C21,PACRt中中在在 6PCB PCBACPACB 125 125的大小为的大小为1B1A1C1DABCD1111BCCB/ADDA平平面面平平面面解解.BBCCDCA,DCBAABCD.311111111所所成成角角的的大大小小与与平平面面求求平平面面中中正正方方体体.CDADBBCCDCA1111111的的大大小小即即可可所所成成角角只只需需求求二二面面角角与与平平面面要要求求平平面面 ,ODAAD11于于交交连连O,DAOD11 中中点点为为中中在在等等边边DAO,DCA111,DAOC11 的平面角的平面角为二面角为二面角11111CDADODC a设设正正方方体体棱棱长长为为,a22OD1 则则ODDCODCtan11111 2 2arctanODC11 2arctanBBCCDCA1111所所成成角角为为与与平平面面则则平平面面
