1、知识点一知识点一 菱形的定义菱形的定义 定义符号语言菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形如图所示,在 ABCD中,若AB=AD,则平行四边形ABCD是菱形重点解读(1)菱形的定义也是菱形的一种判定方法.(2)菱形必备的两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等例例1如图18-2-2-1所示,在ABC中,CD平分ACB,DEAC,DFBC,四边形DECF是菱形吗?试说明理由.图18-2-2-1分析分析根据菱形的定义去判断,由DEAC,DFBC知四边形DECF是平行四边形,再由角相等推导出邻边相等即可.解析解析四边形DECF是菱形.理由:DEAC,DFBC,四边形DECF是平行四边形.CD平分A
2、CB,1=2.DFBC,2=3,1=3.CF=DF.四边形DECF是菱形.温馨提示温馨提示在利用菱形的定义判定一个四边形是菱形时,需先判定这个四边形是平行四边形,再找一组邻边相等.知识点二知识点二 菱形的性质菱形的性质 性质符号语言图示菱形的性质菱形具有平行四边形的一切性质边菱形的四条边都相等如图所示,在菱形ABCD中,AB=BC=CD=DA对角线菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于O点,则ACBD,ADB=CDB,ABD=CBD,BAC=DAC,ACB=ACD对称性菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线例例2如图18-2-
3、2-2,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是()图18-2-2-2A.ABDC B.AC=BD C.ACBD D.OA=OC解析解析菱形是特殊的平行四边形,所以平行四边形具有的性质菱形都有,所以选项A、D说法正确;另外菱形还有自己特殊的性质,对角线互相垂直等,所以选项C说法正确,故选B.答案答案 B知识点三知识点三 菱形的面积菱形的面积菱形的面积(1)菱形的面积=底高.(2)若a,b表示菱形的两条对角线长,则S菱形=ab拓展延伸对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线长乘积的一半来表示12例例3如图18-2-2-3,菱形ABCD的面积为S,对角线交于点O,OEBC
4、于点E,下列结论正确的是()图18-2-2-3A.S=ACBD B.S=4BCOEC.S=2ABOE D.S=2BDAO分析分析 由四边形ABCD是菱形,推出AB=BC,由于菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形,故根据三角形的面积公式即可得出结果.解析解析 四边形ABCD是菱形,AB=BC,S=4SBOC=4BCOE=2ABOE,故选C.12答案答案 C点拨点拨本题中菱形ABCD的面积S可以用多种方法表示:(1)S=ACBD;(2)S=2OAOB;(3)S=2ABOE.12知识点四知识点四 菱形的判定方法菱形的判定方法 判定方法符号语言图示菱形的判定边一组邻边相等的平行四边形是菱形如图所
5、示,在平行四边形ABCD中,若AB=AD,则平行四边形ABCD是菱形四条边都相等的四边形是菱形如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图所示,在平行四边形ABCD中,ACBD,平行四边形ABCD是菱形例例4如图18-2-2-4,ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于点E、F、O,求证:四边形AFCE是菱形.图18-2-2-4证明证明四边形ABCD是平行四边形,AECF,CAE=ACF.又AOE=COF,OA=OC,AOE COF,OE=OF,又OA=OC,四边形AFCE是平行四边形.又EFAC,四边形
6、AFCE是菱形.温馨提示温馨提示判定一个四边形是菱形,要结合条件灵活选择方法,如果可以证明四条边相等,那么可直接证明该四边形是菱形;如果已知一组邻边相等或对角线互相垂直,那么可以先证明这个四边形是平行四边形,再用菱形的判定方法来证明是菱形.例例1如图18-2-2-5,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DEAB,AB=10.(1)求ABC的度数;(2)求对角线AC的长度;(3)求菱形ABCD的面积.图18-2-2-5题型一题型一 利用菱形性质进行计算利用菱形性质进行计算分析分析(1)连接BD,与AC相交于点O,可证ABD是等边三角形,所以ABD=60,可得ABC的度数;(2)在RtOAB中,由
7、勾股定理可求出OA的长,则AC=2OA;(3)根据菱形的面积公式可求其面积.解析解析(1)如图18-2-2-6,连接BD,交AC于点O,图18-2-2-6四边形ABCD是菱形,AD=AB.E是AB的中点,且DEAB,AD=BD,ABD是等边三角形.ABD=60,ABC=602=120.(2)四边形ABCD是菱形,AC,BD互相垂直平分.OB=BD=AB=5.在RtAOB中,OA=5,AC=2OA=10.(3)S菱形ABCD=ACBD=1010=50.点拨点拨菱形的两条对角线互相垂直平分,与之有关的计算通常考虑利用直角三角形来求解;菱形的面积的计算方法有(1)底高;(2)对角线长乘积的一半.12
8、1222ABOB2210533121233例例2如图18-2-2-7,在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AFBC交BE的延长线于点F.(1)证明:AEF DEB;(2)证明:四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.图18-2-2-7题型二题型二 菱形性质和判定的综合应用菱形性质和判定的综合应用分析分析 解析解析(1)证明:AFBC,AFE=DBE.E是AD的中点,AE=DE,在AEF和DEB中,AEF DEB(AAS).(2)证明:由(1)知,AEF DEB,则AF=DB.D是BC的中点,DB=DC,AF=DC,又AFBC,四
9、边形ADCF是平行四边形,BAC=90,D是BC的中点,AD=DC,AFEDBEFEABEDAEDE 四边形ADCF是菱形.(3)设菱形DC边上的高为h,则RtABC斜边BC上的高也为h,BC=,DC=BC=,h=,菱形ADCF的面积为DCh=10.22ABAC225441124124 54120414122041例例如图18-2-2-8,下列条件中能说明四边形ABCD是菱形的有()图18-2-2-8BDAC;OA=OC,OB=OD,AB=BC;AC=BD;ABCD,AB=BC.A.B.C.D.易错点易错点 不能准确把握菱形的判定方法而致错不能准确把握菱形的判定方法而致错正解正解 C错解错解
10、B错解警示错解警示 错认为正确,是片面地认为对角线满足互相垂直就可以判定此四边形是菱形,而忽略了此判定方法的前提应是平行四边形.1.(2018陕西西安蓝田期末)如图18-2-2-1,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,添加下列一个条件,能使平行四边形ABCD成为菱形的是()图18-2-2-1A.AO=BO B.AC=ADC.AB=BC D.OD=AC知识点一知识点一 菱形的定义菱形的定义答案答案 C根据菱形的定义可得,当AB=BC时 ABCD是菱形,故C正确.2.(2018江苏淮安中考)如图18-2-2-2,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是()图
11、18-2-2-2A.20 B.24 C.40 D.48知识点二知识点二 菱形的性质菱形的性质答案答案 A由菱形的对角线互相垂直可以得:对角线ACBD于O,由勾股定理得AB2=AO2+BO2,又AO=AC=3,BO=BD=4,所以AB=5,所以菱形的周长为45=20.12123.(2015浙江衢州中考)如图18-2-2-3,已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米,BAD=60,则花坛对角线AC的长等于()图18-2-2-3A.6 米 B.6米 C.3 米 D.3米33答案答案 A设AC、BD交于点O.四边形ABCD为菱形,ACBD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=244=6(米
12、),BAD=60,ABD为等边三角形,BD=AB=6米,OD=OB=BD=3米,在RtAOB中,根据勾股定理得OA=3(米),则AC=2OA=6 12226333米,故选A.4.(2017四川自贡中考)如图18-2-2-4,点E、F分别在菱形ABCD的边DC、DA上,且CE=AF.求证:ABF=CBE.图18-2-2-4证明证明四边形ABCD是菱形,AB=BC,A=C,又AF=CE,ABF CBE(SAS),ABF=CBE.知识点三知识点三 菱形的面积菱形的面积5.(2018重庆育才中学期末)如图18-2-2-5,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E是DC边上的中点,连接OE,若OE=
13、5,BD=12,则菱形的面积为()图18-2-2-5A.96 B.48 C.192 D.24答案答案 A因为四边形ABCD是菱形,则ACBD,AC=2CO,DO=BD=6.在RtDOC中,OE是斜边DC的中线,则DC=2OE=10,由勾股定理,得CO=8,则AC=16,所以,菱形的面积为BDAC=1216=96.故选A.1222DCDO12126.如图18-2-2-6,下列条件中能使平行四边形ABCD为菱形的是()图18-2-2-6ACBD;BAD=90;AB=BC;AC=BD.A.B.C.D.知识点四知识点四 菱形的判定方法菱形的判定方法答案答案 A根据菱形的判定“对角线互相垂直的平行四边形
14、是菱形”“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知正确.7.在ABC中,ADBC,垂足为点D,DEAC交AB于E,DFAB交AC于F,当ABC再添加一个条件 时,四边形AEDF为菱形(填写一个条件即可).答案答案 AB=AC(答案不唯一)解析解析根据DEAC,DFAB可得四边形AEDF是平行四边形,根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可以添加AB=AC,这时根据等腰三角形的“三线合一”可知AD是顶角的角平分线,因此可得DE=DF.(答案不唯一)(2016青海中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH=.答案答案 245解析
15、解析四边形ABCD为菱形,ACBD,OA=AC=4,OB=BD=3.在RtAOB中,AB=5.S菱形ABCD=ACBD=86=24,S菱形ABCD=ABDH=5DH,5DH=24,解得DH=.121222OAOB12122451.(2018北京海淀期末)如图18-2-2-7,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点D在x轴上,边BC在y轴上,若点A的坐标为(12,13),则点C的坐标是()图18-2-2-7A.(0,-5)B.(0,-6)C.(0,-7)D.(0,-8)答案答案 AA(12,13),OD=12,AD=13,四边形ABCD是菱形,CD=AD=13,在RtODC中,OC=5,C
16、(0,-5).故选A.22CDOD2213122.如图18-2-2-8,菱形ABCD的对角线AC、BD的交点为O,E、F分别是OA、OC的中点.下列结论:SADE=SEOD;四边形BFDE是菱形;菱形ABCD的面积为EFBD;ADE=EDO;DEF是轴对称图形.其中正确的有()图18-2-2-8A.5个 B.4个 C.3个 D.2个答案答案 B四边形ABCD是菱形,BDAC,OA=OC,OB=OD.E为OA的中点,AE=OE,SADE=AEOD,SEOD=OEOD,SADE=SEOD,故正确.E、F分别是OA、OC的中点,OE=OA,OF=OC,OA=OC,OE=OF,又OB=OD,EFBD,
17、四边形BFDE是菱形,故正确.S菱形ABCD=ACBD,易知EF=AC,121212121212S菱形ABCD=EFBD,故正确.由已知条件推不出ADE=EDO.由题意得OE=OF,BDEF,DOE=DOF=90,又OD=OD,DOE DOF,DE=DF,DEF为等腰三角形,DEF是轴对称图形,故正确.3.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志,人们将等宽红丝带剪成小段,并用别针将折叠好的红丝带别在胸前.图18-2-2-9中红丝带重叠部分形成的图形一定是 .图18-2-2-9答案答案菱形解析解析过点A作AEBC于E,AFCD于F,由题意知ABCD,ADBC,AE=AF,四边形ABCD是平行四边
18、形.S ABCD=BCAE=CDAF,又AE=AF,BC=CD,四边形ABCD是菱形.1.我们规定:将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”,等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”(例如三角形的中线就是三角形的等积线段).已知菱形的边长为4,且有一个内角为60,设它的等积线段长为m,则m的取值范围是()A.m=4或m=4 B.4m4C.2m4 D.2m433333答案答案 C由“等积线段”的定义可知:当菱形的“等积线段”过对角线交点且与一边上的高平行时,其长度最短,如图,过点D作DNAB于点N,此时直线lDC,DAB=60,AD=4,ADN=30,AN
19、=2.在直角三角形AND中,由勾股定理得DN=2.当“等积线段”为菱形的较长对角线时,其长度最长,22ADAN22423易求AO=2,AC=4.m的取值范围是2m4.33332.3个全等的菱形按如图所示的方式拼合在一起,恰好得到一个边长相等的六边形,则菱形较长的对角线与较短的对角线长度的比值是()A.B.1510C.2 D.33答案答案 A如图,设第一个菱形的另一个顶点为M,连接AC,BM,交于点O,由题意得AB=AF=2BM,四边形ABCM是菱形,ACBM,OB=BM,OA=AC,AB=4OB,OA=OB,AC=2OA=2OB,又BM=2OB,AC BM=1,菱形较长的对角线与较短的对角线长
20、度的比值是.121222ABOB151515153.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:甲:连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD、AC、BC于点M、O、N,连接AN、CM,则四边形ANCM是菱形.乙:分别作A、B的平分线AE、BF,分别交BC、AD于点E、F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.根据两人的作法可判断()A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误答案答案 C甲的作法:MN垂直平分AC,AM=CM,OA=OC,四边形ABCD是平行四边形,AMCN,MAO=NCO,AMO=CNO,AMO CNO,AM=CN,四边形A
21、NCM是平行四边形,又AM=CM,ANCM是菱形.乙的作法:四边形ABCD是平行四边形,AFBE,AFB=EBF,FAE=BEA,AE平分BAF,BF平分ABE,BAE=FAE,ABF=EBF,ABF=AFB,BAE=BEA,AB=AF,AB=EB,AF=BE,四边形ABEF是平行四边形,又AB=BE,ABEF是菱形.故选C.一、选择题一、选择题1.(2018安徽安庆宿松期末,6,)如图18-2-2-10,剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起,转动其中一张,重合部分构成一个四边形,则下列结论中不一定成立的是()图18-2-2-10A.ABC=ADC,BAD=BCDB.AB=BCC.
22、AB=CD,AD=BCD.DAB+BCD=180答案答案 D四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形,ABCD,ADBC,四边形ABCD是平行四边形(对边相互平行的四边形是平行四边形).过点A分别作BC,CD边上的高为AE,AF,连接AC,则AE=AF(两纸条相同,纸条宽度相同),在平行四边形ABCD中,SABC=SACD,即BCAE=CDAF,BC=CD,AB=BC.故B中结论成立;平行四边形ABCD为菱形(邻边相等的平行四边形是菱形).ABC=ADC,BAD=BCD(菱形的对角相等),故A中结论成立;AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),故C中结论成立;当四边
23、形ABCD是矩形时,有DAB+BCD=180.故D中结论不一定成立.故选D.2.(2017山西百校联考一模,10,)如图18-2-2-11,在菱形ABCD中,AB=4 cm,ADC=120,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1 cm/s,点F的速度为2 cm/s,经过t s后,DEF为等边三角形,则t的值为()图18-2-2-11A.1 B.C.D.131243答案答案 D连接BD,四边形ABCD是菱形,ADC=120,AB=AD,ADB=DBC=ADC=60,ABD是等边三角形,AD=BD,又DEF是等边三角形,EDF=DEF=60,
24、又ADB=60,ADE=BDF,在ADE和BDF中,ADE BDF(ASA),AE=BF,AE=t cm,CF=2t cm,BF=BC-CF=(4-2t)cm,12,ADBCADBDADEBDF t=4-2t,t=.故选D.43二、填空题二、填空题3.(2018安徽桐城期末,11,)如图18-2-2-12,已知四边形ABCD中,AB=CD,ABCD,要使四边形ABCD是菱形,应添加的条件是 (只填写一个条件,不使用图形以外的字母).图18-2-2-12答案答案 AB=BC(答案不唯一)解析解析 由已知条件AB=CD,ABCD,可得四边形ABCD是平行四边形,再加一个条件可以是一组邻边相等,如A
25、B=BC;或对角线互相垂直,即ACBD等.4.(2018安徽合肥期中,14,)如图18-2-2-13,菱形ABCD的边长为2,DAB=60,点E为BC边上的中点,点P为对角线AC上一动点,则PB+PE的最小值为 .图18-2-2-13答案答案 3解析解析连接BD,交AC于O,连接DE交AC于P,由菱形的对角线互相垂直平分,可得B、D关于AC对称,则PD=PB,PE+PB=PE+PD=DE,即DE就是PE+PB的最小值.四边形ABCD是菱形,DCB=DAB=60,DC=BC=2,DCB是等边三角形,BE=CE=1,DEBC(等腰三角形三线合一的性质).在RtCDE中,DE=.即PB+PE的最小值
26、为.222133三、解答题三、解答题5.(2018苏州高新区期末,24,)如图18-2-2-14,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形纸片折叠,使点B与点D重合,求折痕GH的长.图18-2-2-14解析解析如图,由折叠得DH=BH,设BH=DH=x,则CH=8-x,在RtCDH中,DH2=DC2+CH2,即x2=62+(8-x)2,解得x=,连接BD、BG,由翻折的性质可得BG=DG,BHG=DHG,在矩形ABCD中,ADBC,BHG=DGH,254DHG=DGH,DH=DG,BH=DH=DG=BG,四边形BHDG是菱形,在RtBCD中,BD=10,S菱形BHDG=BDGH=BHC
27、D,即10GH=6,解得GH=.22BCCD12122541521.(2018江苏南京联合期末,5,)如图,在菱形ABCD中,A=60,点E、F分别为AD、DC上的动点,EBF=60,点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度()A.逐渐增加B.逐渐减小C.保持不变且与EF的长度相等D.保持不变且与AB的长度相等答案答案 D如图,连接BD,四边形ABCD是菱形,AB=AD=CD,A=60,ABD是等边三角形,AB=BD,ABD=60,DCAB,CDB=ABD=60,A=CDB,EBF=60,ABE+EBD=EBD+DBF,ABE=DBF,ABE DBF(AAS),AE=DF,AE+CF=D
28、F+CF=CD=AB,故选D.2.(2017浙江杭州仿真卷二,10,)如图,在坐标系中放置一菱形OABC,已知ABC=60,点B在y轴上,OA=1,先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转,每次翻转60,连续翻转2 017次,点B的落点依次为B1,B2,B3,则B2 017的坐标为()A.(1 345,0)B.C.D.(1 345.5,0)31 345.5,231 345,2答案答案 B如图所示,连接AC,四边形OABC是菱形,OA=AB=BC=OC.ABC=60,ABC是等边三角形,AC=AB,AC=OA.OA=1,AC=1.画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形,如图所示.由图可知:每翻转
29、6次,图形向右平移4个单位长度.2 017=3366+1,点B1向右平移了1 344(即3364)个单位长度到点B2 017.B1的坐标为,B2 017的坐标为,即.31.5,231.5 1 344,231 345.5,23.(2018河南郑州金水月考,10,)如图,分别以直角ABC的斜边AB,直角边AC为边向ABC外作等边ABD和等边ACE,F为AB的中点,DE与AB交于点G,EF与AC交于点H,ACB=90,BAC=30.给出如下结论:EF平分AEC;AFDE;AD=4AG;FH=BD,其中正确的结论为()14A.B.C.D.答案答案 AACE是等边三角形,EAC=AEC=60,AE=AC
30、,BAC=30,FAE=ACB=90,AB=2BC,F为AB的中点,AB=2AF,BC=AF,ABC EFA,FE=AB,AEF=BAC=AEC=30,故正确;12EFAC,ACB=90,HFBC,F是AB的中点,HF=BC,BC=AB,AB=BD,HF=BD,故正确;AD=BD,BF=AF,DFB=90,BDF=30,FAE=BAC+CAE=90,DFB=EAF,121214EFAC,AEF=30,BDF=AEF,DBF EFA(AAS),AE=DF,又FE=AB=AD,四边形ADFE为平行四边形,AEEF,四边形ADFE不是菱形,AFDE不成立,故不正确;AG=AF,12AG=AB,AD=
31、AB,则AD=4AG,故正确,故选A.14一、选择题一、选择题1.(2018湖北十堰中考,6,)菱形不具备的性质是()A.四条边都相等 B.对角线一定相等C.是轴对称图形 D.是中心对称图形答案答案 B菱形的对角线一定互相垂直,但不一定相等,故选B.2.(2018山东日照中考,1,)如图18-2-2-15,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,添加下列条件,不能判定四边形ABCD是菱形的是()图18-2-2-15A.AB=AD B.AC=BD C.ACBD D.ABO=CBO答案答案 BAO=CO,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形.当AB=AD时,根据邻
32、边相等的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;当AC=BD时,根据对角线相等的平行四边形是矩形,不能判定四边形ABCD是菱形;当ACBD时,根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,能判定四边形ABCD是菱形;四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ADB=DBC.ABO=CBO,ABO=ADO.AB=AD,四边形ABCD是菱形.故选B.3.(2018湖南湘潭中考,5,)如图18-2-2-16,已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点,则四边形EFGH是()图18-2-2-16A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形答案答案 B在菱形ABCD中,E、F、G、H分别是各边的中点,由三角
33、形中位线定理可得四边形EFGH的对边平行且相等,所以此四边形为平行四边形;又因为菱形的对角线互相垂直平分,可求得四边形EFGH的一角为90,所以连接菱形各边中点得到的四边形是矩形,即四边形EFGH是矩形.故选B.二、填空题二、填空题4.(2017山东菏泽中考,11,)菱形ABCD中,A=60,其周长为24 cm,则菱形的面积为 cm2.答案答案18 3解析解析如图,连接AC、BD交于点O,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=DA,ACBD,A=60,ABD是等边三角形,又菱形ABCD的周长为24 cm,BD=AB=6 cm,OD=3 cm,在RtAOD中,AO=3 cm,AC=2AO=6
34、cm,S菱形ABCD=ACBD=66=18(cm2).22ADOD226333121233三、解答题三、解答题5.(2018山东泰安中考,23,)如图18-2-2-17,ABC中,D是AB上一点,DEAC于点E,F是AD的中点,FGBC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分CAB,连接GE,GD.(1)求证:ECG GHD;(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;(3)若B=30,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.图18-2-2-17解析解析 (1)证明:AF=FG,FAG=FGA.AG平分CAB,CAG=FAG,CAG=FGA,ACFG.D
35、EAC,FGDE.FGBC,DEBC,ACBC,C=DHG=90,CGE=GED.F是AD的中点,FGAE,H是ED的中点,FG是线段ED的垂直平分线,GE=GD,GDE=GED,CGE=GDE,ECG GHD.(2)证明:如图,过点G作GPAB于点P,GC=GP,CAG PAG,AC=AP.由(1)得EG=DG,RtECG RtGPD,EC=PD,AD=AP+PD=AC+EC.(3)四边形AEGF是菱形,理由如下:B=30,ADE=30,AE=AD,AE=AF=FG.由(1)得AEFG,四边形AEGF是菱形.121.(2018新疆中考,9,)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一
36、个动点,点M,N分别是AB,BC边上的中点,则MP+PN的最小值是()A.B.1 C.D.2122答案答案 B作点M关于直线AC的对称点M,连接MN,交AC于点P,此时MP+PN的值最小,等于MN的值.根据题意得,M为AD的中点,所以MN=CD=1,故选B.2.(2017浙江舟山中考,7,)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(,0),B(1,1).若平移点A到点C,使以点O,A,C,B为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是()A.先向左平移1个单位,再向下平移1个单位B.先向左平移(2-1)个单位,再向上平移1个单位C.先向右平移个单位,再向上平移1个单位222D.先向右平移1个单位,
37、再向上平移1个单位答案答案 D过B作射线BCOA,在BC上截取BC=OA,则四边形OACB是平行四边形,OA=BC,AC=OB,可设C点的坐标为(x,1),B(1,1),OB=,A(,0),OA=OB,四边形OACB是菱形,x-1=,x=+1,C点的坐标为(+1,1),221122222平移点A到点C的方法是先向右平移1个单位,再向上平移1个单位.故选D.3.(2017江苏苏州中考,10,)如图,在菱形ABCD中,A=60,AD=8,F是AB的中点.过点F作FEAD,垂足为E.将AEF沿点A到点B的方向平移,得到AEF.设P、P分别是EF、EF的中点,当点A与点B重合时,四边形PPCD的面积为
38、()A.28 B.24 C.32 D.32-83333答案答案 A如图,分别过E、P、D点作ENAB,PGAB,DHAB,垂足分别为N,G,H,DH交PP于点M.在菱形ABCD中,AD=8,A=60,F是AB的中点,AF=4=AH,DH=4,FEAD,AEF=90.AE=2,EN=,228433PGAB,ENAB,PGEN,又P是EF的中点,PG=EN=.将AEF平移得到AEF,PPAB,PPDC,四边形PPCD是平行四边形,DM=DH-PG=.S四边形PPCD=8=28.故选A.12327 327 3234.(2016江苏盐城中考,18,)如图,已知菱形ABCD的边长为2,A=60,点E、F
39、分别在边AB、AD上.若将AEF沿直线EF折叠,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则EF=.答案答案 7 2120解析解析如图,连接AG、BD、BG,过点G作GHAD交AD的延长线于H,由已知得CBD为等边三角形,G为CD边的中点,BGCD,易求BG=.在RtDGH中,GDH=60,DG=1,DH=,GH=,AG=.由折叠知,EF垂直平分AG,AF=FG,3123222AHHG2253227AE=EG,在RtHFG中,FH2+HG2=FG2,即+=AF2,解得AF=.在RtEBG中,BE2+BG2=EG2,即(2-AE)2+()2=AE2,解得AE=.EFAG,S四边形AEGF=AGEF,又S
40、四边形AEGF=SAEG+SAFG=AEBG+AFHG,即EF=+,EF=.252AF23275374121212127127431275327 21201.(2016河北保定莲池期末)如图18-2-2-18,矩形ABCD的面积为S cm2,对角线交于点O.以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B,连接AC1交BD于O1,以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B,依此类推,则平行四边形AOnCn+1B的面积为()图18-2-2-18A.S cm2 B.S cm2C.S cm2 D.S cm2 112n12n112n13n答案答案 CO为矩形ABCD的对角线的交点,平行四边形AOC1B的边A
41、B上的高等于BC的,平行四边形AOC1B的面积为S cm2,平行四边形AOC1B的对角线交于点O1,平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B的边AB上的高的,平行四边形AO1C2B的面积为S=S cm2,依此类推,平行四边形AOnCn+1B的面积为S cm2.故选C.1212121212212112n2.(2016陕西中考)如图18-2-2-19,在菱形ABCD中,ABC=60,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为 .图18-2-2-19答案答案2-23解析解析连接PC,当等腰P
42、BC以PBC为顶角时,如图,点P在以B为圆心,BC长为半径的弧AC上.连接AC、BD相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.四边形ABCD是菱形,ACBD,ABO=ABC=30,AO=AB=1,1212BO=,BD=2BO=2,PB=BC=2,PD=BD-PB=2-2.当等腰PBC以PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2.当等腰PBC以BPC为顶角时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.22ABAO22213332-22,PD的最小值是2-2.333
43、.图18-2-2-20是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形,菱形边长为等边三角形边长的一半,以此为基本单位,可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形(如图18-2-2-20),依此规律继续拼下去,求第n个图形的周长.图18-2-2-20解析解析下面是各图形的周长:题图的周长为4=22;题图的周长为8=23;题图的周长为16=24;所以第n个图形的周长为2n+1.1.(2016浙江丽水中考)如图,在菱形ABCD中,过点B作BEAD,BFCD,垂足分别为点E,F,延长BD至G,使得DG=BD,连接EG,FG.若AE=DE,则=.EGAB答案答案 72解析解析如图,连接AC,EF.在菱形ABC
44、D中,ACBD.BEAD,AE=DE,AB=BD,AB=AD,AB=BD=AD.ABD是等边三角形,ADB=60.设EF与BD交于点H,AC与BD交于点O,AB=4x.AE=DE,由菱形的对称性可知CF=DF.EF是ACD的中位线,DH=DO=BD=x.在RtEDH中,由勾股定理得EH=x.DG=BD,GH=BD+DH=4x+x=5x.在RtEGH中,EG=2x.=.1214322EHGH22(3)(5)xx7EGAB2 74xx722.(2016新疆中考)如图,ABCD中,AB=2,AD=1,ADC=60,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D处,折痕交CD边于点E.(1
45、)求证:四边形BCED是菱形;(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD+PB的最小值.解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,DCAB,DEA=EAD.由折叠可知,DAE=EAD,DAE=DEA.DE=DA=1.由折叠可知AD=AD=1,ED=ED=1,四边形ABCD是平行四边形,DC=AB=2,BC=AD=1,BD=AB-AD=2-1=1,EC=DC-DE=2-1=1.EC=BC=BD=ED=1,四边形BCED是菱形.(2)由折叠的性质可知D与D关于直线AE对称,如图,连接BD交AE于P,则BD的长即为PD+PB的最小值,过D作DGBA,交BA的延长线于点G,CDAB,DAG=CDA=60,AD=1,AG=,DG=,BG=,BD=,PD+PB的最小值为.12325222DGBG77
