1、 微专题 12 复合函数零点问题 一、基础知识： 1、复合函数定义：设 yf t， tg x，且函数 g x的值域为 f t定义域的子集，那 么y通过t的联系而得到自变量x的函数，称y是x的复合函数，记为 yfg x 2、复合函数函数值计算的步骤：求 ygf x 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求 出函数值。例如：已知 2 2 , x f xg xxx，计算 2gf 解： 2 224f 241 2gfg 3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层 层拆解直到求出x的值。例如：已知 2xf x ， 2 2g xxx，若 0gf x ，求x 解：令 tf
2、 x，则 2 020g ttt解得0,2tt 当 0020 x tf x，则x 当 2222 x tf x，则1x 综上所述：1x 由上例可得，要想求出 0gf x 的根，则需要先将 f x视为整体，先求出 f x的 值，再求对应x的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义： 4、 函数的零点： 设 f x的定义域为D， 若存在 0 xD， 使得 0 0f x， 则称 0 xx为 f x 的一个零点 5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x的方程 0gf x 根的个数，在解此类问题时， 要分为两层来分析，第一层是解关于 f x的方程，观察有几个 f x的值使得等式成立；第 二层是
3、结合着第一层 f x的值求出每一个 f x被几个x对应，将x的个数汇总后即为 0gf x 的根的个数 6、求解复合函数 ygf x 零点问题的技巧： （1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 ,f xg x的图像 （2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于 f x的方程 0gf x 中 f x解的 个数，再根据个数与 f x的图像特点，分配每个函数值 i fx被几个x所对应，从而确定 i fx的取值范围，进而决定参数的范围 复合函数： 二、典型例题 例 1：设定义域为R的函数 1 ,1 1 1,1 x xf x x ，若关于x的方程 2 0fxbf xc 由 3 个不同
4、的解 123 ,x x x，则 222 123 xxx_ 思路：先作出 f x的图像如图：观察可发现对于任意的 0 y，满足 0 yf x的x的个数分 别为 2 个（ 00 0,1yy）和 3 个（ 0 1y ） ，已知有 3 个解，从而可得 1f x 必为 2 0fxbf xc的根，而另一根为1或者是负数。所以 1 i f x，可解得： 123 0,1,2xxx，所以 222 123 5xxx 答案：5 例 2：关于x的方程 2 22 13120xx的不相同实根的个 数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 思路： 可将 2 1x 视为一个整体， 即 2 1t xx， 则方程变为
5、2 320tt可解得：1t 或2t ，则只需作出 2 1t xx的图像，然后统计与1t 与2t 的交点总数即可，共有 5 个 答案：C 例 3 ： 已 知 函 数 11 ( ) |f xxx xx ， 关 于x的 方 程 2( ) ( )0fxa f xb （, a bR）恰有 6 个不同实数解，则a的取值范围是 思路：所解方程 2( ) ( )0fxa f xb可视为 2 0fxa fxb，故考虑作出 f x的图像： 2 ,1 2 ,01 2 , 10 2 ,1 x x xx f x xx x x ， 则 f x的图像 如 图 ， 由 图 像 可 知 ， 若 有 6 个 不 同 实 数 解
6、， 则 必 有 12 2,02fxfx，所以 12 2,4afxfx ， 解得42a 答案：42a 例 4：已知定义在R上的奇函数，当0x 时， 1 21,02 1 2 ,2 2 x x f x f xx ，则关于x的方程 2 610f xf x 的实数根个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：已知方程 2 610f xf x 可解，得 12 11 , 23 fxfx ，只需统计 11 , 23 yy 与 yf x的交点个数即可。由奇 函 数 可 先 做 出0x 的 图 像 ，2x 时 ， 1 2 2 fxfx，则2,4x的图像只需将 0,2x的图像纵坐标缩为一半即可。正半
7、轴图像 完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通 过数形结合可得共有 7 个交点 答案：B 小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。 例 5：若函数 32 f xxaxbxc有极值点 12 ,x x，且 11 f xx，则关于x的方程 2 320f xaf xb的不同实根的个数是（ ） A3 B4 C5 D6 思路： 2 32fxxaxb由极值点可得： 12 ,x x为 2 320xaxb 的两根，观察到 方程与 2 320f xaf xb结构完全相同， 所以 可得 2 320fxafxb的两根为 1122 ,fxx fxx，其中 111 fxx，若 12 xx
8、， 可 判 断 出 1 x是 极 大 值 点 ， 2 x是 极 小 值 点 。 且 2211 fxxxfx，所以 1 yfx与 f x有两 个交点，而 2 fx与 f x有一个交点，共计 3 个；若 12 xx，可判断出 1 x是极小值点， 2 x是极大值点。且 2211 fxxxf x，所以 1 yfx与 f x有两个交点，而 2 fx与 f x有一个交 点，共计 3 个。综上所述，共有 3 个交点 答案：A 例 6：已知函数 2 43f xxx，若方程 2 0f xbf xc 恰有七个不相同的实 根，则实数b的取值范围是（ ） A. 2,0 B. 2, 1 C. 0,1 D. 0,2 思路
9、：考虑通过图像变换作出 f x的图像（如图） ，因为 2 0f xbf xc 最多只能解出 2 个 f x，若要出七 个根，则 12 1,0,1fxfx，所以 12 1,2bfxfx ，解得：2, 1b 答案：B 例 7：已知函数 x x f x e ，若关于x的方程 2 10fxmf xm 恰有 4 个不相等的 实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 1 ,22,e e B. 1 ,1 e C. 1 1,1 e D. 1 ,e e 思路： ,0 ,0 x x x x e f x x x e ，分析 f x的图像以便于作图， 0x时， 1 x fxx e，从而 f x在0,1单调递增， 在1
10、,单调递减， 1 1f e ，且当,0xy ，所以x 正半轴为水平渐近线；当0x时， 1 x fxxe，所以 f x在,0单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有 4 个不等实根，则关于 f x的 方程 2 10fxmf xm 中， 12 11 0,fxfx ee ，从而将问题转化为 根分布问题，设 tf x，则 2 10tmtm 的两根 12 11 0,tt ee ，设 2 1g ttmtm，则有 2 00 10 111 100 g m mmg eee ，解得 1 1,1m e 答案：C 小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点 来进行作图，在作图的过程
11、中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例 8：已知函数 2 1,0 log,0 axx f x x x ，则下列关于函数 1yff x的零点个数判断正 确的是（ ） A. 当0a 时，有 4 个零点；当0a 时，有 1 个零点 B. 当0a 时，有 3 个零点；当0a 时，有 2 个零点 C. 无论a为何值，均有 2 个零点 D. 无论a为何值，均有 4 个零点 思路：所求函数的零点，即方程 1ff x 的解的个数，先作出 f x的图像，直线 1yax为过定点0,1的一条直线，但需要对a的符号进行分类讨论。当0a 时，图像 如图所示，先拆外层可得 12 21 0, 2 fxfx a ，
12、而 1 fx有两个对应的x， 2 fx也 有两个对应的x，共计 4 个；当0a 时， f x的图像如图所示，先拆外层可得 1 2 fx ， 且 1 2 fx 只有一个满足的x，所以共一个零点。结合选项，可判断出 A 正确 答案：A 例 9： 已知函数 2 32 2 1 1,0 231, 31,0 xx f xxxg x xx ， 则方程 0gf xa （a为正实数）的实数根最多有_个 思路：先通过分析 ,fxg x的性质以便于作图， 2 3632fxxxx x，从而 f x在 ,0 , 2,单 增 ， 在0,2单 减 ， 且 01 ,23ff ， g x为分段函数，作出每段图像即 可，如图所示
13、，若要实数根最多，则要优先选取 f x能 对应x较多的情况， 由 f x图像可得， 当 3,1f x 时， 每个 f x可对应 3 个x。 只需判断 gf xa 中， f x能在3,1取得的值的个数即可，观察 g x图像 可得，当 5 1, 4 a 时，可以有 2 个 3,1f x ，从 而能够找到 6 个根，即最多的根的个数 答案：6 个 例 10：已知函数 yf x和 yg x在2,2的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程 0fg x 有且只有 6 个根 （2）方程 0gf x 有且只有 3 个根 （3）方程 0ff x 有且只有 5 个根 （4）方程 0g g x 有且只有 4 个根
14、 则正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 思路： 每个方程都可通过图像先拆掉第一层， 找到内层函数能取得的值， 从而统计出x的总数。 （1） 中可得 123 2, 1 ,0,1,2gxgxgx ， 进而 1 gx有 2 个对应的x ， 2 gx 有 3 个， 3 gx有 2 个，总计 7 个， （1）错误； （2）中可得 12 2, 1 ,0,1fxfx ，进而 1 fx有 1 个对应的x， 2 fx有 3 个， 总计 4 个， （2）错误； （3） 中可得 123 2, 1 ,0,1,2fxfxfx ， 进而 1 fx有 1 个对应的x ， 2 fx 有 3 个， 3 fx有 1 个，总计 5 个， （3）正确； （4）中可得： 12 2, 1 ,0,1gxgx ，进而 1 gx有 2 个对应的x ， 2 gx有 2 个，共计 4 个， （4）正确 则综上所述，正确的命题共有 2 个 答案：B
