1、 微专题 15 函数的单调区间 单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调 区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程 中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识： 1、函数的单调性：设 f x的定义域为D，区间ID，若对于 1212 ,x xI xx，有 12 f xf x，则称 f x在I上单调递增，I称为单调递增区间。若对于 1212 ,x xI xx，有 12 f xf x，则称 f x在I上单调递减，I称为单调递减区间。 2、导数与单调区间的联系 （1）函数 f x在, a b可导，那么 f x在, a b上单调递
2、增 ,( )0xa bfx ， 此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ， 无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如： 2 f xx的单调递增区间为 0 +，而 00f，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为 3 f xx在0x 处的导数为 0，但是0,0位于单调区间内。 （2）函数 f x在, a b可导，则 f x在, a b上单调递减 ,( )0xa bfx ， （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由 ,( )xa bfx ，的符 号能否推出 f x在, a b的单
3、调性呢？如果 f x不是常值函数，那么便可由导数的符号对 应推出函数的单调性。 （这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出 f x的导函数 ( ) fx （3）令 ( ) 0fx （或0） ，求出x的解集，即为 f x的单调增（或减）区间 （4）列出表格 4、求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集单调区间为定义域的子集） 。 另一方面通过定义域对x取值的限制， 对解不等式有时会起到简化的作用， 方便单调区间的求 解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式
4、 （3）一般可令 ( ) 0fx ，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆） ，若 f x不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若 ( ) 0fx 的解集为定义域，那么说明 f x是定义域上的增函数，若 ( ) 0fx 的解 集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么 f x是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方 法也依然好用，例如：增+增增，减+减减，1增减，复合函数单调性同增异减等。 如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。 5、求单调区间的一些注意事项 （1
5、）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。例 如函数 1 y x 的单调减区间为 0,0，若写成0,就出错了（0 不在定义域内） （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。有 些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。 并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。依然以 1 y x 为例，如果写成0,0，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变 量，满足单调减的条件。由 1 y x 性质可知，如果在 0,0两个区间里各取一个， 是不满足单调减的性质的。 6
6、、二阶导函数的作用： 几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于 “ fx而言，决定的是 fx的单调性。 当 0fx 时， fx单调递增，意味着 fx随x的增大而增大，由于导数的几何意义为 切线斜率，故切线斜率k随x的增大而增大；同理，当 0fx 时， fx单调递减，则切 线斜率k随x的增大而减少。那么在图像上起到什么作用呢？ 单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不 同，所以如果说 fx是决定函数单调性的，那么 fx在已知单调性的前提下，能够告诉 我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。 （1）当 “ 0fx ，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数 （2
7、）当 “ 0fx ，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数 代数意义：当通过 fx无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单 调性，再看能否利用条件判断符号。 二、典型例题： 例 1：下列函数中，在0,上为增函数的是（ ） A. sin2f xx B. x f xxe C. 3 f xxx D. lnf xxx 思路： 本题只需分析各个函数在0,上的单调性即可。 A 选项 sin2f xx通过其图像可 知显然在0,不单调； B 选项 1 xxx fxexexe， 当0,x时， 0fx ， 所以 f x在0,单调递增；C 选项 2 33 31=3 33 fxxxx 可得 f x
8、在 3 0, 3 单调递减，在 3 , 3 单调递增；D 选项 11 1 x fx xx ，可得 f x在 0,1单调递增，在1,单调递减。综上，B 符合条件 答案：B 例 2：函数 2 1 2 log4f xx的单调递增区间是（ ） A. 0, B. ,0 C. 2, D. , 2 思路：先分析 f x的定义域： 2 40, 22,xx ，再观察解析式可得 f x可视为函数 2 1 2 log,4yt tx的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点， 可分别分析两个函数的单调性，对于 1 2 logyt而言，y对t是减函数。所以如要求得增区间， 则 2 4tx中t对x也应为减函数。结合定义
9、域可得 f x的单调增区间为, 2 答案：D 例 3：求函数 32 333 x f xxxxe的单调区间（2009 宁夏，21 题（1） ） 思路：第一步：先确定定义域， f x定义域为R， 第二步：求导： 232 ( )363333 xx fxxxexxxe 3 933 xx xx ex xxe , 第三步：令 ( ) 0fx ,即330 x x xxe 第四步：处理恒正恒负的因式，可得330x xx 第五步：求解3,03,x ,列出表格 x , 3 3,0 0,3 3, ( ) fx f x 例 4：求函数 lnln 2f xxxx的单调区间 解：定义域0,2x 2 22 22112 1=
10、 2222 xx xxx xx fx xxx xx xx x 0,2x 20,20xx 令导数 0fx 解得：202xx（通过定义域大大化简解不等式的过程） x 0, 2 2,2 ( ) fx f x 例 5：求函数 2 ln x f x x 的单调区间 解： 1 2 2 3 2 11 2lnln ln4ln1 2 2 xxxx xx x fx x x 令 0fx ，即解不等式lnln40xx，解得 4 0ln41xxe f x的单调区间为 x 0,1 4 1,e 4, e fx f x 例 6：求函数( )1lnf xxx的单调区间 思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在
11、求导进行单调性分析 解： 1ln ,1 1ln ,01 xx x f x xxx ，当0,1x时， 1lnf xxx 为减函数 当1,x时， 11 1 x fx xx 1x 0fx f x在1,单调递增 综上所述： f x在0,1单调递减，在1,单调递增 小炼有话说： （1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去 掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。 （2）本题在0,1x时，利用之前所学知识可直接判断出 f x单调递减，从而简化步骤。 导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为 简便 例 7： （1）若函数 1 ln10,0
12、1 x f xaxxa x 在区间1,+单调递增，则a的取 值集合是_ （2）若函数 1 ln10,0 1 x f xaxxa x 的递增区间是1,+，则a的取值集合 是_ 解： （1）思路： 2 22 22 1 111 aaxa fx ax xaxx ，由 f x在1,+单调递增 可得：1x ， 2 2 2 2 012 11 axa fxa x axx 。 2 max 2 1 1 a x 1a （2）思路： f x的递增区间为1,+，即 f x仅在1,+单调递增。 令 22 2 020 a fxaxax a ， 若1a ， 则 f x单调递增区间为0,不 符题意，若01a，则 2a x a
13、时， 0fx 。所以 2 11 a a a 答案： （1）1a ， （2）1a 小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明 f x在区间1,+单调递增，那 么 f x也可以在其他区间单调递增，即1,+是增区间的子集。而（2）明确提出单调增区 间为1,+，意味着 f x不再含有其他增区间，1x 为单调区间的分界点，从而满足条件 的a只有一个值。要能够区分这两问在叙述上的不同。 例 8： 32 11 2 32 f xxxax ，若 f x在 2 , 3 上存在单调递增区间，则a的取值范 围是_ 思路： 2 2fxxxa ，有已知条件可得： 2 ,+ 3 x ，使得 0fx ，即 2 1
14、2 axx，只需 2 min 1 2 axx ，而 2 2 11221 22339 yxx ，所以 1 9 a 答案： 1 9 a 小炼有话说： （1）已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成 为不等式恒成立或不等式能成立问题，进而求解，要注意已知函数 f x单调递增（减）时， 其导函数 0fx （0） ，勿忘等号。 （2）在转化过程中要注意单调区间与不等式成立问题中也有一些区别，例如：若把例 6 的条 件改为“在 2 , 3 上存在单调递增区间” ，则在求解的过程中，靠不等式能成立问题的解法 解出的a的范围时 1 9 a ，但当 1 9 a 时，满足不等式的x的解仅有
15、 2 3 x ，不能成为单 调区间，故 1 9 a 舍去，答案依然为 1 9 a 例 9：设函数 2ln p fxpxx x （其中e是自然对数的底数） ，若 f x在其定义域内为 单调函数，求实数p的取值范围 思路：条件中只是提到 f x为单调函数，所以要分单调增与单调减两种情况考虑。无非就是 0fx 恒成立或 0fx 恒成立，进而求出p的范围即可 解： 2 2p fxp xx 若 f x在0,单调递增，则 2 2 0 p fxp xx 恒成立 即 2 222 1222 1 11 xx pp xxxxx 2 max 2 1 x p x ，设 2 2 1 x h x x 则 2 222 1 1
16、 11 2 x h x x x x x x 1p 若 f x在0,单调递减，则 2 2 0 p fxp xx 恒成立 即 22 122 1 1 x pp xxx 2 min 2 1 x p x ，设 2 2 1 x h x x 则 2 22 0 1 1 x h x x x x ，且当0x 或x 时， 0h x 0p 综上所述：1p 或0p 例 10：若函数 3 log0,1 a f xxaxaa在区间 1 ,0 2 内单调递增，则a取值范 围是( ) A 1 ,1 4 B 3 ,1 4 C 9 , 4 D 9 1, 4 思路：先看函数 f x的定义域，则 3 0xax在 1 ,0 2 恒成立，
17、 2 1 4 axa f x可看成是由 3 log, a yu uxax的复合函数，故对a进行分类讨论。当1a 时， logayu单调递增，所以 3 uxax需单调递增， 22 min 3030uxaax， 与1a 矛盾；当01a时，log a yu单调递减，所以 3 uxax需单调递减， 22 min 3 303 4 uxaax 3 ,1 4 a 答案：B 小炼有话说： （1）在本题中要注意参数对定义域的影响。单调区间是定义域的子集，所以在求参数范围时 要满足定义域包含所给区间。这可能会对参数的取值有所限制。也是本题的易错点 （2）对于指数结构与对数结构的函数（如本题中的 f x） ，可分别分析底数与 1 的大小（对 数的增减性）与真数的单调性，然后判断整个函数的单调性。理论依据为复合函数的单调性 特点（同增异减） ，故本题对底数a以 1 为分界点分类讨论，并依此分析真数的情况。
