高中数学讲义微专题86事件的关系与概率运算.doc

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1、 微专题 86 事件的关系与概率运算 一、基础知识 1、事件的分类与概率: (1)必然事件:一定会发生的事件,用表示,必然事件发生的概率为100% (2)不可能事件:一定不会发生的事件,用表示,不可能事件发生的概率为0% (3)随机事件:可能发生也可能不发生的事件,用字母, ,A B C进行表示,随机事件的概率 0,1P 2、事件的交并运算: (1)交事件:若事件C发生当且仅当事件A与事件B同时发生,则称事件C为事件A与事 件B的交事件,记为AB,简记为AB 多个事件的交事件: 12n AAA:事件 12 , n A AA同时发生 (2) 并事件: 若事件C发生当且仅当事件A与事件B中至少一个

2、发生 (即A发生或B发生) , 则称事件C为事件A与事件B的并事件,记为AB 多个事件的并事件: 12n AAA:事件 12 , n A AA中至少一个发生 3、互斥事件与概率的加法公式: (1)互斥事件: 若事件A与事件B的交事件AB为不可能事件,则称,A B互斥,即事件A 与事件B不可能同时发生。例如:投掷一枚均匀的骰子,设事件“出现 1 点”为事件A,“出现 3 点”为事件B,则两者不可能同时发生,所以A与B互斥 (2)若一项试验有n个基本事件: 12 , n A AA,则每做一次实验只能产生其中一个基本事 件,所以 12 , n A AA之间均不可能同时发生,从而 12 , n A A

3、A两两互斥 (3)概率的加法公式(用于计算并事件) :若,A B互斥,则有 P ABP AP B 例如在上面的例子中,事件AB为“出现 1 点或出现 3 点”由均匀的骰子可得 1 6 P AP B,所以根据加法公式可得: 1 3 P ABP AP B (4) 对立事件: 若事件A与事件B的交事件AB为不可能事件, 并事件AB为必然事件, 则称事件B为事件A的对立事件,记为BA,也是我们常说的事件的“对立面”,对立事件 概率公式: 1P AP A ,关于对立事件有几点说明: 公式的证明:因为,A A对立,所以AA,即,A A互斥,而AA ,所以 PP AAP AP A ,因为 1P ,从而 1P

4、 AP A 此公式也提供了求概率的一种思路:即如果直接求事件A的概率所讨论的情况较多时,可 以考虑先求其对立事件的概率,再利用公式求解 对立事件的相互性:事件B为事件A的对立事件,同时事件A也为事件B的对立事件 对立与互斥的关系:对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知: ,A B对立,则,A B一定互斥;反过来,如果,A B互斥,则不一定,A B对立(因为可能AB 不是必然事件) 4、独立事件与概率的乘法公式: (1)独立事件:如果事件A(或B)发生与否不影响事件B(或A)发生的概率,则称事 件A与事件B相互独立。例如投掷两枚骰子,设“第一个骰子的点数是 1”为事件A,“

5、第二个 骰子的点数是 2”为事件B,因为两个骰子的点数不会相互影响,所以,A B独立 (2)若,A B独立,则A与B,B与A,A与B也相互独立 (3)概率的乘法公式:若事件,A B独立,则,A B同时发生的概率 P ABP AP B , 比如在上面那个例子中, 11 , 66 P AP B,设“第一个骰子点数为 1,且第二个骰子点数 为 2”为事件C,则 1 36 P CP ABP AP B。 (4)独立重复试验:一项试验,只有两个结果。设其中一个结果为事件A(则另一个结果为 A) , 已知事件A发生的概率为p, 将该试验重复进行n次 (每次试验结果互不影响) , 则在n 次中事件A恰好发生k

6、次的概率为1 n k kk n PC pp 公式的说明:以“连续投掷3次硬币,每次正面向上的概率为 1 3 ”为例,设 i A为“第i次正面 向上”,由均匀的硬币可知 1 2 i P A,设B为“恰好 2 次正面向上”,则有: 123123123 P BP A A AP A A AP A A A 而 2 123123123 11 22 P A A AP A A AP A A A 223 2 2 3 1111 3 2222 P BC k n C的意义:是指在n次试验中事件A在哪k次发生的情况总数,例如在上面的例子中“3 次投掷硬币,两次正面向上”,其中 2 3 C代表了符合条件的不同情况总数共

7、3 种 5、条件概率及其乘法公式: (1)条件概率: (2)乘法公式:设事件,A B,则,A B同时发生的概率 |P ABP AP B A (3)计算条件概率的两种方法: (以计算|P B A为例) 计算出事件A发生的概率 P A和,A B同时发生的概率P AB,再利用 | P AB P B A P A 即可计算 按照条件概率的意义:即B在A条件下的概率为事件A发生后,事件B发生的概率。所 以以事件A发生后的事实为基础,直接计算事件B发生的概率 例:已知 6 张彩票中只有一张有奖,甲,乙先后抽取彩票且不放回,求在已知甲未中奖的情 况下,乙中奖的概率。 解: 方法一: 按照公式计算。 设事件A为

8、“甲未中奖”, 事件B为“乙中奖”, 所以可得: 5 6 P A , 事件AB为“甲未中奖且乙中奖”,则 11 51 2 6 1 6 CC P AB A 。所以 1 | 5 P AB P B A P A 方法二:按照条件概率实际意义:考虑甲在抽取彩票后没有中奖,则留给乙的情况是剩下的 五张彩票中有一张是有奖的,所以乙中奖的概率为 1 5 P 6、两种乘法公式的联系: 独立事件的交事件概率: P ABP AP B 含条件概率的交事件概率: |P ABP AP B A 通过公式不难看出,交事件的概率计算与乘法相关,且事件,A B通常存在顺承的关系, 即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出

9、这样的结论:交事件概率可通过乘法 进行计算,如果两个事件相互独立,则直接作概率的乘法,如果两个事件相互影响,则根据 题意分出事件发生的先后,用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率(即条件 概率) 二、典型例题: 例 1:从1,2,3,4,5这 5 个数中任取两数,其中:恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;至 少有一个是奇数和两个都是奇数;至少有一个是奇数和两个都是偶数;至少有一个是奇 数和至少有一个是偶数。上述事件中,是对立事件的是( ) A. B. C. D. 思路: 任取两数的所有可能为两个奇数; 一个奇数一个偶数; 两个偶数 , 若是对立事件, 则首先应该是互斥事件, 分别判断每种

10、情况: 两个事件不是互斥事件, “至少有一个奇数” 包含“两个都是奇数”的情况,所以不互斥, “至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶” 所以与“两个偶数”恰好对立, “至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的 情况,所以不互斥。综上所述,只有正确 答案:C 例 2:5 个射击选手击中目标的概率都是 2 3 ,若这 5 个选手同时射同一个目标,射击三次则至 少有一次五人全部集中目标的概率是( ) A. 3 5 1 1 3 B. 5 3 1 1 3 C. 3 5 2 11 3 D. 5 3 2 11 3 思路:所求中有“至少一次”,且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从

11、问题的对立面 入手,设所求事件为事件A,则A为“射击三次没有一次五人均命中目标”,考虑射击一次五 人没有全命中目标的概率为 5 2 1 3 ,所以 3 5 2 1 3 P A ,从而可得 3 5 2 111 3 P AP A 答案:C 例 3:甲,乙,丙三人独立的去译一个密码,分别译出的概率为 1 1 1 , , 5 3 4 ,则此密码能译出概 率是( ) A. 1 60 B. 1 5 C. 3 5 D. 59 60 思路:若要译出密码,则至少一个人译出即可。设事件A为“密码译出”,正面分析问题情况 较多,所以考虑利用对立面,A为“没有人译出密码”,则 1112 111 5435 P A ,从

12、而 3 1 5 P AP A 答案:C 例 4:某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问 题,即停止答题,晋级下一轮,假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的 回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率是_ 思路:因为选手回答 4 个问题就晋级下一轮,所以说明后两个回答结果正确,且第二次回答 错误(否则第二次与第三次连续正确,就直接晋级了) ,第一次回答正确错误均可。所以 2 1416 55125 P 答案: 16 125 例 5:掷 3 颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有 1 点的概率 思路:首先判断出所求

13、的为条件概率,即在 3 个数都不一样的前提下,含有 1 点的概率,设 事件A表示“含有 1 点的概率”,事件B为“掷出三个点数都不一样”,事件AB为“三个点数都 不一样且有一个点数为 1”,则有 12 35 3 5 618 C A P AB , 3 6 3 5 69 A P B ,所以由条件概率 公式可得: 1 | 2 P AB P A B P B 答案: 1 2 例 6:甲乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,比赛结束,甲胜出;若乙赢两局,比赛结 束,乙胜出。已知每一局甲,乙两人获胜的概率分别为 2 3 , 5 5 ,则甲胜出的概率为( ) A. 16 25 B. 18 25 C. 19 2

14、5 D. 21 25 思路:考虑甲胜出的情况包含两种情况,一种是甲第一局获胜,一种是甲第一局输了,第二 局获胜,设事件 i A为“甲在第i局获胜”,事件B为“甲胜出”,则 112 P BP AP A A, 依题意可得: 1 2 5 P A,两场比赛相互独立,所以 1212 3 26 5 525 P A AP AP A 从而 16 25 P B 答案:A 例 7: 如图, 元件1,2,3,4 i A i 通过电流的概率均为0.9, 且各元件是否通过电流相互独立, 则电流能在,M N之间通过的概率是( ) A. 0.729 B. 0.8829 C. 0.864 D. 0.9891 思路:先分析各元

15、件的作用,若要在,M N之间通过电流,则 4 A必须通过,且 12 ,A A这一组 与 3 A两条路至少通过一条。设A为“ 12 ,A A通过”,则 2 0.90.81P A ,设B为“ 3 A通过”, 0.9P B ,那么“至少通过一条”的概率 110.019PP ABP A P B ,从而 ,M N之间通过电流的概率为0.019 0.90.8829 答案:B 例 8:假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为1p,且各引擎是否有故障是独立的, 已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 引擎飞机要 2 个引擎全部 正常运行,飞机也可成功飞行;要使得 4 引擎飞机比

16、 2 引擎飞机更安全,则p的取值范围是 ( ) A. 2 ,1 3 B. 1 ,1 3 C. 2 0, 3 D. 1 0, 3 思路:所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高,所以只需计算两种引擎成功的概率即可,引擎 正常运行的概率为p,设事件A为“4 引擎飞机成功飞行”,事件 i A为“i个引擎正常运行”,可 知引擎运行符合独立重复试验模型,所以 4 4 1 i ii i P AC pp ,所以 3344 343444 1P AP AAP AP AC ppC p。 设事件B为“2 引擎飞机成功 飞行”,则 2 P Bp,依题意: P AP B,即 33442 44 1C ppC pp,进而解出

17、1 1 3 p 答案:B 例 9:从1,2,3,15中,甲,乙两人各任取一数(不重复) ,已知甲取到的是 5 的倍数,则甲 数大于乙数的概率是_ 思路一:本题涉及条件概率的问题, 设事件A为“甲取到的数比乙大”,事件B为“甲取到的数是 5 的倍数”,则所求概率为|P A B。若用公式求解,则需求出 ,P AB P B,事件AB即 为“甲取到了 5 的倍数且甲数大于乙数”, 由古典概型可计算出概率。 甲能够取得数为5,10,15, 当甲取 5 时,乙有 1 4 C种取法,当甲取 10 时,乙有 1 9 C种取法,当甲取 15 时,乙有 1 14 C种取法, 所以 111 4914 2 15 9

18、70 CCC P AB A ,因为 1 3 1 15 1 5 C P B C ,所以 9 | 14 P AB P A B P B 思路二:本题处理条件概率时也可从实际意义出发,甲取 5,10,15 对乙的影响不同,所以分情 况讨论。当甲取的是 5 时,甲能从 5 的倍数中取出 5 的概率是 1 3 ,此时乙从剩下 14 个数中可 取的只有 1,2,3,4,所以甲取出 5 且大于乙数的概率 1 14 3 14 P ,同理,甲取的是 10 时,乙可 取的由 9 个数,所以甲取出 10 且大于乙数概率为 2 19 3 14 P ,甲取的是 15 时,乙可取 14 个 数,所以甲取出 15 且大于乙数

19、的概率为 3 1 3 P ,所以甲取到的数是 5 的倍数后,甲数大于乙 数的概率为 123 9 14 PPPP 答案: 9 14 小炼有话说:本题两种处理条件概率的思路均可解决问题,但第二种方法要注意,所发生过 的只是甲取到 5 的倍数,但不知是哪个数,所以在分类讨论时还要乘上某个 5 的倍数能抽中 的概率。即所求问题转变为“已知抽到 5 的倍数后,抽到哪个 5 的倍数(具体分类讨论)且甲 数大于乙数的概率”。 例 10:甲袋中有 5 只白球,7 只红球;乙袋中由 4 只白球,2 只红球,从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,则取到白球的概率是_ 思路:本题取到白球需要两步:第一步先确定是甲袋还是乙袋,第二步再取球。所以本问题 实质上为“取到某袋且取出白球的概率”,因为取袋在前,取球在后,所以取球阶段白球的概率 受取袋的影响,为条件概率。设事件A为“取出甲袋”,事件B为“取出白球”,分两种情况进 行讨论。 若取出的是甲袋, 则 1 |PP AP B A, 依题意可得: 15 ,| 212 P AP B A, 所以 1 155 = 2 1224 P ;若取出的是乙袋,则 2 |PP AP B A,依题意可得: 142 ,| 263 P AP B A,所以 2 1 21 2 33 P ,综上所述,取到白球的概率 12 13 24 PPP 答案: 13 24

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