1、3.2函数与方程、不等式之间的关系一二三四知识点一、函数的零点1.思考(1)二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实根的条件是什么?提示:当0,即b2-4ac0时,二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根.(2)一次函数y=kx+m(k0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?提示:交点坐标为 ,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0的根.一二三四2.填空(1)定义:一般地,如果函数y=f(x)在实数处的值等于零,即f()=0,则叫做这个函数的零点.(2)性质:当函数的图像通过零点且穿过x轴时,函数值变号.两个零点把x轴分为三个区间,在每个区间上所有函
2、数值 保持同号.一二三四解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)有零点,若不存在,则f(x)无零点.答案:D 一二三四知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的联系1.思考(1)二次函数没有零点的等价说法是什么?提示:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0),当=b2-4ac0)一二三四3.做一做(1)已知-1是函数f(x)=+b(a0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()A.-1,1B.0,-1 C.1,0 D.2,1A.x|x3B.x|-4x3C.x|x-4或x3D.x|-4x3一二三四解析:(1)-1是f(x)=+b的一个
3、零点,b-a=0,即a=b.g(x)=ax2-bx=ax2-ax.g(x)的零点为0和1.(2)要使函数有意义,只需x2+x-120.方程x2+x-12=0的解为x1=-4,x2=3.函数y=x2+x-12的开口向上,且与x轴有两个交点(-4,0),(3,0).故原不等式的解集为x|x-4或x3.答案:(1)C(2)C一二三四知识点三、三、零点存在的判断方法及分类1.思考对于函数f(x),若满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内一定有零点吗?若f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)f(b)0一定成立吗?提示:对于函数f(x),若满足f(a)f(b)0,则f(x)在区间(a,
4、b)内不一定有零点,如图(1)所示;若函数f(x)在区间(a,b)内有零点,则不一定有f(a)f(b)0,如图(2)所示.一二三四2.填空(1)函数零点存在定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图像是连续不断的,并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即x0(a,b),f(x0)=0.(2)分类:一二三四3.做一做若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16),(0,8),(0,4),(0,2)上,则下列命题中正确的是()A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C.
5、函数f(x)在区间2,16)内无零点D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析:由题中条件易知函数f(x)的零点必在(0,2)内.故选C.答案:C一二三四知识点四、求函数零点的近似值的一种计算方法二分法1.填空:(1)二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)“二分法”求函数零点的一般步骤:已知函数y=f(x)定义在区间D上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤:在D内取一个闭区间a
6、0,b0D,使f(a0)与f(b0)异号,即f(a0)f(b0)0,零点位于区间a0,b0中.一二三四计算f(x0)和f(a0),并判断:如果f(x0)=0,则x0就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a0)f(x0)0,则零点位于区间x0,b0中,令a1=x0,b1=b0.计算f(x1)和f(a1),并判断:如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;如果f(a1)f(x1)0,则零点位于区间x1,b1上,令a2=x1,b2=b1;继续实施上述步骤,直到区间an,bn,函数的零点总位于区间an,bn上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间an,bn中的任何一个数都
7、可以作为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.一二三四2.思考用二分法能求函数f(x)=(x-3)2的零点的近似值吗?提示:不能.二分法是用来解决在闭区间上连续,且两端点函数值异号的函数的零点近似值的方法.函数f(x)=(x-3)2虽是连续的,但在它的定义域上的任何一个闭区间a,b内,都不满足f(a)f(b)0;(2)x2-4x+40;(3)-x2+2x-30.分析:根据一元二次不等式与对应二次方程和二次函数的关系及基本方法求解.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测解:(1)0,方程2x2-3x-2=0的根是x1=-,x2=2,不等式2x2-3x-20的解集为 .(2)=0,方程x2
8、-4x+4=0的根是x1=x2=2,不等式x2-4x+40的解集为x|x2.(3)原不等式可化为x2-2x+30,由于0,方程x2-2x+3=0无解,不等式-x2+2x-30的解集为R.(4)原不等式可化为3x2-5x+20;探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测判断函数的零点个数判断函数的零点个数例3(1)函数f(x)=ax2+bx+c满足ac0(因ac0,a0时,设f(x)=ax2-2x+1,方程ax2-2x+1=0的根,即函数f(x)的零点分别在区间(0,1),(1,2)内,探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测反思感悟解决根
9、的分布问题的一般步骤1.首先画出符合题意的草图,转化为函数问题.2.结合草图考虑三个方面:(1)与零的大小关系;(2)对称轴与所给端点值的关系;(3)端点的函数值与零的关系.3.写出由题意得到的不等式(组).4.由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测延伸探究延伸探究求证:方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.分析:可由函数零点的性质证明5x2-7x-1=0的两根分别位于(-1,0)和(1,2)内,即证明在(-1,0)和(1,2)内分别有一个零点.解:设f(x)=5x2-7x-1,则f(-1)f(0)=
10、11(-1)=-110,f(1)f(2)=(-3)5=-150.又二次函数f(x)=5x2-7x-1的图像是连续的,故f(x)在(-1,0)和(1,2)内分别有零点,即方程5x2-7x-1=0的根一个在区间(-1,0)内,另一个在区间(1,2)内.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测利用二分法求函数零点的近似值利用二分法求函数零点的近似值例5 借助计算器,用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正零点(精确到0.1).分析:本题利用二分法求函数近似零点的方法及步骤即可完成.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测反思感悟1.二
11、分法求函数零点近似值的一般步骤2.二分法应用时的注意事项(1)要选好计算的初始区间,这个区间既要包含函数的零点,又要使其长度尽量小.(2)在求解过程中,可借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小零点所在区间的长度.(3)根据给定的精确度,及时检验所取区间长度是否达到要求,以及时终止计算.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测答案:D 探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测二次函数的零点综合问题典例 已知二次函数f(x)=x2-(k-2)x+k2+3k+5.(1)当函数f(x)有两个不同零点时,求k的取值范围;(2)若-1和-3是函数的两个零点,求k的值;(3)若函数的两个不同零点是,求
12、2+2关于k的关系式h(k).思路点拨:本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质.本题中的函数f(x)是二次函数,因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为二次方程根的判断或根的性质.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测变式训练变式训练设函数f(x)=ax+2a+1(a0)在-1,1上存在一个零点,求实数a的取值范围.解:一次函数f(x)在-1,1上存在零点,f(-1)f(1)0.(-a+2a+1)(a+2a+1)0,即(3a+1)(a+1)0.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测1
13、.(多选)下列函数图像与x轴均有交点,其中能用二分法求函数零点的图像是()答案:ACD探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测2.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实根1,2,则实数f(x)=cx2+bx+a的零点为()解析:方程ax2+bx+c=0(a0)有两个实根1,2,答案:C 探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测3.不等式6x2+x-20的解集为.解析:因为6x2+x-20(2x-1)(3x+2)0,所以原不等式的解集为4.下面是连续函数f(x)在1,2上一些点的函数值:由此可判断:方程f(x)=0的一个近似解为.(精确到0.1)解析:由题中表格对应的数值
14、可得,函数零点一定在区间1.406 5,1.438上,由精确度可知近似解可为1.4.答案:1.4探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测5.(1)当m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.有且仅有一个零点?有两个不同零点且均比-1大?(2)若函数F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.解:(1)若函数f(x)=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点,则等价于=4m2-4(3m+4)=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1.探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测探究一探究二探究三探究四探究五规范解答当堂检测(2)若F(x)=|4x-x2|+a有4个零点,即|4x-x2|+a=0有四个根,即|4x-x2|=-a有四个根.令g(x)=|4x-x2|,h(x)=-a.则作出g(x)的图像,如下图所示.由图像可知要使|4x-x2|=-a有四个根,则需g(x)的图像与h(x)的图像有四个交点,所以0-a4,即-4a0.
