1、第六章一次函数1函数 第一页，共31页。一、函数概念的构建一、函数概念的构建探究：一辆汽车以探究：一辆汽车以60 km/h60 km/h的速度的速度(sd)(sd)匀速行驶，行驶里程为匀速行驶，行驶里程为s kms km，行驶时间为，行驶时间为t h.t h.请同学们根据题意填写下表：请同学们根据题意填写下表：t/ht/h1 12 23 34 45 5s/kms/km第二页，共31页。试用含试用含t t的式子表示的式子表示s._ s._【归纳】从计算结果完全可以看出，每给出一个【归纳】从计算结果完全可以看出，每给出一个t t的值，都有的值，都有_的一个的一个s s的值与其对应，所以在这两个变量
2、中，的值与其对应，所以在这两个变量中，_是自变是自变量，量，_是因变量是因变量.【点拨【点拨(din bo)(din bo)】对于两个变量】对于两个变量s s与与t t，实际上满足，实际上满足s=60ts=60t，每给出一个，每给出一个t t的值，就相应地有一个的值，就相应地有一个s s的值与它对应的值与它对应.s=60ts=60t惟一惟一(wiy)(wiy)t ts s第三页，共31页。二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)的概念的概念1.1.一般地，在某个变化过程中，有两个变量一般地，在某个变化过程中，有两个变量x x和和y.y.如果给定一如果给定一个个x x值，相应地就值，相应地就_，
3、那么我们称，那么我们称y y是是x x的函数的函数(hnsh).(hnsh).其其中中_是自变量，是自变量，_是因变量是因变量.2.2.对于两个变量之间的函数对于两个变量之间的函数(hnsh)(hnsh)关系，可以采用不同的表示方法，关系，可以采用不同的表示方法，从本节课的例题、课堂练习中可以大致地归纳出三种，分别从本节课的例题、课堂练习中可以大致地归纳出三种，分别是：是：_、_、_._.确定确定(qudng)(qudng)了一个了一个y y值值x xy y图象图象(t(t xixi n)n)法法列表法列表法关系式法关系式法第四页，共31页。【点拨】函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变
4、量之间【点拨】函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，且是一种特殊(tsh)(tsh)的对应关系，必须是的对应关系，必须是“对于对于x x的的每一个值，每一个值，y y都有惟一的值与之对应都有惟一的值与之对应”.第五页，共31页。【预习思考】【预习思考】每上每上6 6个台阶就升高个台阶就升高1m1m，上升高度，上升高度h(m)h(m)与上台阶数与上台阶数m(m(个个)之间的之间的函数关系是什么函数关系是什么(shn me)(shn me)？提示：提示：h=.h=.理由：因为每上理由：因为每上6 6个台阶就升高个台阶就升高1m1m，那么上，那么上m
5、m个台阶，就上升个台阶，就上升 m m，所以上升高度，所以上升高度h(m)h(m)与上台阶数与上台阶数m(m(个个)之间的函数关系是之间的函数关系是h=.h=.m6m6m6第六页，共31页。知识点知识点1 1 函数的概念函数的概念【例【例1 1】下列问题中的两个变量是否是函数关系？】下列问题中的两个变量是否是函数关系？(1)(1)平行四边形的面积平行四边形的面积S S和它的一边长和它的一边长x x的关系的关系.(2)(2)等腰三角形顶角等腰三角形顶角(dn jio)(dn jio)的度数的度数y y与一个底角的度数与一个底角的度数x x的关系的关系.第七页，共31页。【解题探究】【解题探究】(
6、1)(1)设边长为设边长为x x的边上的高为的边上的高为h h，则该平行四边形，则该平行四边形的面积的面积(min j)(min j)可表示为可表示为_._.由上可知其存在由上可知其存在_个变量，所以个变量，所以S S与与x x之间之间_函数关系函数关系.(2)(2)等腰三角形的底角为等腰三角形的底角为x x，那么它的顶角为，那么它的顶角为_._.则顶角则顶角y y与底角与底角x x之间的关系可表示为之间的关系可表示为_._.由上可知其存在由上可知其存在_个变量，所以个变量，所以y y与与x x之间之间_函数关系函数关系.S=hxS=hx不是不是(b(b shi)shi)180180-2x-2
7、xy=180y=180-2x-2x两两三三是是第八页，共31页。【规律总结】【规律总结】理解函数概念的理解函数概念的“三二一三二一”1.1.三个部分：函数的概念由三部分组成：三个部分：函数的概念由三部分组成：“两个变量两个变量”“”“给定一个给定一个x x值值”“”“相应地确定一个相应地确定一个y y值值”.2.2.两个变量：判断两个变量：判断(pndun)(pndun)两个变量是否有函数关系不仅是看它们之间是两个变量是否有函数关系不仅是看它们之间是否有关系式存在，更重要地看对于否有关系式存在，更重要地看对于x x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y y是否有惟一确定是否有惟一确定的值与它对
8、应的值与它对应.3.3.一一对应：函数不是数，它是指某一个变化过程中两个变量之间的关系一一对应：函数不是数，它是指某一个变化过程中两个变量之间的关系.第九页，共31页。【跟踪训练】【跟踪训练】1.1.下列各表达式不是表示下列各表达式不是表示y y与与x x的函数关系的是的函数关系的是()(A)y=3x2(A)y=3x2(B)y=10 x(B)y=10 x(C)y=(C)y=x(x0)x(x0)(D)y=3x+1(D)y=3x+1【解析【解析(ji x)(ji x)】选】选C.C.选项选项A A，B B，D D对于对于x x的每一个取值，的每一个取值，y y都有惟一都有惟一确定的值与之对应，符合
9、函数的定义；选项确定的值与之对应，符合函数的定义；选项C C中，中，y=y=x(x0)x(x0)对于对于x x的每一个取值，的每一个取值，y y有两个值与之对应，不符合函数的定义，故不是函有两个值与之对应，不符合函数的定义，故不是函数数.第十页，共31页。2.2.周长为周长为10cm10cm的长方形的一边长为的长方形的一边长为acmacm，则这个长方形的面积，则这个长方形的面积S(cm2)S(cm2)与与a(cm)a(cm)之间的函数关系式是之间的函数关系式是_，其中自变量是，其中自变量是_，_是是_的函数的函数.【解析【解析(ji x)(ji x)】由题意可得该长方形的另一边长为】由题意可得
10、该长方形的另一边长为(5-a)cm(5-a)cm，所以，所以长方形的面积长方形的面积S=a(5-a)S=a(5-a)，则，则S S随随a a的变化而变化，所以的变化而变化，所以a a是自变量，是自变量，S S是是a a的函数的函数.答案：答案：S=a(5-a)S=a(5-a)a aS Sa a第十一页，共31页。3.3.如表是某报纸公布的世界人口总数统计及预测情况：如表是某报纸公布的世界人口总数统计及预测情况：(1)(1)表中有几个表中有几个(j)(j)变量？变量？(2)(2)你能将其中某个变量看作是另一个变量的函数吗？你能将其中某个变量看作是另一个变量的函数吗？(3)(3)如果用如果用x x
11、表示年份，表示年份，y y表示世界人口总数，那么随着表示世界人口总数，那么随着x x的变化，的变化，y y的变的变化趋势是怎样的？化趋势是怎样的？年份年份195719571974197419871987199919992010201020252025世界人口总数世界人口总数3030亿亿4040亿亿5050亿亿6060亿亿7070亿亿8080亿亿第十二页，共31页。【解析】【解析】(1)(1)表中有两个变量，一个是年份，另一个是世界人口总数表中有两个变量，一个是年份，另一个是世界人口总数.(2)(2)世界人口总数是年份的函数世界人口总数是年份的函数(hnsh).(hnsh).(3)(3)随着随着
12、x x的增加，的增加，y y所对应的值在增大所对应的值在增大.第十三页，共31页。知识点知识点2 2 慧眼识图慧眼识图【例【例2 2】(8(8分分)小明同学骑自行车去郊外春游，小明同学骑自行车去郊外春游，如图表示如图表示(biosh)(biosh)他离家的距离他离家的距离y(km)y(km)与所用的时间与所用的时间x(h)x(h)之间关系的函数图象之间关系的函数图象.(1)(1)根据图象回答：小明到达离家最远的根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？地方需几小时？此时离家多远？(2)(2)小明出发两个半小时离家多远？小明出发两个半小时离家多远？(3)(3)小明出发多长时间离
13、家小明出发多长时间离家12km12km？第十四页，共31页。【规范解答】【规范解答】(1)(1)由图象可知小明到达离家最远的地方需由图象可知小明到达离家最远的地方需3 3小时，此时小时，此时(c sh)(c sh)离家离家_km.2_km.2分分(2)(2)小明出发小明出发2h2h时，离家时，离家_km._km.由于在由于在CDCD段小明走的路程为段小明走的路程为_km_km，时间为，时间为_h_h，故小明这一段的速度为故小明这一段的速度为_=15(km/h)_=15(km/h)，所以所以15150.5=7.5(km)0.5=7.5(km)，所以，所以7.5+15=22.5(km).7.5+1
14、5=22.5(km).所以小明出发两个半小时离家所以小明出发两个半小时离家22.5km.422.5km.4分分3030151515151 115151 1第十五页，共31页。(3)(3)由图象由图象(t xin)(t xin)可以看出小明从出发到距离家可以看出小明从出发到距离家_km_km有两个时刻，有两个时刻，一是在一是在ABAB段，二是在段，二是在_段，故分两种情况：段，故分两种情况：因为小明从出发到出发因为小明从出发到出发1h1h时，匀速前行，其速度为时，匀速前行，其速度为_=15(km/h)_=15(km/h)，所以所以121215=0.8(h)15=0.8(h)，0.8h=48min
15、.60.8h=48min.6分分因为小明出发因为小明出发4h4h后返回，后返回，所以返回时速度为所以返回时速度为_=15(km/h)_=15(km/h)，所以所以(30-12)(30-12)15=1.2(h)15=1.2(h)，1.2h=1h12min.1.2h=1h12min.所以所以4h+1h12min=5h12min.4h+1h12min=5h12min.故小明出发故小明出发48min48min和出发和出发5h12min5h12min时离家都为时离家都为12km.812km.8分分 1212EFEF15151 130302 2第十六页，共31页。【互动探究】例【互动探究】例2 2中两坐标
16、轴所代表的量的含义是什么？中两坐标轴所代表的量的含义是什么？提示提示(tsh)(tsh)：横轴代表的是时间，单位是小时；纵轴代表的是小明离家的：横轴代表的是时间，单位是小时；纵轴代表的是小明离家的距离，单位是千米距离，单位是千米.第十七页，共31页。【规律总结】【规律总结】解决函数图象问题三要点解决函数图象问题三要点1.1.弄清坐标轴分别表示的具体数量弄清坐标轴分别表示的具体数量.2.2.确定图象上起止点所表示的意义确定图象上起止点所表示的意义(yy).(yy).3.3.弄清图象的变化趋势与倾斜程度弄清图象的变化趋势与倾斜程度.第十八页，共31页。【跟踪训练【跟踪训练(xnlin)(xnlin
17、)】4.(20124.(2012日照中考日照中考)某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程连续过程(工作前洗衣机内无水工作前洗衣机内无水)，在这三个过程中洗衣机内水量，在这三个过程中洗衣机内水量y(L)y(L)与时与时间间x(min)x(min)之间的函数关系对应的图象大致为之间的函数关系对应的图象大致为()【解析】选【解析】选D.D.注水、清洗、排水三个连续过程中，洗衣机内水量注水时是注水、清洗、排水三个连续过程中，洗衣机内水量注水时是逐渐增多，洗衣时水量保持不变，排水时水量渐渐减少，所以只有选项逐渐增多，洗衣时水量保持不变，排水时
18、水量渐渐减少，所以只有选项D D中中图象符合要求图象符合要求.第十九页，共31页。【高手支招】从实际问题抽象出数学模型，再利用数学知识解决实【高手支招】从实际问题抽象出数学模型，再利用数学知识解决实际问题，这种思想叫做数学建模思想际问题，这种思想叫做数学建模思想.通过建模，利用各种平面图形通过建模，利用各种平面图形(txng)(txng)的面积公式、立体图形的面积公式、立体图形(txng)(txng)的体积公式、利用各种不的体积公式、利用各种不变的量及等量关系，抽象成数学问题，是解决此类问题的关键变的量及等量关系，抽象成数学问题，是解决此类问题的关键.第二十页，共31页。5.(20125.(2
19、012黑河中考黑河中考)一天晚饭后，小明陪一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步妈妈从家里出去散步(s(s n b)n b)，如图描述了他们散，如图描述了他们散步过程中离家的距离步过程中离家的距离s(m)s(m)与散步与散步(s(s n b)n b)时间时间t(min)t(min)之间的函数关系，下面的描述符合他们散之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是步情景的是()(A)(A)从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了(B)(B)从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后
20、回家了段，然后回家了第二十一页，共31页。(C)(C)从家出发，一直散步从家出发，一直散步(没有停留没有停留)，然后回家了，然后回家了(D)(D)从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，前走了一段，18min18min后开始返回后开始返回【解析】选【解析】选D.AD.A的图象应为梯形，错误；的图象应为梯形，错误；B B描述不准确，错误；描述不准确，错误；C C图形图形(txng)(txng)为上升和下降的两条折线，错误；为上升和下降的两条折线，错误；D D符合图象的特点，正确符合图象的特点，正确.第二十二页
21、，共31页。6.6.如图所示的各曲线中表示如图所示的各曲线中表示(biosh)y(biosh)y是是x x的函数的是的函数的是_(_(写写出所有满足条件的序号出所有满足条件的序号).).第二十三页，共31页。【解析】根据【解析】根据“在某个变化过程中，有两个变量在某个变化过程中，有两个变量x x和和y y，如果给定，如果给定一个一个x x值，相应地就确定了一个值，相应地就确定了一个y y值，那么值，那么y y是是x x的函数的函数”，图，图(1)(2)(3)(1)(2)(3)满足上述条件，图满足上述条件，图(4)(4)不满足，图不满足，图(4)(4)中中x x每取一个值有每取一个值有两个两个y
22、 y值与其对应值与其对应(duyng).(duyng).答案：答案：(1)(2)(3)(1)(2)(3)第二十四页，共31页。1.1.骆驼被称为骆驼被称为“沙漠之舟沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，它的体温随时间的变化而变化.在这一问题在这一问题(wnt)(wnt)中，自变量是中，自变量是()(A)(A)沙漠沙漠(B)(B)体温体温(C)(C)时间时间(D)(D)骆驼骆驼【解析】选【解析】选C.C.骆驼的体温随时间的变化而变化，所以自变量是时间骆驼的体温随时间的变化而变化，所以自变量是时间.第二十五页，共31页。2.(20122.(2012武汉中考武汉中考)甲、乙两人在直线甲、乙两人在直
23、线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步步500m500m，先到终点的人原地休息，先到终点的人原地休息.已知已知甲先出发甲先出发2s.2s.在跑步过程中，甲、乙两在跑步过程中，甲、乙两人的距离人的距离s(m)s(m)与乙出发的时间与乙出发的时间t(s)t(s)之间的关系如图所示，给出以下结论之间的关系如图所示，给出以下结论(jiln)(jiln)：a=8a=8；b=92b=92；c=123.c=123.其中正确的是其中正确的是()(A)(A)(B)(B)仅有仅有(C)(C)仅有仅有(D)(D)仅有仅有第二十六页，共31页。【解析】选【解析】选A.A.因为乙出发时
24、甲行了因为乙出发时甲行了2s2s，相距，相距8m8m，所以甲的速度为所以甲的速度为8 82=4(m/s)2=4(m/s)，因为因为100s100s后乙开始休息，后乙开始休息，所以乙的速度是所以乙的速度是500500100=5m/s100=5m/s，因为因为asas后甲乙相遇，后甲乙相遇，所以所以a=8a=8(5-4)=8(s)(5-4)=8(s)，即，即正确，正确，100s100s后乙到达终点后乙到达终点(zhngdin)(zhngdin)，甲跑了，甲跑了4 4(100+2)=408(m)(100+2)=408(m)，所以所以b=500-408=92(m)b=500-408=92(m)，即，即
25、正确，正确，甲跑到终点甲跑到终点(zhngdin)(zhngdin)一共需耗时一共需耗时5005004=125s4=125s，所以所以c=125-2=123sc=125-2=123s，即，即正确正确.第二十七页，共31页。3.3.一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形波一石激起千层浪，一枚石头投入水中，会在水面上激起一圈圈圆形波纹纹(这些波纹都是圆且圆的圆心相同这些波纹都是圆且圆的圆心相同).).(1)(1)如果圆的半径如果圆的半径(b(b njng)njng)为为r r，面积为，面积为S S，则，则S S与与r r之间的关系式是之间的关系式是_._.(2)(2)当圆的半径
26、当圆的半径(b(b njng)njng)由由1cm1cm增加到增加到5cm5cm时，面积增加了时，面积增加了_cm2._cm2.【解析】【解析】(1)(1)根据圆的面积公式，如果圆的半径根据圆的面积公式，如果圆的半径(b(b njng)njng)为为r r，面积为，面积为S S，则则S S与与r r之间的关系式是之间的关系式是S=r2.S=r2.(2)(2)当圆的半径当圆的半径(b(b njng)njng)由由1cm1cm增加到增加到5cm5cm时，面积增加了时，面积增加了24cm2.24cm2.答案：答案：(1)S=r2(1)S=r2(2)24(2)24第二十八页，共31页。4.4.某水果某
27、水果(shugu)(shugu)批发市场香蕉的价格如下表：批发市场香蕉的价格如下表：若小强购买香蕉若小强购买香蕉xkg(xxkg(x大于大于40kg)40kg)付了付了y y元，则元，则y y关于关于x x的函数关系的函数关系式为式为_._.【解析】因为【解析】因为x40 x40，此时每千克香蕉，此时每千克香蕉6 6元，元，所以所以y=6x(x40).y=6x(x40).答案：答案：y=6x(x40)y=6x(x40)购买数购买数(kg)(kg)不超过不超过20kg20kg20kg20kg以上以上但不超过但不超过40kg40kg40kg40kg以上以上每千克价格每千克价格8 8元元7 7元元6
28、 6元元第二十九页，共31页。5.5.某学校进行往返跑比赛，张佳某学校进行往返跑比赛，张佳同学去时以每秒同学去时以每秒6m6m的平均速度跑的平均速度跑完，回来时以每秒完，回来时以每秒5m5m的速度跑回的速度跑回起点，时间与速度的变化如图起点，时间与速度的变化如图.(1)(1)张佳共跑了多长时间？张佳共跑了多长时间？(2)(2)哪些时段保持匀速？速度分别是多少？哪些时段保持匀速？速度分别是多少？(3)(3)试写出她在跑步过程试写出她在跑步过程(guchng)(guchng)中和起点之间的距离中和起点之间的距离s(m)s(m)与时间与时间t(s)t(s)之之间的关系式间的关系式.第三十页，共31页。【解析【解析(ji x)(ji x)】(1)(1)从图中可以看出张佳共跑了从图中可以看出张佳共跑了22s.22s.(2)(2)在在0s0s10s10s和和10s10s22s22s间保持匀速，速度分别为间保持匀速，速度分别为6m/s6m/s和和5m/s.5m/s.(3)(3)在在0s0s10s10s之间之间s=6ts=6t；在；在10s10s22s22s之间之间s=60-5(t-10)=110-5t.s=60-5(t-10)=110-5t.第三十一页，共31页。
