1、上课：1.3.2-球的体积与表面积 面积面积体积体积圆柱圆柱 S侧侧 圆锥圆锥 S侧侧圆台圆台 S侧侧 2rhrl(r1r2)l柱、锥、台的侧面积和体积柱、锥、台的侧面积和体积 面积面积体积体积直棱柱直棱柱 S侧侧正棱锥正棱锥 S侧侧正棱台正棱台 S侧侧球球 S球面球面？V=球是一个旋转体，它也有表面积和体积，球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容的内容.一、球的体积一、球的体积h1、曹冲称象法、曹冲称象法测小球的体积测小球的体积 h h h h h h hH 可是，这种方法怎么测量地球的体积？谁能告诉我？
2、2、球的体积公式球的体积公式334RV定理定理:半径是半径是R的球的体积是的球的体积是从球的结构特征可知，球的大小是其半径所确定的。OABCRR 定理定理 半径是半径是 的球的表面积：的球的表面积：R24SR 球的表面积是大球的表面积是大圆面积的圆面积的4倍倍R二、二、球的表面积球的表面积 三、球的内切、外接问题定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体，这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的外接球外接球 定义定义2：若一个圆锥的：若一个圆锥的顶点和底面所在的圆顶点和底面所在
3、的圆都在一个球的球都在一个球的球面上面上，则称这个圆锥是这个球的，则称这个圆锥是这个球的内接圆锥内接圆锥，这个球是这个圆锥的这个球是这个圆锥的外接球外接球 定义定义3：若一个圆柱的上下：若一个圆柱的上下底面所在的圆底面所在的圆都在一个球的球面都在一个球的球面上上，则称这个圆柱是这个球的，则称这个圆柱是这个球的内接圆柱内接圆柱，这个球是这个圆柱的这个球是这个圆柱的外接球外接球 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要
4、运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.定义定义4：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体，这个球是这个多面体的这个球是这个多面体的内切球内切球 定义定义5：若一个圆柱（锥）的：若一个圆柱（锥）的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切，则称这个圆柱（锥）是这个球的则称这个圆柱（锥）是这个球的外切外切圆柱锥）圆柱锥），这个球是这个圆柱（锥）的这个球是这个圆柱（锥）的内切球内切球 例例1.1
5、.如图如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：求证：(1)(1)球的体积等于圆柱体积的，球的体积等于圆柱体积的，(2)(2)球的表面积等于圆柱的侧面积。球的表面积等于圆柱的侧面积。分析：由题可得：球内切于圆柱作圆柱的轴截面（如图）证明证明:(1):(1)设球的半径为设球的半径为R,R,则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R2R。.34,3VR球2322.VRRR圆柱23VV球圆柱24SR球（2），2224SRRR圆柱侧SS球圆柱侧 一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体一个球与它的外切等边圆锥（圆锥的轴截面为正三角形）的体
6、积之比为（积之比为（）(A)25 (B)12 (A)25 (B)12 (C)23 (D)49(C)23 (D)49O OBA1OAB1OR 思考题：已知圆锥的底面半径是其内切球的半径的 倍，求二者体积的比3O OCBA1OABC1OORr 例例2、若正方体的棱长为、若正方体的棱长为a，求：，求：正方体的内切球的体积正方体的内切球的体积正方体的内切球直径=正方体棱长3314()=326aaV 正方体的外接球的体积A1AC1CO对角面对角面ABCDD1C1B1A1O球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。332433()=322aaV 23Ra 2a 与正方体所有棱都相
7、切的球的体积与正方体所有棱都相切的球的体积22Ra球与正方体的各棱的切点恰是每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面333222,2422()=323Ra RaaaV ABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方正方形形的对角线等于球的直径的对角线等于球的直径224=2SR 乙乙球内切于正方体的棱球内切于正方体的棱22,Ra333222,2422()=323Ra RaaaV .O 1、甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为()A.1:2:3 B.C.
8、D.1:2:31:8:27331:4:9A球的外切正方体的棱长等于球直径：球的外切正方体的棱长等于球直径：224=2乙SR 正方体的面对角线等于球的直径正方体的面对角线等于球的直径球内切于正方体的棱时球内切于正方体的棱时22Ra球的内接正方体的体对角线等于球直径：球的内接正方体的体对角线等于球直径：234=3SR 丙丙23Ra2Ra224=甲SR 解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为a 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。球，所以它的体对角线正好为球的直径。结论（结论（1）长方体的外接球的球心是体对角线的交
9、点，半长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半径是体对角线的一半222abc（2）设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则对角线长为333233422222164216)3(23)2(RVRSRR且对角线长球的直径等于长方体的长方体内接于球解：2、球的内接长方体的长、宽、高分别为球的内接长方体的长、宽、高分别为 3、2 ,求此球体的表面积和体积求此球体的表面积和体积 变式题变式题1、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为为4，体积为，体积为16，则这个球的表面积为（，则这个球的表面积为（）A.B.C.D.16202432C2 2、表面积为
10、、表面积为324324的球，其内接正四棱柱的高是的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积。求这个正四棱柱的表面积。解：设球半径为解：设球半径为R,正四棱柱底正四棱柱底面边长为面边长为a,14,2,AAACa 24324,9.RR228 2ACACCC8a 64 232 14576S 表面积AACO 3 3、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面、半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ,求球求球的表面积和体积。的表面积和体积。6解：作轴截面如图所示，解：作轴截面如图所示，6,CC 262 3AC 设球半径为设球半径为
11、R,R,则则:222ROOCC22(6)(3)93R2436SR球34363VR球CACODCBADAOOOCBA COA SB1O例3、求棱长为1的正四面体外接球的体积1OO解：设底面正 ABC的中心为，正四面体的外接球的球心为11OOOC OC球心为 在高 S 上，连接，133=,33OCAC则221163SOSCOC1116,3Rt OOCOOSORR OCR中22263+=33RR由勾股定理得（）（）66=48RV球解得，22D ABC1D1C1B1A1 解法解法2：如图如图,将正四面体放置将正四面体放置在在棱长为棱长为 的正方体中，的正方体中，则则A1、C1、B、D是棱长为是棱长为1
12、的的正四面体的顶点。正四面体的顶点。所以正方体的外接球也是正四面所以正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为体的外接球，此时球的直径为2262334466=R=()3348V球求正多面体外接球的半径求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径求正方体外接球的半径 探究探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球的的问题。问题：如果一个正四面体的各棱都与一个球相切，那么是否也可以借助正方体来解决？即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC1D1C1B1A11BACDOO观察正四面体，若球 与其各棱都相切，那么球 与正方体是什么关系？与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球结论:(1)
13、正四面体的外接球即为正方体的外接球，(2)与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，此两球的球心都在正方体的中心，在正四面体的高的一个靠近面的四等分点上 例例4、若正四面体的棱长都为、若正四面体的棱长都为6，内有一球与四个面，内有一球与四个面都相切，求球的表面积都相切，求球的表面积E EO O1 1P PO OD DC CB BA A246Sr球故RtPEO1RtPO D由由1,rPODOPD得122113,3 32 6,2 6,632336D OPDPOPD D OPOraaa，解：作出过一条侧棱解：作出过一条侧棱PC和高和高PO的截面，的截面，则截面三角形则截面三角形PDC的边的边PD是
14、斜高，是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结相切，连结EO，设球半径为，设球半径为r，6,2r 解得 解法解法2：连结：连结OA、OB、OC、OP，那么，那么E EO O1 1P PO OD DC CB BA A4P ABCO PABO PBCO PC AO ABCO ABCVVVVVV11,3P ABCABCVSPO因11,3O ABCABCVSOO14Or所以P162 6,.2Or易求P所以246Sr球故 探究探究我们可以利用正方体解决正四面体的外接球及和正四面体的各棱都相切的球的问题。一个正四面体的各棱都与一个球相切，则该球就是正方体
15、的内切球即正四面体的外接球即为正方体的外接球。DABC1D1C1B1A正四面体的内切球能否利用正方体解决？2,2aa将 棱 长 为的 正 四 面 体 放 置 在 正 方 体 中则 正 方 体 的 棱 长 为即正四面体的外接球即为正方体的外接64Ra则正四面体的外接球即正方体的外接球的半径为612a则正四面体的内切球的半径为1663(,)123362a rrP OrraD O P Daa13故正四面体的内切球的半径是其外接球的半径的，且它们有共同的球心即为正方体的中心（1）正四面体的外接球即正方体的外接球，正四面体的内切球，与正四面体各棱都相切的球即是正方体的内切球，这三个球的球心都在正方体的中
16、心，又是正四面体的高的一个靠近面的四等分点 6344Ra则正四面体的外接球的半径为（即高的）63,aa(2)设正四面体的棱长为 则其高为61124a则正四面体的内切球的半径为（即高的）与正四面体各棱都相切的球的半径为24a 1、正三棱锥的高为、正三棱锥的高为 1，底面边长为，底面边长为 ,求棱锥的全面求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。积和它的内切球的表面积。62解：解：过侧棱过侧棱AB与球心与球心O作截面作截面(如图如图),AE切圆切圆O于于F在正三棱锥中，在正三棱锥中，BE 是正是正BCD的高，的高，O1 是正是正BCD的中心，且的中心，且AE 为斜高为斜高62BC 21 EO3AE 且且
17、 26243362213S 全全9 26 3设内切球半径为设内切球半径为 r，则，则 OA=1 r123rr26 r 6258S球球1O1ABEO CDF 2.2.三棱锥三棱锥PABCPABC的三条侧棱互相垂直，且的三条侧棱互相垂直，且PA=1PA=1，PB=2PB=2，PC=3PC=3，则该三棱锥的外接球的半径等于，则该三棱锥的外接球的半径等于_._.例例5 5、在球内有相距在球内有相距1cm1cm的两个平行截面，截面面的两个平行截面，截面面积分别是积分别是5cm5cm2 2和和8cm8cm2 2，球心不在截面之间，球心不在截面之间，求球的表面积求球的表面积.思路点拨：思路点拨：由截面面积可
18、求出截面圆的半径，两由截面面积可求出截面圆的半径，两截面相距截面相距1cm1cm，可求出球的半径，可先画出图形，可求出球的半径，可先画出图形，再把问题平面化再把问题平面化.OB1C2C1A2A1B2B1A2A2B1B1C2CO 1212CCrr令上下两个截面圆的圆心分别为、，半径分别为、222211225588rrrr由得，由得22211112222222,5,8Rt OC AOCRrRRt OC AOCRrR在中在中22122,581OCOCRR 22258 18=1RRR 即，两边平方得22=9=4=36RSR球解得，1A2A2B1B1C2C 1.1.用与球心距离为用与球心距离为1 1的平
19、面去截球，所得的截面面积为的平面去截球，所得的截面面积为,则球的体积为则球的体积为()()【解析】【解析】选选C.C.设球的半径为设球的半径为R R，则截面圆的半径为，则截面圆的半径为 所以截面圆的面积所以截面圆的面积球的体积球的体积 故选故选C.C.88 232A.8 2C.D.333 B B .2R1,222S(R1)(R1)348 2V=R=332R2R2 2.2.已知过球面上已知过球面上A A,B B,C C 三点的截面和三点的截面和球心的距离球心的距离为球半径的一半，且为球半径的一半，且ABAB=BCBC=CACA=2,=2,求球的表面积求球的表面积.C B A O O解解:设截面圆
20、心为设截面圆心为OO,连结连结OAOA,设球半径为设球半径为R.R.则则:232 32323O A Rt O OA在中，222OAO AO O2222 31()34RR43R26449SR 思考题思考题在球内有相距在球内有相距2cm2cm的两个平行截面，截面面积的两个平行截面，截面面积分别是分别是5cm5cm2 2和和8cm8cm2 2，球心在截面之间，球心在截面之间，求球的表面积求球的表面积.O1C2C1A2A2A1A2C1CO 1212CCrr令上下两个截面圆的圆心分别为、，半径分别为、222211225588rrrr由得，由得22211112222222,5,8Rt OC AOCRrRR
21、t OC AOCRrR在中在中22121,582OCOCRR 22215288=4RRR 即，两边平方得2129=16R解得，2A1A2C1CO2129=4=4SR球 正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S、A、B、C、D都在同一球面上，其该球的体积2 课外探究课外探究DACBSO C A S DB1OO 34球V解:设正四棱锥的底面中心为 ，外接球的球心为O，如图所示.由球的截面的性质，可得球心O必在 所在的直线上.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.连接OC1O111221,1,1,1(1)1Rt OOCOCOOSORR OCRRRROO 在中，解得，与重合 C A S DB1OO此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
