1、一元一次方程一元一次方程主讲：刘文峰主讲：刘文峰专题分析专题分析?方程是中学数学中最重要的内容最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧?用等号连结两个代数式的式子叫等式如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的?如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式条件等式也称为方程使方程成立的未知数的值叫作方程的解方程的解的集合，叫作方程的解集解方程就是求出方程的解集?只含有一个未知
2、数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)?解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解?一元一次方程一元一次方程 ax=b 的解由的解由 a，b 的取值来确的取值来确定：定：?(1)若a0，则方程有唯一解；?(2)若 a=0，且 b=0，方程变为 0 x=0，则方程有无数多个解；?(3)若 a=0，且 b0，方程变为 02 x=b，则 方程无解?例例 1、解方程解方程111233264
3、344xxxx轾骣犏琪-=+琪犏桫臌?解法 一：?从里到外逐级去括号去小括号得：?11 313326 4644xxx轾-+-=+犏犏臌11133283644xxx-+-=+373894xx-=+337849xx-=+555836x-=229x=-?解法 二?按照分配律由外及里去括号去中括号得：1112332624344xxxx骣琪-+-=+琪桫1113324362xxx+-=+555836x-=229x=-?例 2、已知下面两个方程3(x+2)=5x，?4x-3(a-x)=6x-7(a-x)?有相同的解，试求 a 的值。?分析：本题解题思路是从方程中求出 x 的值，代入方程，求出 a 的值?解
4、：解：由方程可求得 3x-5x=-6，?所以 x=3由已知，x=3 也是方程的解，根据方程解的定义，把 x=3 代入方程时，应有43-3(a-3)=63-7(a-3)，?7(a-3)-3(a-3)=18-12，?所以4a=18,?a=29?例 3、已知方程 2(x+1)=3(x-1)的解为 a+2，求方程?22(x+3)-3(x-a)=3a 的解?解：由方程 2(x+1)=3(x-1)?解得x=5?由题设知 a+2=5，?所以a=3?于是有：?22(x+3)-3(x-3)=3 3，?即-2x=-21，212x=?例 4、解关于 x 的方程?(mx-n)(m+n)=0?分析：这个方程中未知数是x
5、，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n 取不同值时，方程解的情况?解：把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，?整理得m(m+n)x=n(m+n)?当m+n0且m0时，方程有唯一解?当当 m+n0，且 m=0 时，方程无解；?当 m+n=0 时，方程的解为一切实数?说明：含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论nxm=?例例 5、解方程解方程?分析：分析：本题将方程中的括号去掉后产生x 项，但整理化简后，可以消去x，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程?解、将原方程整理化简得：()222ababxab
6、a b-=-+若 a-b0，即 ab，即 a=-b 时，方程无解；若a-b=0，即 a=b，方程有无数多个解方程有唯一解?例例 6、已知(m-1)x-(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，求代数式 199(m+x)(x-2m)+m 的值?解解：因为(m -1)x -(m+1)x+8=0 是关于 x 的一元一次方程，?所以m -1=0，即 m=1?(1)当 m=1 时，方程变为-2x+8=0，?因此 x=4，?代数式的值为：?199(1+4)(4-21)+1=1991；?(2)当 m=-1 时，原方程无解?所以所求代数式的值为 1991?例 7、?已知关于 x 的方程 a(2x-1)
7、=3x-2 无解，?试求 a 的值?解：将原方程变形为：2ax-a=3x-2，?即(2a-3)x=a-2?由已知该方程无解，?所以2a-3=0且a-20,?解得a=23?例 8、k为何正数时，方程 k x-k =2kx-5k 的解是正数？?分析：当方程ax=b有唯一解时，此解的正负由不得a、b来确定：?(1)若 b=0 时，方程的解是零；反之，若方程 ax=b 的解是零，则 b=0 成立?(2)若 ab0 时，则方程的解是正数；反之，若方程 ax=b 的解是正数，则 ab0 成立?(3)若 ab0 时，则方程的解是负数；反之，若方程 ax=b 的解是负数，则 ab0 成立?解：解：按未知数 x
8、 整理方程得(k2-2k)x=k2-5k?要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)0?看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)?因为 k20，?所以，只要 k5 或 k2且k0时，上式大于零，?所以，当 k2且k0 或 k5 时，原方程的解是正数，所以 k5 或 0k2 即为所求bxa=?例 9、若 abc=1，解方程2221111axbxcxababcbcac+=+?解：因为 abc=1，所以原方程可变形为222111axbxcxab a abcbcbca c+=+2(1)2111bxcxbc bca c+=+2(1)211bxcxbc b abcca
9、 c+=+2(1)21(1)bxbcxb ca c+=+2()1(1)x b abc bcb ca c+=+12x=说明：像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化?例 10、若 a，b，c 是正数，解方程3x abxbcx cacab-+=?解法解法 1?原方程两边乘以 abc，得到方程?ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc?移项、合并同类项得?abx-(a+b+c)+bcx-(a+b+c)+acx-(a+b+c)=0，?因此有x-(a+b+c)(ab+bc+ac)=0?因为 a0，b0，c0，?所以 ab+bc+ac0，所以
10、x-(a+b+c)=0，?即 x=a+b+c 为原方程的解?解法 2?将原方程右边的 3 移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到1x a bx a b ccc-=1x b cxa b caa-=1x caxa b cbb-=设 m=a+b+c，则原方程变形为0 xm xm x mcab-+=111()0 xmcab骣琪-+=琪桫因为a,b,c是正数，所以x-m=0,即x-(a+b+c)=0所以 x=a+b+c 为原方程的解说明：注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一?例 11、设 n 为自然数，x表示不超过 x 的最大整数，解
11、方程：?x+2x+3x+4x+nx=?分析 要解此方程，必须先去掉要解此方程，必须先去掉，由于，由于 n 是自然数，所以 n 与(n+1)中必须有一个是偶数，因此?是整数，因为x是整数，是整数，2x,3x,nx都是整数，所以x必须是整数。22(1)2n n+22(1)2nn+?例 12、已知关于 x 的方程?且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值5814225x ax-=+练习?1解下列方程：?(1)?(2)?(3)0.40.950.020.030.520.03xxx+-=11(1)21314x+-=111116412345x禳 轾 骣镲犏 琪-+=睚琪犏镲桫臌铪?2解下列关于 x 的方程：?(1)、a (x-2)-3a=x+1；?(2)?(3)32132xabax b+-=2x bx aab-=-?3.a为何值时，方程有无数多个解？无解？?4当 k 取何值时，关于 x 的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于 1 的解1(12)326xxax+=-
