1、5.5.2 5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换教学目标（重点）01（重点、难点）02（重点、难点）03学科素养数学抽象直观想象 半角公式公式的推导逻辑推理求值，求角，化简数学运算数据分析数学建模01Retrospective Knowledgecoscoscossinsincoscoscossinsinsinsincoscos sinsinsincoscos sintantantan1 tantantantantan1 tantan22cos2cossinsin22sincos22tantan21 tan2cos22cos12cos21 2sin 02Exquisite Know
2、ledge 学习了和（差）角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.2tan,2cos,2sincos7222表示】试用【例，得代替，以代替，以在倍角公式的二倍角是【解析】22sin212cos.22，2sin21cos2）（所以1.2cos12sin2，得代替，以代替，以在倍角公式221cos22cos2，12cos2cos2）（所以22cos12cos2.cos1cos12tan)2)(1(2别相除，可得两个等式的左右两边分将2cos12sin22cos12cos2cos1cos12tan22cos12sin2cos12cos
3、cos1cos12tan2sin21cos212cos2cos2例7的结果还可以表示为：半角公式注：符号由 所在的象限决定.2 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式这是三角恒等变换的一个重要特点11 sincossinsin;2 sinsin2sincos.222（）（）sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(cossin2)sin()sin(两式相加：)sin()sin(21cossin）可得证明：由（
4、12-2，则，设代入上式，即可得2-cos2sin2sinsin【例8】求证：)sin()sin(21cossin证明：因为03Expansion And Promotion.5】求下列各式的值【例;cos10523sin105212）（;cos1522sin15221）（;cos15sin1533）（45sin15cos45cos15sin【解析】原式.2360sin)4515sin(60sin105cos60cos105sin【解析】原式.2245sin)60105sin()2115cos2315(sin2【解析】原式.245sin2)3015sin(2)30sin15cos30cos15
5、(sin2.)sin(6的形式】把下列各式化成【例xA;cossin1xx）（;cossin33xx）（;cos3sin2xx）（)22cos22(sin2)1(xx原式【解析】)4sincos4cos(sin2xx)23cos21(sin2)2(xx原式)3sincos3cos(sin2xx)4sin(2x)3sin(2x)21cos23(sin2)3(xx原式)6sincos6cos(sin2xx)6sin(2x)0,0(,cossinbaxbxa对于xbxacossin)cossin(222222xbabxbaaba)sincoscos(sin22xxba)incos(2222babsb
6、aa，其中)sin(22xba)tan(ab 其中).tan(22abbaA，其中的形式，都可以化成化成)sin(xA【例9】求下列函数的周期，最大值和最小值：；xxycos3sin)1(.cos4sin3)2(xxy)cos23sin212)1(xx（原式【解析】)cos3sinsin3cos2xx（)3sin(2x.222cos3sin，最小值，最大值为周期为因此，函数xxy)cos54sin53(5)2(xx原式【解析】)cossinsin(cos5xx)sin(5x)34tan(其中.552cos4sin3，最小值，最大值为的周期为因此，函数xxy【例10】如图1，已知OPQ是半径为1
7、，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记POC，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积ABCDOQP，中，【解析】在sincosBCOBOBCRt，中，在360tanOADAOADRt，所以sin333333BCDAOA，sin33cosOAOBAB，的面积为设矩形SABCD32sin33cossin22cos1332sin21sin)sin33(cosBCABS则【例10】如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记POC，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积ABCDOQP
8、3，得由65626,30时，即所以当6262.333331最大S.636面积最大，最大面积为时，矩形因此，当DABC63)2cos212sin23(31S63)62sin(233104Sum Up2cos12sin22cos12cos2cos1cos12tan222cos2cossinsin22sincos22tantan21 tan22=1 2sin2cos1.tan)sin(cossinabxAxbxa，其中);3sin(2cos3sinxxx);6sin(2cossin3xxx);4sin(2cossinxxx05Homework After Class.2cos2sin36027031cos.1的值和，试求，且已知.23cos3cossin.22的周期和最值求函数xxxy
