1、5.5.2 5.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换教学目标(重点)01(重点、难点)02(重点、难点)03学科素养数学抽象直观想象 半角公式公式的推导逻辑推理求值,求角,化简数学运算数据分析数学建模01Retrospective Knowledgecoscoscossinsincoscoscossinsinsinsincoscos sinsinsincoscos sintantantan1 tantantantantan1 tantan22cos2cossinsin22sincos22tantan21 tan2cos22cos12cos21 2sin 02Exquisite Know
2、ledge 学习了和(差)角公式、二倍角公式以后,我们就有了进行三角恒等变换的新工具,从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.2tan,2cos,2sincos7222表示】试用【例,得代替,以代替,以在倍角公式的二倍角是【解析】22sin212cos.22,2sin21cos2)(所以1.2cos12sin2,得代替,以代替,以在倍角公式221cos22cos2,12cos2cos2)(所以22cos12cos2.cos1cos12tan)2)(1(2别相除,可得两个等式的左右两边分将2cos12sin22cos12cos2cos1cos12tan22cos12sin2cos12cos
3、cos1cos12tan2sin21cos212cos2cos2例7的结果还可以表示为:半角公式注:符号由 所在的象限决定.2 因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会存在所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,所以进行三角恒等变换时,常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择适当的公式这是三角恒等变换的一个重要特点11 sincossinsin;2 sinsin2sincos.222()()sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(cossin2)sin()sin(两式相加:)sin()sin(21cossin)可得证明:由(
4、12-2,则,设代入上式,即可得2-cos2sin2sinsin【例8】求证:)sin()sin(21cossin证明:因为03Expansion And Promotion.5】求下列各式的值【例;cos10523sin105212)(;cos1522sin15221)(;cos15sin1533)(45sin15cos45cos15sin【解析】原式.2360sin)4515sin(60sin105cos60cos105sin【解析】原式.2245sin)60105sin()2115cos2315(sin2【解析】原式.245sin2)3015sin(2)30sin15cos30cos15
5、(sin2.)sin(6的形式】把下列各式化成【例xA;cossin1xx)(;cossin33xx)(;cos3sin2xx)()22cos22(sin2)1(xx原式【解析】)4sincos4cos(sin2xx)23cos21(sin2)2(xx原式)3sincos3cos(sin2xx)4sin(2x)3sin(2x)21cos23(sin2)3(xx原式)6sincos6cos(sin2xx)6sin(2x)0,0(,cossinbaxbxa对于xbxacossin)cossin(222222xbabxbaaba)sincoscos(sin22xxba)incos(2222babsb
6、aa,其中)sin(22xba)tan(ab 其中).tan(22abbaA,其中的形式,都可以化成化成)sin(xA【例9】求下列函数的周期,最大值和最小值:;xxycos3sin)1(.cos4sin3)2(xxy)cos23sin212)1(xx(原式【解析】)cos3sinsin3cos2xx()3sin(2x.222cos3sin,最小值,最大值为周期为因此,函数xxy)cos54sin53(5)2(xx原式【解析】)cossinsin(cos5xx)sin(5x)34tan(其中.552cos4sin3,最小值,最大值为的周期为因此,函数xxy【例10】如图1,已知OPQ是半径为1
7、,圆心角为 的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形记POC,求当角取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积ABCDOQP,中,【解析】在sincosBCOBOBCRt,中,在360tanOADAOADRt,所以sin333333BCDAOA,sin33cosOAOBAB,的面积为设矩形SABCD32sin33cossin22cos1332sin21sin)sin33(cosBCABS则【例10】如图1,已知OPQ是半径为1,圆心角为 的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形记POC,求当角取何值时,矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积ABCDOQP
8、3,得由65626,30时,即所以当6262.333331最大S.636面积最大,最大面积为时,矩形因此,当DABC63)2cos212sin23(31S63)62sin(233104Sum Up2cos12sin22cos12cos2cos1cos12tan222cos2cossinsin22sincos22tantan21 tan22=1 2sin2cos1.tan)sin(cossinabxAxbxa,其中);3sin(2cos3sinxxx);6sin(2cossin3xxx);4sin(2cossinxxx05Homework After Class.2cos2sin36027031cos.1的值和,试求,且已知.23cos3cossin.22的周期和最值求函数xxxy