1、第2章 三角形2.1 三角形观察 观察下图，找一找图中的三角形，并把它们勾画出来.你还能举出一些实例吗？不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.三角形可用符号“”来表示，如图中的三角形可记作“ABC”，读作“三角形ABC”.其中，点A，B，C叫作ABC 的顶点；A，B，C叫作ABC 的内角（简称ABC 的角）；线段AB，BC，CA叫作ABC 的边.通常A，B，C 的对边BC，AC，AB可分别用a，b，c来表示.在三角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有的三边都相等.两条边相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另外一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和
2、底边的夹角叫作底角.腰腰底边顶角底角 底角 三边都相等的三角形叫作等边三角形（或正三角形）.等边三角形是特殊的等腰三角形腰和底边相等的等腰三角形.在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度之间有怎样的大小关系？为什么？动脑筋 在ABC中，BC是连接B，C两点的一条线段，由基本事实“两点之间，线段最短”可得 AB+AC BC.同理可得 AB+BC AC，AC+BC AB.结论三角形的任意两边之和大于第三边.一般地，我们可以得出：做一做 有三根木棒，其长度分别为2 cm，3 cm，6 cm，它们能否首尾相接构成一个三角形？举例例1 如图，D是ABC的边AC上一点，AD=BD，试判断AC与BC的大小
3、.解 在BDC 中，有BD+DC BC（三角形的任意两边之和大于第三边）.又 AD=BD，所以BD+DC=AD+DC=AC，所以 AC BC.练习1.（1）如图，图中有几个三角形？把它们分别表示出来.答：五个三角形.（2）如图，在DBC 中，写出D 的对边，BD 边的对角.答：D的对边是BC，BD边的对角是BCD.2.三根长分别为2 cm，5 cm，6 cm的小木棒能首尾相接构成一个三角形吗？答：能.从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.如图，AHBC，垂足为点H，则线段AH是ABC的BC边上的高.如图，试画出图中ABC的BC边上的
4、高.做一做 D 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.如图，BAD=CAD，则线段AD是ABC的一条角平分线.在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.如图，BE=EC，则线段AE是ABC的BC边上的中线.任意画一个三角形，画出三边上的中线.你发现了什么？做一做EFDEFD 事实上，三角形的三条中线相交于一点.我们把这三条中线的交点叫作三角形的重心.如图，ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，则点G为ABC的重心.G举例例2 如图，AD是ABC的中线，AE是ABC的高.（1）图中共有几个三角形？请分别列举出来.
5、解（1）图中有6个三角形，它们分别是：ABD，ADE，AEC，ABE，ADC，ABC.（2）其中哪些三角形的面积相等？解：因为AD是ABC的中线，所以BD=DC.因为AE是ABC的高，也是ABD和ADC的高，所以SABD=SADC.又1=2ABDSBD AE，1=2ADCSDC AE，练习1.利用三角尺（或直尺）、量角器任意画出一个三角形，并画出其中一条边上的中线、高以及这条边所对的角的平分线.2.如图，AD是ABC的高，DE是ADB的中线，BF是EBD的角平分线，根据已知条件填空：1 1 2 21 3 2 ()()；()()；()().ADB=BE=DBF=ADC90AEABEBFDBE动脑
6、筋 在小学，我们通过对一个三角形进行折叠、剪拼等操作（如图），知道三角形的内角和是180，你能说出这些方法的原理吗？上述两种操作都是将三角形的三个内角拼到一起构成一个平角.结论三角形的内角和等于180.举例例3 在ABC中，A的度数是B的度数的3倍，C 比B 大15，求A，B，C的度数.解：设B为x，则A为(3x)，C为(x+15)，从而有3x+x+(x+15)=180.解得x=33.所以3x=99，x+15=48.答：A，B，C的度数分别为99，33，48.议一议 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？三角形的内角和等于180，因此最多有一个直角或一个钝角.三角形中，三个角
7、都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形.锐角三角形直角三角形钝角三角形 直角三角形可用符号“Rt”来表示，例如直角三角形ABC可以记作“RtABC”.在直角三角形中，夹直角的两边叫作直角边，直角的对边叫作斜边.两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.如图，把ABC的一边BC延长，得到ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.对外角ACD来说，ACB是与它相邻的内角，A，B是与它不相邻的内角.D 探究 在图中，外角ACD和与它不相邻的内角A，B之间有什么大小关系？我觉得可以利用“三角形的内角和等于
8、180”的结论.因为ACD+ACB=180，A+B+ACB=180，所以ACD-A-B=0（等量减等量，差相等），于是ACD=A+B.结论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.练习1.填空：（1）在ABC中，A=60，B=C，则B=；（2）在ABC中，A-B=50，C-B=40，则B=.60302.如图，AD是ABC的角平分线，B=36，C=76，求DAC的度数.答：DAC的度数是34.3.如图，CAD=100，B=30，求C 的度数.答：C的度数是70.第2章 三角形2.2 命题与证明1.学会判断命题的真假2.掌握如何证明命题 引入三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外
9、角.我们前面学习了许多有关三角形的概念，如：不在同一直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫三角形.像这样，对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规定的语句叫作这个概念的定义.例如：“把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式”是“代数式”的定义.“同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线”是“平行线”的定义.下列叙述事情的语句，哪些是对事情作出了判断？一般地，对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.如上述语句中,（1）（2）（3）都是命题，（4）（5）没有对事情作出判断，不是命题.观察下列命题的表述形式有什么共同点？（1）如果a=b且b=c，那么a=c；（2）如果两个角的和等于
10、90，那么这两个角互为余角.它们的表述形式都是“如果，那么”.命题通常写成“如果，那么”的形式，其中“如果”引出的部分就是条件，“那么”引出的部分就是结论.例如，对于上述命题（2），“两个角的和等于90”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.有时为了叙述的简便，命题也可以省略关联词“如果”、“那么”.做一做（1）指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果，那么”的形式：命题条件结论能被2整除的数是偶数有公共顶点的两个角是对顶角两直线平行，同位角相等同位角相等，两直线平行那么这个数是偶数如果一个数能被2整除那么这两个角是对顶角如果两个角有公共顶点那么它们的同位角相等如果两条直线平行那么这两条直线
11、平行 如果两个同位角相等（2）上述命题与的条件与结论之间有什么联系？两直线平行，同位角相等.同位角相等，两直线平行.命题与的条件与结论互换了位置.例如，上述命题与就是互逆命题.从以上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.1.下列语句，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间，线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形的三条中线都相交于一点吗？（1）如果x=3，求 的值；3 2xx-2.将下列命题改写成“如果，那么”的形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是5的整数一定能被5整除；（3）互为相反数
12、的两个数之和等于0；（4）三角形的一个外角大于它的任何一个内角.3.写出下列命题的逆命题：（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；（2）如果m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等的三角形是等腰三角形.4.在下列空格上填写适当的概念：（1）垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 .（2）在数轴上，表示一个实数的点与原点的距离叫作这个实数的 .垂直平分线绝对值议一议 下列命题，哪些是正确的，哪些是错误的？说一说你的理由.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误错误错误正确上面五个命题，命题(4)是正
13、确的，命题(1)(2)(3)都是错误的.我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等.（4）同角的补角相等.结论（1）如果a是整数，那么a是有理数；解:如果a是整数，根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”,得出a是实数.因此命题(1)为真（2）如果a是有理数，那么a是整数.解:0.5是有理数，因此命题(2)为假但是0.5不是整数.像此例的第(1)题那样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证明.像此例的第(2)题那样，找出一个例子，它符合命题的条件
14、，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.判断下列命题为真命题是根据什么呢？分别根据有理数、等腰（等边）三角形的定义作出判断（1）如果a是整数，那么a是有理数；（2）如果三角形ABC是等边三角形，那么它是等腰三角形 从上面的例子看到，在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的，那么除了根据定义外，还能根据什么来推理，去判断命题的真假呢？数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的基本事实 有些命题可以从公理或其
15、他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的.古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.欧几里得本书中，我们把少数真命题作为基本事实.例如，两点确定一条直线；两点之间线段最短；经 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.我们把经过证明为真的命题叫
16、作定理.例如，“三角形的内角和等于180”称为“三角形内角和定理”.定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.例如，“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形的外角定理”.当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.例如，“如果1和2是对顶角，那么1=2”是真命题，但它的逆命题“如果1=2，那么1和2是对顶角”就是假命题.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.我们前面学过的定理中就有互逆的定理.例如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错
17、角相等”是互逆的定理.采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360，但不能很准确地都得360 另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.证明命题“三角形的外角和为360”是真命题.动脑筋 已知：如图，BAF，CBD和ACE 分别是ABC的三个外角.求证BAF+
18、CBD+ACE=360.证明:BAF=2+3，BAF+CBD+ACE=2(1+2+3).CBD=1+3，ACE=1+2（三角形外角定理），1+2+3=180(三角形内角和定理)，BAF+CBD+ACE=2180=360.经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？（1）根据题意，画出图形.（2）结合图形，写出已知、求证.（3）写出证明过程，并且步步有依据.依据(定义)(定理)(推论)(基本事实)（真命题）条件结论 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.证明的每一步都必须
19、要有根据.推理例1 已知：如图，在ABC中，B=C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分DAC.求证：AEBC.证明：DAC=B+C（三角形外角定理）,B=C（已知）,DAC=2B（等式的性质）.又AE平分DAC（已知）,DAC=2DAE（角平分线的定义）,DAE=B（等量代换）,AEBC（同位角相等，两直线平行）.例2 已知：A，B，C是ABC 的内角.求证：A，B，C 中至少有一个角大于或等于60.分析 这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”“有两个”“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很烦琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明：假设A，B，C 中没有一个角大
20、于或等 于60,即A60，B60，C60，则A+B+C180.这与“三角形的内角和等于180”矛盾，所以假设不正确.因此，A，B，C中至少有一个角大于或等于60.像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.反证法的步骤：假设结论的反面成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确2.已知：如图，直线AB，CD 被直线 MN 所截，1=2.求证：2=3，3+4=180.证明：1=2，2=3（两
21、直线平行,内错角相等）,3+4=180（两直线平行,同旁内角互补）.ABCD（同位角相等，两直线平行）.3.已知：如图，AB与CD 相交于点E.求证：A+C=B+D.证明：AB与CD 相交于点E，AEC=BED（对顶角相等）.又A+C+AEC=B+D+BED=180（三角形内角和等于180），A+C=B+D.4.已知：如图,有a、b、c三条直线，且a/c,b/c.求证：a/b.Aabc证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A.那么过点A 就有两条直线a、b分别与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾,故假设不成立.a/b.证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
22、第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程根据题意根据命题的条件和结论，结合图形通过分析，找出证明的途径第2章 三角形2.3 等腰三角形 我们前面已经学习了三角形的一些性质，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊的性质呢？探究 任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图.作ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射，由于1=2，AB=AC，因此：D1 2ABABBAD射线AB 的像是射线AC，射线AC 的像是射线 ；线段AB 的像是线段AC，线段AC 的像是线段 ；点B 的像是点C，点C 的像是点 ；线段BC 的像是线段CB.从而等腰三角形ABC关于直线
23、对称.由于点D 的像是点D，因此线段DB 的像是线段 ，从而AD是底边BC上的 .由于射线DB的像是射线DC，射线DA的像是射线 ，因此BDA CDA=，从而AD是底边BC上的 .由于射线BA的像是射线CA，射线BC的像是射线 ，因此B C.DC中线DA=90高CB=结论由此得到等腰三角形的性质定理：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).结论 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称为“三线合一”).动脑筋因为ABC是等边三角形，所以AB=BC=AC，从而C=A=B.由三角形内角和定理可得：A=B=C=60.如图，ABC是等
24、边三角形，那么A，B，C 的大小之间有什么关系呢？由此得到等边三角形的如下性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60.结论 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线.例1 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E 在边BC上，且AD=AE.求证：BD=CE.举例证明:作AFBC，垂足为点F，则AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边上的高，也是底边上的中线.BF=CF，BF-DF=CF-EF，DF=EF，即 BD=CE.F 如图的三角测平架中，AB=AC，在BC 的中点D 挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好
25、在铅垂线上.（1）AD与BC是否垂直，试说明理由.（2）这时BC处于水平位置，为什么？议一议练习1.如图，在ABC 中，AB=AC，AD为BC 边上的高，BAC=49，BC=4，求BAD 的度数及DC的长.答：BAD=24.5，DC=2.2.如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一点，且APD=80，AD=AP，求DPC的度数.答：DPC=20.我们知道，等腰三角形的两底角相等，反过来，两个角相等的三角形是等腰三角形吗？探究 如图，在ABC 中，如果B=C，那么AB与AC之间有什么关系吗？我测量后发现AB与AC相等.3cm3cm事实上，如图，在ABC中，B=C.沿过点A的直线把BAC 对折，得
26、BAC 的平分线AD 交BC 于点D，则1=2.又B=C，由三角形内角和定理得ADB=ADC.D12沿AD所在直线折叠，由于ADB=ADC，1=2，所以射线DB与射线DC 重合，射线AB与射线AC 重合.从而点B与点C 重合，于是AB=AC.结论有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).结论三个角都是60的三角形是等边三角形.由此并且结合三角形内角和定理，还可以得到等边三角形的判定定理：例2 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，点D，E 分别是AB，AC上的点，且DEBC.求证：ADE为等腰三角形.举例证明 AB=AC，B=C.又 DEBC，ADE=B，AED=C.ADE=AE
27、D.于是ADE为等腰三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？动脑筋如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形内角和定理,得 A+B+C=180.如果顶角A=60，那么B+C=180-60=120.又 AB=AC，B=C.B=C=A=60.ABC是等边三角形.由此得到另一条等边三角形的判定定理：由此得到另一条等边三角形的判定定理：结论结论有一个角是有一个角是6060的等腰三角形是等边三的等腰三角形是等边三角形角形例3 已知：如图，ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.求证：ADE是等边三角形.举例证明 ABC是等边三角形，BAC=B=C=
28、60.EAD=BAC=60，又 AD=AE，ADE是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）.练习1.已知：等腰三角形ABC的底角ABC和 ACB的平分线相交于点O.求证：OBC为等腰三角形.ABCDEO证明ABC 和ACB 的平分线相交于点O，ABD=DBC=，ACE=ECB=，12ABC12ACB DBC=ECB，OBC是等腰三角形.又 ABC是等腰三角形，ABC=ACB，ABCDEO2.已知：如图，CD平分ACB，AEDC，AE交BC的延长线于点E，且ACE=60.求证：ACE是等边三角形.证明:CD平分ACB，在ACE中，CAE=180-E-ACE=60,又ACE=60，B
29、CD=E=60，ACD=DCB.ACD=DCB=60.又 AEDC，CAE=ACE=E=60,ACE是等边三角形.3.已知：如图，AB=BC，CDE=120，DFBA，且DF平分CDE.求证：ABC是等边三角形.证明:AB=BC，ABC是等边三角形.又CDE=120，DF平分CDE.FDC=ABC=60，ABC是等腰三角形.EDF=FDC=60.又DFBA，中考 试题例1 一个等腰三角形两边长分别是2 cm和5 cm，则这个三角形的周长为（）A.9 cm B.12 cm C.9 cm或12 cm D.14 cmB解析 另一边长为2 cm或5 cm，2，2，5不符合三角形三边关系定理，周长为5+
30、5+2=12（cm）.中考 试题例2 若等腰三角形中有一个角等于50，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A.50 B.80 C.65或50 D.50或80解析 因为50可作为等腰三角形的一顶角或一底角，故选D.D指出下列图形中的轴对称图形，并画出它们的对称轴。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）怎样做出一条线段的垂直平分线？2.过点E、F作直线。1.分别以点A、B为圆心，大于AB21长为半径，画弧 交于点E、F；测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离 已知，如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MNAB,P是MN上任意一点.求证：.PBPA 线段垂直平分线上的点与线段两端的距离
31、相等。线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，在四边形ABCD中，直线AC垂直平分BD于点O.（1）图中有多少对全等三 角形，请把它们写出来；（2）任选（1）中一对全等 三角形加以证明.1、如图，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）AED=CD BDAC=B CC 2B DB+ADE=902、如图，在ABC中，BC的中垂线交斜边AB于点D，图中相等的线段有（）A、1组 B、2组 C、3组D、4组 3、已知，如图，y轴垂直平分线段BC，点A在y轴上，点B、C 在x轴上。（1）若点C的坐标为（3，0），则点B的坐标是_；（2）若点B的坐标为（m，0），则点C的坐标是_。4、
32、已知如图，DE是ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC8，BC5，则BEC的周长为_。5、公路l同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站到A、B两村距离相等，你如何确定停靠站C的位置。你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。已知：如图，DE、DF分别是ABD和ACD的高，DEDF。求证：AD垂直平分EF。一个方法证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。两条定理线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。三种
33、作图折纸过中点作垂线 尺规作图法第2章 三角形2.5 全等三角形能够完全重合的两个图形叫做全等图形。下列同一类的图形有什么特点？下面各组图形是不是全等图形？为什么？（1）（2）（3）边长都是10 cm的两个正方形。（4）半径相等的两个圆。两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的对应顶点，如A与D,互相重合的边叫做全等三角形的对应边，如AB与DE。互相重合的角叫做全等三角形的对应角，如A与D。FEDCBA能够重合的两个三角形叫做全等三角形。“全等”可用“”来表示，如ABCABC和DEFDEF全等，记做“ABCABCDEFDEF”，读做“三角形ABCABC全等于三角形DEF”DEF”
34、。注意 表示两个三角形全等时，通常把 对应顶点的字母写在对应位置上。FEDCBACBAEFD已知图中的两个三角形全等，请你找出它们的对应角和对应边，并用符号表示这两个三角形全等。如图，已知OCAOBD，请说出它们的对应边和对应角。ODCBA对应边：CO和BO，对应角：A和D，C和B，COA和BOD。AO和DO。CA和BD，答案：AB=CD，AD=CB，BD=DB练一练：请找出右图中对应的边.ABCDABD CDB1、已知：ABCDEABC AED2、已知：请找出右图中对应的角.答案：ACBADEEBAA,ABCDE3、已知：ABC DCE请找出图中对应的顶点.答案:A与D，B与C，C与E.寻找
35、对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；（5）两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；两个全等三角形的位置变化了，对应边、对应角的大小有变化吗？由此你能得到什么结论？全等三角形的对应边相等，对应角相等。ABC DFE,AB=DF,BC=FE,AC=DE（）,A=D,B=F,C=E （）.全等三角形的性质全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等CBAD1 2例题 如图,AD平分BAC,AB=AC.ABD和ACD全等吗?BD与CD相等吗?B与C呢?请说
36、明理由.，平分解BACAD重合。与射线对折时，射线因此将图形沿ABACAD.21，ACAB CBACDABD点 与点 重合，也就是说与重合,ABDACD.1、能够的两个图形叫全等形；2、两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做；互相重合的边叫做 ；互相重合的角叫做 ；3、全等三角形的对应边，对应角 ；完全重合对应顶点对应边对应角相等相等小结4、记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在 ；例如ABC DFE，对应顶点分别是 .5、两个三角形全等时，对应顶点所在的角是，对应边所对的角是 ，对应角所对的边是 。对应位置点A和点D、点B和点F、点C和点E对应角对应角对应边 2.5 全等三角形（
37、2）三角形全等的判定定理（SAS）(2)三条边(1)三个角(3)两边一角(4)两角一边 当两个三角形满足六个条件的三个时，有四种情况:不能!?继续探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图二在图一中，A是AB和AC的夹角，符合图一的条件，它可称为“两边及其夹角”。符合图二的条件，通常说成“两边和其中一边的对角”探究 在纸上的不同位置分别画一个三角形,它的一个角为50,夹这个角的两边分别为2cm,2.5cm.将这两个三角形叠在一起,它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？探究 (1)ABC 和ABC 的位置关
38、系如图2-38.图2-38ABC在ABC 和ABC中,ABC=ABC,AB=AB,BC=BC.探究(2)ABC和ABC 的位置关系如图2-39.图2-39在ABC和ABC 中,ABC=ABC,AB=AB,BC=BC.探究(3)ABC和ABC 的位置关系如图2-40.图2-40在ABC和ABC 中,ABC=ABC,AB=AB,BC=BC.探究(4)ABC和ABC 的位置关系如图2-41.图2-41CABA（B）（C）在ABC和ABC 中,ABC=ABC,AB=AB,BC=BC.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(可简写成“边角边”或“SAS”).结论注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三
39、角形 不一定全等.(即没有“边边角”或“SSA”这种判定定理).例2 已知：如图2-42,AB和CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO.求证：ACO BDO.“边角边”图图2-42举例证明：在ACO和BDO中,AO=BO,AOC=BOD（对顶角相等）,CO=DO,ACO BDO（SAS）.（3）全等三角形的判定 SSS1掌握三角形全等的“边边边”定理2了解三角形的稳定性3经历探索三角形全等条件的过程，体会利用“边边边”定理操作、归纳、获得数学结论的过程 AB=DE BC=EF CA=FD A=D B=E C=FABCDEF 1、什么叫全等三角形？能够重合的两个三角形叫 全等三角形。2、全等三
40、角形有什么性质？ABCDEFAB=DE CA=FD BC=EF A=D B=E C=F1.满足这六个条件可以保证ABC DEF吗？2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证ABC DEF吗?思考：三角；三边；两边一角；两角一边。3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？探索三角形全等的条件已知两个三角形的三个内角分别为30，60，90，它们一定全等吗？这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等三个角已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm。它们一定全等吗？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm三条边问题：把你画的三角形与其他同学所画的三角形进行比较，它们
41、能够互相重合吗？三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）探索三角形全等的条件证明：BD=CE，BD-ED=CE-ED，即BE=CD。CABDE在AEB和ADC中，AB=AC，AE=AD，BE=CD，AEB ADC (sss)。例 如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEB ADC 当堂测试如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF.求证：ADECBF；A=C.ADBCFEADECBF,A=C.证明:点E,F分别是AB,CD的中点AE=AB,CF=CD.AB=CD,AE=CF,在ADE与CBF中,AE=CF,AD
42、=CB,DE=BF,1212全等三角形的判定AAS两边分别相等且其一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等3cm2.5cm2.5cm3cm4545两角一夹边(ASA)两角一对边(AAS)?引入新课学习 目标1掌握三角形全等的“角角边”定理2能根据条件选择合适的判定方法进行推理论证.在ABC与DEF中，AB=DE,A=D,C=F.CAB预习反馈CAB角角边定理:两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等(AAS).在ABC与DEF中，AB=DE,A=D,C=F.ABCDEF（AAS）预习反馈全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法边角边SAS有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
43、角边角ASA角角边AAS有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角分别相等及其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等 第2章 三角形2.6 用尺规作三角形你已经学会用尺规作哪些图形？动手试一试.说一说 会作一条线段等于已知线段，会作线段的垂直平分线，根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边，都可以确定唯一的一个三角形，从而我们可以根据这些条件用尺规来作三角形.已知三边作三角形.已知线段a，b，c.求作ABC，使AB=c，BC=a，AC=b.已知底边及底边上的高线作等腰三角形.如图，已知线段a，h.求作ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.分析 首先作出该等腰三
44、角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段来确定三角形另一个顶点.如何作一个角的平分线？如图，已知AOB，求作AOB的平分线.做一做 运用所学知识，请说一说：为什么OC是AOB的平分线？1.如图，一个机器零件上的两个孔的中心A，B已定好，又知第三个孔的中心C 距A点1.5m，距B点1.8m.如何找出C点的位置呢？答：以点A为圆心，1.5m为半径画弧，再以点B为圆心，1.8m为半径画弧，两弧的交点即为第三个孔的中心C.练习2.如图，已知线段a，b，求作等腰三角形，使它的腰长等于线段a，底边长等于线段b.如何作一个角等于已知角？如图，已知AOB，求作一个角
45、，使它等于AOB.动脑筋说一说运用所学知识，请说一说：为什么 就是所求作的角？A O B如图，已知 和线段a，c.求作ABC，使 ，BC=a，BA=c.B=已知两边及其夹角作三角形.如图，已知 ，和线段a.求作ABC，使 ，BC=a.ABC=ACB=已知两角及其夹边作三角形.练习 用尺规完成下列作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）.1.用尺规作一个角等于90.如图，在直线l上截取线段PA、PB，使PA=PB;分别以点A、B为圆心，大于 PA的任意长度为半径画弧，两弧相交于点C.连接CP，则CPA=CPB=90.2.如图，已知线段a，b，求作一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b.如图，作
46、MCN=90.在射线CM上截取CA=a，在射线CN上截取CB=b.连接AB，则ABC就是所求作的三角形.abab小结与复习1.三角形的三边之间有怎样的关系？2.什么叫三角形的高、角平分线、中线？3.结合本章所学的知识，举出一个命题并写出其逆命题，再判断它们的真假.4.等腰（等边）三角形具有哪些性质？如何判定一个三角形是等腰（等边）三角形？5.线段的垂直平分线的性质定理是什么？如何作线段的垂直平分线？6.全等三角形有哪些性质？如何判定两个三角形全等？本章知识结构三角形内角、外角、高、角平分线、中线性质等腰（等边）三角形的性质与判定线段的垂直平分线全等三角形用尺规作三角形任意两边之和大于第三边内角
47、和定理及其推论性质判定（SAS、ASA、AAS、SSS）逆命题命题真命题假命题基本事实定理及其推论定义互逆命题举反例证明证明的依据注意1.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.2.命题有真有假.要判断一个命题为真命题，需要进行证明，并且证明的过程要言必有据.要判断一个命题为假命题，只需举一个反例.3.要证明某些线段或角相等时，可以考虑转化为证明两个三角形全等.中考 试题例1 如图，已知线段a、b、c，求作以a、b、c为边的三角形.解作一条线段AB=c.分别以A、B为圆心，以b、a为半径画弧，两弧交于C点.连接AC、BC.则ABC就是所求作的三角形.中考 试题例2 已知：一个直角，线段a、b，如图1所示.求作：ABC，使C=90，AC=a，BC=b.解如图2，作MCN=90.在射线CM上截取CA=a，在射线CN上截取CB=b.连接AB，则ABC就是所求作的三角形.
