1、 1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值的值. 4、写出方程的解、写出方程的解x1与与x2. 2、求出、求出b2-4ac的值的值. 3、代入求根公式、代入求根公式 : 2 2 4 (0,40) 2 bbac xabac a 用公式法解一元二次方程的用公式法解一元二次方程的步骤步骤: : 见书见书 解下列方程：解下列方程： 根据根据b2-4ac的值的符号，可以确定一的值的符号，可以确定一 元二次方程根的情况元二次方程根的情况 反过来，也可由反过来，也可由 一元二次方程根的情况一元二次方程根的情况 来确定来确定b2-4ac的值的符号的值的符号 即有：即有： b2-
2、4ac 方程有两个不相等的实数根 b2-4ac 方程没有实数根 方程有两个相等的实数根. b2-4ac 若方程有两个实数根，则若方程有两个实数根，则b2-4ac0 例1.不解方程,判别方程 的根的情况_ 015 2 xx 方程要先化方程要先化 为一般形式为一般形式 再求判别式再求判别式 实数根原方程有两个不相等的 解 010155414 055: 2 2 2 acb xx 1、 当当k为何值时为何值时,关于关于x的方程的方程 kx2-(2k+1)x+k+3=0 有两个有两个不不相等的实数根相等的实数根,求求k的取值范围。的取值范围。 2 2、关于、关于x的方程的方程 012 2 xkx 有两个
3、不相等的实数根，则有两个不相等的实数根，则k( ) A.k-1 B.k-1 C.k1 D.k0 D 例例2.在一元二次方程在一元二次方程 中)0(0 2 acbxax 则方程异号与若,ca ( ) A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.没有实数根没有实数根 D.根的情况无法根的情况无法 acb4 2 acb4 2 0 例例3.已知关于已知关于x的方程的方程 0422 2 mmxx 证明证明:不论不论m为何值为何值,这个方程总有两个这个方程总有两个 不相等的实数根不相等的实数根 42444: 22 mmacb解 12124 2 mm 0121
4、4 2 m 不论不论m为何值为何值,这个方程总有两个不相等的实数根这个方程总有两个不相等的实数根 1684 2 mm 【例例4】 已知：已知：a、b、c是是ABC的三边的三边，若方程若方程 有两个等根有两个等根，试判断试判断ABC的形状的形状. acbxcbax2)(22 222 解：利用解：利用b2-4ac 0，得出，得出a=b=c. ABC为等边三角形为等边三角形. 典型例题解析典型例题解析 高手过招（课后思考）：高手过招（课后思考）： 1、已知、已知a,b,c是是 ABC的三边，且的三边，且 关于关于x的方程的方程x2-2cx+a2+b2=0有两有两 个相等的实数根个相等的实数根 求证：
5、求证：这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 2：已知关于：已知关于x的方程：的方程： 2x2-(4k+1)x+2k2-1=0 想一想想一想，当当k取什么值时：取什么值时： （1）方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根， （2）方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根， （3）方程没有实数根方程没有实数根， 例例5.一元二次方程一元二次方程 有有两个不等的两个不等的实数根实数根,则则m的取值的取值 范围是范围是_ 0221 2 mmxxm 2142 2 mmm解 8444 22 mmm 84m02m 101mm即又 12mm且 变 1.( 西宁市西宁市)若关于若关于x的一元
6、二次方程的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数有实数 根根，则则m的取值范围是的取值范围是 ( ) A.m1 B. m1且且m0 C.m1 1 D. m1且且m0 D 2.( 昆明昆明)已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程x2+2x+k=0有实数根有实数根， 则则k的取值范围是的取值范围是 ( ) A.k1 B.k1 C.k1 A 3.( 桂林市桂林市)如果方程组如果方程组 只有一个实只有一个实 数解数解，那么那么m的值为的值为 ( ) A. -3/8 B.3/8 C. -1 D.-3/4 A xy mxy 3 2 2 4.( 南通市南通市)若关于若关于x的方程的方程x2+(2k-
7、1)x+k2- =0 有两个相等的实数根有两个相等的实数根，则则k= . 2 5.( 上海市上海市)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为其根的判别式的值为1，求求m的的 值及该方程的根值及该方程的根。 解：解：b2-4ac=-(3m-1)2-4m(2m-1) =9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1 =(m-1)2 (m-1)2=1,即即 m12， m20(舍去舍去)。 4 7 当当m=2时，原方程变为时，原方程变为2x2-5x+30， x 或或x=1. 2 3 1.1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式求判别式时，应该先
8、将方程化为一般形式. . 2.2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程方程是一元二次方程”，即二次项系数不为，即二次项系数不为0.0. 课时训练课时训练 1.( 大连大连)一元二次方程一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况的根的情况 是是 ( ) A.有一个实数根有一个实数根 B.有两个相等的实数根有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 D.没有实数根没有实数根 D 2.( 安徽安徽) 方程方程x2-3x+1=0的根的情况是的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数
9、根有两个相等的实数根 C. 没有实数根没有实数根 D.只有一个实数根只有一个实数根 A 3.( 长沙长沙)下列一元一次方程中下列一元一次方程中，有实数根的是有实数根的是 ( ) A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0 C.x2+x-1=0 D.x2+4=0 C 4.( 湖北黄冈湖北黄冈)关于关于x的方程的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根有实数根， 则下列结论正确的是则下列结论正确的是 ( ) A.当当k=1/2时时，方程两根互为相反数方程两根互为相反数 B.当当k=0时时，方程的根是方程的根是x=-1 C.当当k=1时时，方程两根互为倒数方程两根互为倒数 D.当当k1/4时时
10、，方程有实数根方程有实数根 D 5.若一元二次方程若一元二次方程 有两个相等的实数根有两个相等的实数根， 那么那么 的值为的值为 ( ) A.-4 B.4 C. 1/4 D.- 1/4 C 课时训练课时训练 0 0n nx xm mx x 2 2 m m n n 解方程解方程: 这种解法是不是解这个方程的最好方法这种解法是不是解这个方程的最好方法? ? 你是否还有其它方法来解你是否还有其它方法来解? ? 21 12 2 xxx 动手试一试吧！动手试一试吧！ 当当 时时,方程没有实数根方程没有实数根. 2 40bac 当当 时时,方程有两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根； 2 40ba
11、c 当当 时时,方程有两个相等的实数根；方程有两个相等的实数根； 2 40bac 方程根的情况：方程根的情况： 由此说明由此说明, 可以根据可以根据b2-4ac的符号来判断一的符号来判断一 元二次方程根的情况，元二次方程根的情况， 代数式代数式b2-4ac叫做一元二次方程叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0的的根的判别式根的判别式. ax2+bx+c=0(a0) (1) 当当b2-4ac0时时 a acbb x 2 4 2 方程有两个方程有两个不相等不相等的实数根的实数根. (2) 当当b2-4ac=0时时 方程有两个方程有两个相等相等的实数根的实数根. (3) 当当b2-4ac0时时 一元二次方程一元二次方程没有没有实数根实数根 x1=x2= a b 2 根据根据b2-4ac的值的符号，可以确定一的值的符号，可以确定一 元二次方程根的情况元二次方程根的情况 反过来，也可由反过来，也可由 一元二次方程根的情况一元二次方程根的情况 来确定来确定b2-4ac的值的符号的值的符号 即有：即有： b2-4ac 方程有两个不相等的实数根 b2-4ac 方程没有实数根 方程有两个相等的实数根. b2-4ac 若方程有两个实数根，则若方程有两个实数根，则b2-4ac0
