1、利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分二重积分的换元法二重积分的换元法8.2 8.2 二重积分二重积分的计算的计算(1)积分区域积分区域为：为：,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、)(1x)(2x b)(2xy )(1xy aDX型型,ba在区间在区间 上连续上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分xOyxOy)(1xy )(2xy Dba)(01x,bax yyxfxAxxd),()()()(21 有有:DyxfV d),(baxxAd)(xbad )d),()()(21 xxyyxf
2、)(02x yyxfxAd),()(00 先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分xyzO),(yxfz D)(2xy )(0 xA)(1xy a0 xbxyO例例解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 22xyyx yyxd)(2 10dx)0,0(),1,1(所围平面闭区域所围平面闭区域.和和是抛物线是抛物线其中其中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 两曲线的交点两曲线的交点2xx2xy 2yx )1,1(2)积分区域积分区域为：为：,dyc )()(21yxy D)(2yx cd)(1yx Y型型 Dyxf d),(先对先对x后对后对y的二次
3、积分的二次积分也即也即 dcyyxyxfy)()(21d),(d Dyxf d),(其中函数其中函数 、)(1y)(2y,dc在区间在区间 上连续上连续.xOyxOyD)(2yx cd)(1yx dcyd)d),(xyxf)(1y)(2y 先对先对x后对后对y的积分的积分 Dyxyxdd)(214033 10dy xyxd)(22yy Dyxyxdd)(2xyO2xy 2yx )1,1(abdc 计算结果一样计算结果一样.又是又是Y型型:(3)积分区域积分区域D既是既是X型型:,bxa )()(21xyx ,dyc )()(21yxy 但可作出但可作出适当选择适当选择.xyO(4)若区域如图若
4、区域如图,在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.D(用积分区域的可加性质用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是都是X型区域型区域则则必须分割必须分割.321DDDxyO3D2D1D例例解解1d22Dxy d2211xxxxy 9.4 1:12,Dxyxxd22xyy d21x d22,2,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成X型区域型区域1xxxyOyx 2x 1xy )d231(xxx 例例解解2d22Dxy 9.4 111:1,22Dyxyd22xxy d112y d22,2
5、,DxDxyxy 求其中 是由直线和求其中 是由直线和1.xy 双曲线围成的闭区域双曲线围成的闭区域将将D看成看成Y型区域型区域1y2xyOyx 2x 1xy D1D22:12,2Dyyxdd122222DDxxyy d22xxy d21y y2第第一一种种方方法法计计算算量量小小例例yyxxdsind1012 siny2 对对y的积分的积分而它对而它对x的积分的积分交换积分次序交换积分次序的方法是的方法是:改写改写D为为:oxy 分析分析所以将所以将二次积分二次积分先先将所给的积分域将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图画出积分域的草图(3)计算二次积分计算二次积分不能用基本积分法算出不
6、能用基本积分法算出,xy )1,1(可用基本积分法算出可用基本积分法算出.交换积分次序交换积分次序.用联立不等式表示用联立不等式表示 D:,10 x1 yx,10 yyx 0yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1,1(,10:yDyx 0例例 交换积分次序：交换积分次序：解解 积分区域积分区域:xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式=10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12又是能否进行计算的问题又是
7、能否进行计算的问题.计算二重积分时计算二重积分时,恰当的选取积分次序恰当的选取积分次序十分重要十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题它不仅涉及到计算繁简问题,而且而且凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:,dsinxxx,d2xex,lnd xx等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.,dsin2xx,dcos2xx,d2xex ,dxexy 解解 121d)(xeexxee2183 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 计算积分计算积分xexyd 不能用初等函数表示不能用初等函数表示,先交换积分次序先交换积分次序.yexyd x2x xd I211112141xy 2xy
8、21Oxy例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程且这两个圆柱面的方程分别为分别为 及及222Ryx .222Rzx 解解 d DyxRd22 332R 313168RVV d),(1 DyxfV22xRy 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.xoyzoxyDR22xR 22xR 0 xd0R22xRz 曲曲顶顶2xy 解解(1)先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号,如图如图 d)(12 Dxy 12112d)(dxyxyx1115 例例 d2 Dxydd21210()xxxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO11 11 d2.Dyx 计计
9、算算(1):11,01Dxy 所确定的范围；所确定的范围；(2):22,01Dxy 所确定的范围；所确定的范围；D22xy 解解(2)仿照仿照(1)的方法，同时充分利用可加性的方法，同时充分利用可加性 d)(12 Dxydd211212()xxyxy 225 例例 d2 Dxydd21220()xxyy d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO22 1d2.Dyx 计计算算(2):22,01Dxy 所确定的范围；所确定的范围；D2D1d122()Dyx d212()DDxy 例例 求证求证 axaxxfxayyfx000d)()(d)(d 左边的累次积分中左边的累次积分中,
10、积分域积分域可表为可表为提示提示 xayyfx00d)(d ayaxyfyd)(d0 ayyfya0d)()(axxfxa0d)()(不能具体计算不能具体计算.所以所以,)(yf是是y的抽象函数的抽象函数,)0(a,0ax xy 0,0ay axy aayyxyf0d)(证毕证毕.先交换积分次序先交换积分次序.axyOa),(aa 计算二重积分计算二重积分,dd,max22 Dyxyxe其中其中.10,10),(yxyxDxyO 解解 112D1D设设,10),(1 xyxDxy 0,10),(2 xyxD1 yx Dyxyxedd,max22 122dd,maxDyxyxe 222dd,ma
11、xDyxyxe 12ddDxyxe 22ddDyyxe xxyex010dd2 yyxey010dd2.1 eirr iirrr i 21()2iiiiir rriiir rOADi ii i (,)iir 21()2iiirr212iircos,iiir siniiir 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分iiinif ),(lim10iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),(Dyxyxfdd),(也即也即d dr r 极坐标系中的面积元素极坐标系中的面积元素 d d(cos,sin)rDf rrr r d d(cos,sin)rDf rrr r nif1(c
12、os,iir iiirr sin)iir 0lim )(1 r)(2 r Drrrrfdd)sin,cos(1)积分区域积分区域D:,)()(21 rAOD d)(1 rrrrfd)sin,cos()(2 OAD)(1 r)(2 rD )(0d)sin,cos(drrrrf(2)积分区域积分区域D(曲边扇形曲边扇形):,)(0 r Drrrrfdd)sin,cos(AOAO D)(r)(r Drrrrfdd)sin,cos()(020d)sin,cos(drrrrf(3)积分区域积分区域D:,20 )(0 rDoA)(r解解yxeDyxdd22 arrre020dd2)1(2ae a例例 计算
13、计算,dd22yxeDyx 其中其中D是由中心在原点是由中心在原点,半径为半径为a的圆周所围成的闭区域的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下在极坐标系下:D,20 ar 0 xOyR2解解0,0,|),(2221 yxRyxyxD0,0,2|),(2222 yxRyxyxD0,0|),(RyRxyxS 022 yxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe求反常积分求反常积分20d.xex例例显然有显然有21DSD 122ddDyxyxeR1DS2DyxO Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )
14、1(422Re 4 Ryye0d2 0,0,|),(2221 yxRyxyxD0,0,2|),(2222 yxRyxyxD0,0|),(RyRxyxS ,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 夹逼定理夹逼定理,R 当时,R 故当时即即4)d(202 Rxxe所求反常积分所求反常积分20d2xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI解解 sincosryrx Dyxyxfdd),(rrrrfd)sin,cos(d例例 写出积分写出积分的的极坐标二次积分极坐标二次积分 Dyxyxfdd),(其中积分区域其中积分区域
15、形式形式,10,11),(2 xxyxyxD在极坐标系下在极坐标系下圆方程为圆方程为1 r直线方程为直线方程为 sincos1r1 cossin1 02 yxO11122 yx1 yxD将将直角坐标系直角坐标系下积分下积分:22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化为化为极坐标系极坐标系下的下的累次积分累次积分.oxy解解rrrrf 2120d)sin,cos(d原式原式=2 r21 r103 yx解解32 61 sin4r sin2ryxyxDdd)(22 rrrdd2)32(15 03 xy计算计算,dd)(22yxyxD 为由圆为由圆其中其中D所围成的平面闭区
16、域所围成的平面闭区域.例例yyxyyx4,22222 及直线及直线,03 yx03 xy sin4 sin26 3 xOyyyx222 yyx422 4 计算计算16:22 yxD因被积函数因被积函数422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在积分域内变号在积分域内变号.2xoyD1 计算计算,dd|)|(|Dyxyx0,1|:|xyxD解解 积分区域积分区域D关于关于x轴对称轴对称,被积函数关于被积函数关于y为偶函数为偶函数.原式原式=记记D1为为D的的y0的部分的部
17、分.yxyxdd|)|(|1dd)(2Dyxxy xyxyx1001d)(d2则则21D32 xyoD111 1 yx1 1 yx三、三、二重积分的换元法二重积分的换元法设被积函数设被积函数),(yxf在区域在区域D上连续上连续,若变换若变换),(),(vuyyvuxx 满足如下条件满足如下条件:(1)的点的点平面上的区域平面上的区域将将 DuOv一对一地变为一对一地变为D上的点上的点;(2),(),(vuyvux上上在在 D有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式且雅可比行列式 ),(),(vuyxJvyuyvxux Dyxf d),(0 f D),(vux),(vuy|Jvud
18、d例例解解轴和轴和轴、轴、由由其中其中计算计算yxDyxeDxyxy,dd ,2uvx Dxyo2 yx Duvo0 y2 yx.2所围成的闭区域所围成的闭区域直线直线 yx,xyu 令令xyv 则则2uvy 即即0 xvu vu vu 2 vvu 2 vDD),(),(vuyxJ ,21 Dxyxyyxedd vvvuuevdd2120 201d)(21vvee1 ee2,2uvyuvx 21212121 vyuyvxux uvovu vu 2 v D Dvue故故vudd21 例例解解,dd12222yxbyaxD 计计算算0,0,0,02abr其中其中cossinxarybr 在这变换下在这变换下所围成的闭区域所围成的闭区域.12222 byaxD(,)01,02 DrrDxyO其中其中D为椭圆为椭圆作作广义极坐标广义极坐标变换变换(,)(,)x yJr0,JDr 在在 内内仅仅当当处处为为零零 yxbyaxDdd12222ab 32 abr cossinxarybr xxryyr 故换元公式仍成立故换元公式仍成立,d dd d(,)(,),(,)DDf x yx yf x u vy u vJu v 21r abrd dr Ddd212001abrrr 极坐极坐标标 DxyO
