1、2.6 2.6 应用一元二次方程应用一元二次方程 第第1 1课时课时 利用一元二次方程解决几何问利用一元二次方程解决几何问 题题 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 平方根的意义: 完全平方式:式子a22ab+b2叫完全平方式,且 a22ab+b2 =(ab)2. 如果x2=a,那么x= .a 用配方法解一元二次方程的方法的助手: 用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:
2、方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左边配方,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a0). 2.b2-4ac0. 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的
3、方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法. 老师提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.” 例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海 里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要 目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛 F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿 A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿 南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. (1).小岛D与小岛F相距多少海里?
4、 (2).已知军舰的速度是补给船的2 倍,军舰在由B到C的途中与补给船 相遇于E处,那么相遇时补给船航行 了多少海里?(结果精确到0.1海里) 东 北 A B C D E F 解:(1)连接DF,则DFBC. 东 北 A B C D E F C=450. ,200,海里BCABBCAB .2, 2100 2 1 CDDFCFDF ACCD 海里 .1002100 2 2 2 2 海里 CDCFDF .100海里相距和小岛小岛FD ,22002海里ABAC 解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海 里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
5、 在RtDEF中，根据勾股定理可得方程 东 北 A B C D E F 2 22 1003002.xx . 010000012003, 2 xx得整理 得解这个方程, .4 .118 海里了相遇时补给船大约航行 , 4 .118 3 6100 200 1 x 2 100 6 200,. 3 x 不合 意 舍去 1.九章算术“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七, 乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?” 解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得 (7x-10)2=(3x)2 +102. x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去). 答:甲走了24.5步,乙走了
6、10.5步. 大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东 走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走 了多远?” 乙:3x 甲: 10 A B C 7x-10 整理得:2x2-7x=0. 解这个方程,得 3x=33.5=10.5, 7x=73.5=24.5. 2.绿苑小区住宅设计绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间准备在每两幢楼房之间,开辟面积为开辟面积为900平方米的一块长平方米的一块长 方形绿地方形绿地,并且长比宽多并且长比宽多10米米,那么绿地的长和宽各为多少那么绿地的长和宽各为多少? 得根据题意设长方形绿
7、地的宽为解,:xm .900)10(xx :整理得 ).,(03755;41.253755 21 舍去不合题意xx . 090010 2 xx :,得解这个方程 .41.35,41.25:mm宽分别约是这块长方形绿地的长和答 x x+10 .41.35375510375510x 3.一块长和宽分别为一块长和宽分别为60厘米和厘米和40厘米的长方形铁皮厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小要在它的四角截去四个相等的小 正方形，折成一个无盖的长方体正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为使它的底面积为800平方厘米平方厘米.求截去正方形的求截去正方形的 边长边长. x 60-2x 40
8、-2x 800cm2 得根据题意为设截去的小正方形边长解,:xcm .800)240)(260(xx .10:cm为截去的小正方形的边长答 :整理得 ).,(40;10 21 舍去不合题意xx . 040050 2 xx :,得解这个方程 答:彩纸条的宽约为2.1cm. 4.学生会准备举办摄影展览学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为在每张长和宽分别为18厘米和厘米和12厘米的长方形厘米的长方形 相片周围镶上一圈等宽的彩纸相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验经试验, 彩纸面积为相片面积的彩纸面积为相片面积的 时较美观时较美观, 求镶上彩纸条的宽求镶上彩纸条的宽. (精确到精确到0.1厘米
9、厘米) 得根据题意设彩纸条的宽为解,:xcm .1218 3 2 1218)212)(218(xx :整理得 ).,(0 2 41315 ; 1 . 2 2 41315 2 1 舍去不合题意 x x . 03615 2 xx :,得解这个方程 列方程解应用题的一般步骤是: 1.审; 2.设; 3.列; 4.解; 5.验; 6.答. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 1.有这样一道阿拉伯古算题有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱有两笔钱,一多一少一多一少,其其 和等于和等于20,积等积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛那么赛 义德得到多少钱义德得到多少钱? 得根据题意设赛义德得到的钱数为解,:x .96)20(xx :整理得 ).,.(8;12 21 舍去不合题意xx 2 20960.xx 得解这个方程, .12:赛义德得到的钱数是答 谢谢！
