1、变化率与导数变化率与导数 第三章第三章 2 导数的概念及其几何意义导数的概念及其几何意义 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.理解导数的概念和意义，了解导函数的概 念，通过函数图像直观地理解导数的几何意 义 2会求导函数，能根据导数的几何意义求曲 线上某点处的切线方程. 导数的概念 函数 yf(x)在 xx0处的瞬时变化率是 lim x0 y x lim x0 fx0xfx0 x .我们称它为函数 yf(x)在 xx0处的导数， 记作 f (x0) 或y|x x0， 即f (x0) lim x0 y
2、 x _. lim x0 fx0xfx0 x 导数的几何意义 1.曲线的切线：过曲线 yf(x)上一点 P 作曲线的割线 PQ， 当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时，若割线 PQ 趋近于某一确定 的直线 PT，则这一确定的直线 PT 称为曲线 yf(x)在点 P 的 _ 设 P(x0，y0)，Q(xn，yn)，则割线 PQ 的斜率 kn _. 切线 fxnfx0 xnx0 2导数的几何意义 函数 yf(x)在 xx0处的导数，就是曲线 yf(x)在 xx0处 的_，即 kf(x0)_. 3函数的导数 对于函数 yf(x)，当 xx0时，f(x0)是一个确定的数当 x 变化时， f(x)便是一
3、个关于 x 的函数， 我们称它为函数 yf(x) 的 导 函 数 ( 简 称 为 导 数 ) ， 即f(x) y _. 切线的斜率 lim x0 fx0xfx0 x lim x0 fxxfx x 1.导数的概念 (1)y|xx0表示函数 y 关于自变量 x 在 x0处的导数 (2)在数学上，把函数在点 x0处的变化率称为函数在点 x0 处的导数，在自然科学及科学技术领域内，只要遇到有关函数 变化率的问题，如化学反应速度、物体温度变化率、电流强度 等等都需要应用导数 (3)导数是研究在点 x0处及其附近函数的改变量 y 与自变 量的改变量 x 之比的极限， 它是一个局部性的概念， 若lim x0
4、 y x 存在，则函数 yf(x)在点 x0处就有导数，否则就没有导致，即 lim x0 y x存在表示是一个定数，函数 f(x)在点 x0 处的导数应是一 个定数 2深刻理解“函数在一点处的导数”、“导 函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f (x0)是一个_， 不是变量 (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x 而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可 导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的 值x0，都对应着一个确定的导数f (x0)根据 函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一 个新的函数，就是函数f(x)的导函数 _ (3)函数yf(x)在点x0处的导数
5、f (x0)就是导函 数f (x)在点xx0处的_，即f (x0) _. 常数 f(x) 函数值 f(x)|xx0 1.已知f(x)x23x，则f (0)( ) Ax3 B(x)23x C3 D0 答案 C 解析 f (0)lim x0 0x230x0230 x lim x0 x23x x lim x0 (x3)3.故选 C. 2(2014三峡名校联盟联考)曲线yx2在点 P(1,1)处的切线方程为( ) Ay2x By2x1 Cy2x1 Dy2x 答案 B 解析 y x xx2x2 x 2xx， lim x0 y x2x，y|x12， 切线方程为 y12(x1)， 即 y2x1. 3曲线 y
6、x3在点 P 处的切线斜率为 3，则点 P 的坐标为 ( ) A(2，8) B(1,1)，(1，1) C(2,8) D(1 2， 1 8) 答案 B 解析 yx3， ylim x0 xx3x3 x lim x0 x33x x23x2x x lim x0(x) 23xx3x23x2. 令 3x23，得 x 1，点 P 的坐标为(1,1)，(1，1) 4函数 yf(x)1 x在 x1 处的切线方程为_ 答案 xy20 解析 y|x1f(1)lim x0 f1xf1 x lim x0 1 1x1 x lim x0 1 1x1， 则切线方程为 y1(x1)， 即 xy20. 课堂典例探究课堂典例探究
7、利用定义求函数在某点处的导数 根据导数定义求函数 yx21 x5 在 x2 处的 导数 解析 当 x2 时，y(2x)2 1 2x5 221 25 4x(x)2 x 22x，所以 y x4x 1 42x， 所以 y|x2lim x0 y x lim x0 4x 1 42x 40 1 420 15 4 . 方法规律总结 用导数定义求函数在某一点处的导数的 步骤为：一差、二比、三极限 (1)求函数的增量 yf(x0x)f(x0)； (2)求平均变化率y x fx0xfx0 x ； (3)取极限，得导数 f (x0)lim x0 y x. 函数f(x)x32x1在x1处的导数为 _ 答案 5 解析
8、yf(1x)f(1)(1x)32(1x)1(13 211)5x3(x)2(x)3， y x 5x3x2x3 x 53x(x)2， f (1)lim x0 y xlim x053x(x) 25. 求切线方程 已知曲线C：f(x)x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方 程； (2)求过点(1,1)与曲线C相切的直线方程 解析 (1)f(x)lim x0 xx3x3 x lim x0 x33x2 x3x x2 x lim x0(x) 23x23x x 3x2，f(1)3123，又 f(1)131， 切线方程为 y13(x1)，即 3xy20. (2)设切点为 P(x0， x3 0)， 由
9、(1)知切线斜率为 kf(x0)3x 2 0， 故切线方程为 yx3 03x 2 0(xx0) 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1x3 03x 2 0(1 x0)，即 2x3 03x 2 010，(x01) 2(2x 01)0， 解得 x01 或 x01 2.故所求的切线方程为 y13(x1)或 y1 8 3 4(x 1 2)， 即 3xy20 或 3x4y10. 方法规律总结 1.求曲线在点 P(x0，y0)处切线的步骤： (1)求出函数 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 yy0f (x0)(x x0)； 2过曲线外的点 P(
10、x1，y1)求曲线的切线方程的步骤： (1)设切点为 Q(x0，y0)； (2)求出函数 yf(x)在点 x0处的导数 f (x0)； (3)利用 Q 在曲线上和 f (x0)kPQ，解出 x0，y0及 f (x0) (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 yy0f (x0)(x x0) 3要正确区分曲线 yf(x)在 点 P 处的切线，与过 点 P 的 曲线 yf(x)的切线 4f (x0)0 时，切线的倾斜角为锐角；f (x0)0 时，切 线的倾斜角为钝角；f (x0)0 时，切线与 x 轴平行f(x)在 x0 处的导数不存在，则切线垂直于 x 轴或不存在 已知曲线方程为yx2，则： (
11、1)过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程为 _； (2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程为 _ 答案 (1)4xy40 (2)2xy10或 10xy250 解析 (1)f(x)lim x0 xx2x2 x lim x0 2x xx2 x lim x0 (2xx)2x，又点 A(2,4)在曲线 yx 2 上， f(2)4，所求切线的斜率 k4， 故所求切线的方程为 y44(x2)，即 4xy40. (2)点 B(3,5)不在曲线 yx2上，设切点坐标为(x0，x2 0)， 由(1)知 f(x0)2x0，切线的斜率 k2x0， 切线方程为 yx2 02x0(xx0)， 又点 B(3,5)在
12、切线上，5x2 02x0(3x0)， 解得 x01 或 x05. 切点坐标为(1,1)，(5,25) 故所求切线方程为 y12(x1)或 y2510(x5)， 即 2xy10 或 10xy250. 求切点坐标 已知曲线 f(x)1 2x 22x 的一条切线斜率是 4， 则 切点的横坐标为( ) A2 B1 C1 D2 答案 D 方法规律总结 求切点坐标时，先根据切线 与导数的关系，求出切线方程，再求切线与 曲线的交点，找出切点 解析 yf(xx)f(x)1 2(xx) 22(xx)1 2x 2 2xx x1 2(x) 22x，y xx 1 2x2， f(x)lim x0 y xx2. 设切点坐
13、标为(x0，y0)，则 f(x0)x02. 由已知 x024，x02，故选 D. 设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在 P0处切线平行于直线y4x1，则P0点的坐 标为( ) A(1,0) B(2,8) C(1,0)或(1，4) D(2,8)或(1，4) 答案 C 解析 f(x)lim x0 xx3xx2x3x2 x lim x0 3x21x3xx2x3 x 3x21. 由于曲线 f(x)x3x2 在 P0处的切线平行于直线 y4x 1，所以 f(x)在 P0处的导数值等于 4，设 P0(x0，y0)，有 f(x0) 3x2 014.解得 x0 1，这时 P0点的坐标为(1,0)或(1
14、， 4). 求函数的导函数 已知 yf(x) 2 x，求 f(x)及 f(1) 分析 求函数在某一点处的导数可先求函数的导数，再 求此点的导数值 解 析 y f(x x) f(x) 2 xx 2 x 2 x xx xxx . f(x)lim x0 y xlim x0 2 x xx xxx x lim x0 2xxx xxx x x xx lim x0 2 xxx x xx 2 xx 2 xx 3 2. f(1)x3 2|x11. 方法规律总结 1.函数的导数与在点 x0处的导数不是同 一概念，在点 x0处的导数是函数的导数在 xx0处的函数值 2 求函数的导数共三个步骤： 求函数的增量xf(x
15、x) f(x)； 求平均变化率y x fxxfx x ； 取极限并求极限值，取导数 f(x)lim x0 fxxfx x . 已知曲线y3x2x，求曲线上一点A(1,2)处 的切线斜率 解析 ylim x0 fxxfx x lim x0 3xx2xx3x2x x 6x1. y|x16115. 审题要细致 试求过点 M(1,1)且与曲线 yx31 相切的直线 方程 错解 y x xx31x31 x 3xx 23x2xx3 x 3xx3x2(x)2. lim x0 y x3x 2， 因此 y3x2， 所以在 x1 处的切线斜率 k 3，切线方程为 y13(x1)，即 3xy20. 辨析 上述解法错
16、在将点(1,1)当成了曲线y x31上的点因此在求过某点的切线时， 一定要先判断点是否在曲线上，再据不同情 况求解 正解 y3x2(解法同上)，设过(1,1)点的切线与 yx3 1 相切于点 P(x0，x3 01)，据导数的几何意义，函数在点 P 处 的切线的斜率为 k3x 2 0 ，过(1,1)点的切线的斜率 k x3 011 x01 ，3x2 0 x3 0 x01，解得 x00 或 x0 3 2，所以 k0 或 k27 4 ，因此 yx31 过点 M(1,1)的切线方程有两个，分别 为 y127 4 (x1)和 y1，即 27x4y230 或 y1. 分析指出下题解答中的错误，并加以纠正 设 f(x)在 x0处可导，求lim x0 fx0xfx0 x 的值 解：x0，x0， 又f(x)在 x0处可导， lim x0 fx0xfx0 x f (x0) 解析 上述解答由于对导数的定义理解不清致误，函数 值 f(x0x)f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0x)x0 x. 正确解答为：f(x)在 x0可导， lim x0 fx0xfx0 x lim x0 fx0xfx0 x f (x0)
