1、统计案例统计案例 第一章第一章 2 独立性检验独立性检验 第一章第一章 第第1课时课时 条件概率与独立事件条件概率与独立事件 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.了解条件概率的概念，会用条件概率公式 求解简单的实际问题 2理解相互独立事件的意义，理解相互独立 事件同时发生的概率乘法公式 1.事件的交： 把由事件A和B同时发生所构成的事件D，称 为事件A与B的交(或积)，记做DAB(或D AB) 2条件概率的概念 在事件B发生的条件下，事件A发生的概率， 称为_，记 为_ 类似地，在事件A发生的条件下，事件B发生
2、的概率，称为 _，记为 _ 条件概率 B发生时A发生的条件概率 P(A|B) A发生时B发生的条件概率 P(B|A) 3条件概率计算公式 当P(B)0时，P(A|B) _； 当P(A)0时，P(B|A) _. PAB PB PAB PA 对于两个事件 A、B，如果 P(AB)_，则称 A、 B 相互独立 可以证明：如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与B、A与 B、A与B也都相互独立 独立事件 P(A) P(B) 如果事件A1、A2、An相互独立，那么这 n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的 概率的积，即P(A1A2An) P(A1)P(A2)P(A3)P(An) 运用公式P(AB)
3、P(A)P(B)时一定要注意成 立的 条件，只有当事件A、B_时，公 式才成立此公式说明：两个相互独立事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的 积 相互独立 1.条件概率的几个注意点： (1)事件B在“事件A已发生”这个附加条件下 的概率与没有这个附加条件的概率是不同 的 (2)应该说，每一个随机试验都是在一定条件 下进行的而这里所说的条件概率，则是当 试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验 的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件 在此条件下发生的概率 (3)已知 A 发生，在此条件下 B 发生，相当于 AB 发生，要 求 P(B|A)相当于把 A 看作新的基本事件空间来计算 AB 发
4、生的 概率，即 P(B|A)nAB nA nAB n nA n PAB PA . (4)条件概率公式揭示了条件概率 P(A|B)与事件概率 P(B)、 P(AB)三者之间的关系 下列两种情况可利用条件概率公式： 一 种情况是已知 P(B)和 P(AB)时去求出 P(A|B)；另一种情况是已 知 P(B)和 P(A|B)时去求出 P(AB)对于后一种情况，为了方便 也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若 P(B)0，有 P(AB)P(B) P(A|B) 2求条件概率的方法： (1)对于古典概型的题目，可采用缩小基本事件空间的方法 来计算条件概率如：甲、乙两车间各生产 50 件产品，其中分 别
5、含有次品 3 件与 5 件，现从这 100 件产品中任取 1 件，在已 知取到甲车间产品的条件下，求取得次品的概率，基本事件空 间总数为 50，基本事件个数为 3，P 3 50. (2)直接根据条件概率公式求解 3“互斥”与“相互独立”的区别与联系 相同点 不同点 都是描绘 两个事件 间的关系 “互斥”强调不可能同时发生，“相互独 立”强调一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响 “互斥”的两个事件可以“独立”，“独 立”的也可互斥. 4.常见事件及其表示： 已知两个事件 A、 B， 它们的概率分别为 P(A)、 P(B)， 那么： A、B 中至少有一个发生的事件为 AB； A、B 都
6、发生的事件为 AB； A、B 都不发生的事件为A B； A、B 恰有一个发生的事件为 ABAB； A、B 中至多有一个发生的事件为 ABABA B. 它们之间的概率关系如下表所示. 概率 A、B 互斥 A、B 相互独立 P(AB) P(A)P(B) 1P(A)P(B) P(AB) 0 P(A)P(B) P(A B) 1P(A) P(B) P(A)P(B) P(ABAB) P(A)P(B) P(A)P(B)P(A)P(B) P(ABABA B) 1 1P(A)P(B) 答案 B 1.若事件 E 与 F 相互独立，且 P(E)P(F)1 4，则 P(EF) 的值等于( ) A0 B 1 16 C1
7、 4 D1 2 解析 本题考查相互独立事件同时发生的概率公式 事件 E 与 F 相互独立， 且 P(E)P(F)1 4， P(EF)P(E) P(F)1 4 1 4 1 16. 2甲、乙二人分别对一目标进行一次射击，记“甲击中目 标为事件 A，乙击中目标为事件 B，则 A 与 B，A与 B，A 与B， A与B”中，满足相互独立的有( ) A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 答案 D 解析 由于 A 与 B 是两个相互独立事件，所以根据相互 独立事件的性质可知，A 与B、A与 B、A与B也是相互独立事 件，故有 4 对相互独立事件 3盒中装有 10 只乒乓球，其中 6 只新球，4 只旧球，不
8、放 回地依次取出 2 个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二 次也取到新球的概率为( ) A3 5 B 1 10 C5 9 D2 5 答案 C 解析 解法 1：设 A第一次取到新球，B第二次取 到新球，则 n(A)6954，n(AB)6530， P(B|A)nAB nA 30 54 5 9. 解法 2：在第一次取到新球的条件下，盒中装有 9 只乒乓 球，其中 5 只新球，则第二次也取到新球的概率为 P5 9. 4甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能 达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都 达标的概率是_，三人中至少有一 人达标的概率是_. 答案 0.24 0.96 解析 三人均达标
9、的概率为0.80.60.5 0.24，三人中至少有一人达标的概率为1 (10.8)(10.6)(10.5)0.96. 课堂典例探究课堂典例探究 甲、乙两地都位于长江下游，根据 一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中 雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下 雨的比例为12%，问： (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多 少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多 少？ 分析 设A“甲地为雨天”，B“乙地 为雨天”，则根据题意有P(A)0.20，P(B) 0.18，P(AB)0.12.问题(1)为求P(A|B)，(2) 为求P(B|A) 条件概率 解析 设 A“甲地为雨天”，B“乙地
10、为雨天”，则 (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)PAB PB 0.12 0.180.67. (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)PAB PA 0.12 0.200.60. 方法规律总结 1.条件概率的判断 题目中出现已知“在前提下(条件下)”等字眼时，一 般为求条件概率题目中没有出现上述明显字眼，但事件 B 的 发生受事件 A 发生的影响时，也是条件概率 2求条件概率的方法： (1)用公式 P(B|A)PAB PA ； (2)用 P(B|A)nAB nA . 分析 要区分清楚符号P(A|B)与P(B|A)的含 义，然后用公式求解 某地区气象台统计，该地区下雨的
11、概率是 4 15，刮三级以上 风的概率为 2 15，既刮三级以上风又下雨的概率为 1 10，设事件 A 为下雨，事件 B 为刮三级以上的风求： (1)P(A|B)； (2)P(B|A) 答案 (1)3 4 (2) 3 8 解析 由题意知 P(A) 4 15，P(B) 2 15，P(AB) 1 10.则 (1)P(A|B)PAB PB 1 10 2 15 3 4； (2)P(B|A)PAB PA 1 10 4 15 3 8. 甲、乙同时向一敌机炮击，已知甲 击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为 0.5，求： (1)甲、乙都未击中的概率； (2)敌机被击中的概率 分析 (1)直接利用相互独立
12、事件同时发生 的概率公式计算即可；(2)从正面分析较麻烦， 可考虑求其对立事件的概率 相互独立事件的概率 解析 记 A“甲击中”，B“乙击中”，C“甲、 乙都没有击中”，D“敌机被击中”由题意，甲击中与否 并不影响乙击中与否， 由此可认为 A 与 B 是相互独立的， 则A， B也是相互独立的则 (1)P(C)P( A B )P( A ) P( B )(10.6)(10.5) 0.2. (2)P(D)1P(A B)10.20.8. 方法规律总结 如果事件A发生与否不影响 事件B的发生，事件B发生与否也不影响事件 A的发生，则A与B相互独立，且P(AB) P(A)P(B) 甲射击命中目标的概率是1
13、 2，乙命中目标的概率是 1 3，丙命 中目标的概率是1 4， 现在三人同时射击目标， 则目标被击中的概 率为_. 答案 3 4 解析 设甲击中目标为事件 A，乙击中目标为事件 B，丙 击中目标为事件 C，目标未被击中为事件A B C， 则目标被击中的概率 P1P( A B C )1 P( A )P( B )P( C )11P(A)1P(B)1P(C)1(1 1 2)(1 1 3)(1 1 4) 3 4. 目标被击中的概率为3 4. 10张奖券中有3张有奖，甲、乙两 人从中各抽1张，甲先抽、乙后抽，求： (1)甲中奖的概率； (2)乙中奖的概率； (3)在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率 综合应
14、用 解析 设甲中奖为事件 A，乙中奖为事件 B (1)由题意得 P(A) 3 10. (2)P(B)P(ABAB)P(AB)P(AB)， P(AB) 3 10 2 9 1 15，P(AB) 7 10 3 9 7 30， P(B) 1 15 7 30 9 30 3 10. (3)P(A) 7 10，P(AB) 7 30， P(B|A)PAB pA 7 30 7 10 1 3. 另解：甲末中奖条件下 9 张，奖券中 3 张有奖， P(B A) 3 9 1 3. (1)甲中奖的概率为 3 10；(2)乙中奖的概率为 3 10； (3)在甲未中奖的条件下，乙中奖的概率为1 3. 制造一机器零件，甲机床
15、生产的废品率是 0.04，乙机床生产的废品率是0.05，从它们 生产的产品中各任取1件，求： (1)两件都是废品的概率； (2)其中没有废品的概率； (3)其中恰有1件废品的概率； (4)其中至少有1件废品的概率； (5)其中至多有1件废品的概率 分析 利用相互独立事件的概率公式及对立 事件的关系求解 答案 (1)0.002 (1)0.912 (3)0.086 (4)0.088 (5)0.998 解析 设“从甲机床生产的产品中抽得 1 件是废品”为 事件 A， “从乙机床生产的产品中抽得 1 件废品”为事件 B则 P(A)0.04，P(B)0.05. (1)P(AB)P(A)P(B)0.040
16、.050.002. (2)P(A B)P(A)P(B)0.960.950.912. (3)P( A BA B )P( A )P(B)P(A)P( B )0.960.05 0.040.950.086. (4)至少有一件是废品的对应事件为ABABAB， 易知A B，AB，AB 是彼此互斥的三件事件 所求概率为 PP(ABABAB)P(ABAB)P(AB) 0.0860.0020.088.(利用(1)、(3)小题的结果)或考虑其对应 事件“没有废品”，故 P1P(A B)10.9120.088. (5)“至多有一件是废品”即为事件ABABA B；其 对立事件为“两件都是废品”：AB故所求概率 PP(AB ABA B)1P(AB)10.0020.998. 桌子上放着一副扑克牌中的10张， 其中1张红心，4张黑桃，5张梅花，从中任摸 一张，放回后，再摸一张，求第一次摸出红心 且第二次摸出黑桃的概率 错解 设 A第一次摸出红心， B第二次摸出黑桃 则 P(A) 1 10，P(B) 2 5，P(AB)P(A)P(B) 1 10 2 5 1 2. 辨析 第一次摸出红心，放回后再摸第二 次表明A，B两事件相互独立，而误解则按 照互斥事件计算 正解 设 A第一次摸出红心， B第二次摸出黑桃 P(AB)P(A) P(B) 1 10 2 5 1 25.
