1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第四章第四章 情景导学 从前有个年轻人， 在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸， 上面指出了一项宝藏他是这样写的：有一座荒岛，岛上有一 株橡树和一株松树，还有一座绞架，从绞架走到橡树，并记下 走了多少步，到了橡树向右拐个直角再走那么多步，在这里打 个桩，然后回到绞架那里，朝松树走去，同时记住所走的步数； 到了松树向左拐个直角再走那么多步，在这里也打个桩，这两 个桩的正中间挖掘，就可找到宝藏，年轻人找到了这座岛，也 找到了橡树和松树，但绞架却已糟烂，一点痕迹也看不出了， 但年轻人却很快利用复数知识找到了宝藏，好神奇的复数！ 学法探究 1准确理解和掌握复
2、数的分类标准是学好本章的前提 2用类比的方法认识复数，如：将复数系与实数系、复数 的几何意义与实数的几何意义作类比；将复数及其代数形式的 加减运算与平面向量及其加减运算、几何意义作类比，将复数 加减连运算则与代数式中的合并同类项作类比 3 两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题 的主要方法，深刻体会这一转化思想 数和形的有机结合，是把复数问题转化成几何问题的重要 途径之一，对于复数 zabi(a、bR)既要从整体的角度去认 识它，把 z 看成一个整体，又要从实部和虚部的角度分解成两 部分去认识它，这是解复数问题的重要思路之一 化虚为实、化数为形、分母实数化等转化方法是解复数问 题的常
3、用技巧 4 准确把握复数的代数形式、 正确理解复数的四则运算是 有效解决复数的分类、与复数的运算相关问题的关键 1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 第四章第四章 第第1课时课时 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1在问题情境中了解数系的扩充过程，体会 实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程 中的作用 2理解复数的有关概念，掌握复数的代数表 示 3理解复数相等的充要条件 1数系的扩充 (1)数系扩充的脉络 自然数集 N整数集 Z有理数集 Q_，即 N Z Q
4、 R 数系的扩充 实数集R 2虚数单位i 在实数集中，有些方程是无法解决的例如 x210，为解决解方程的需要，人们引进 一个新数i，叫作虚数单位且规定： 它的平方等于1，即_ 实数可以与它进行四则运算，在进行四则 运算时，原有的对加法、乘法的运算性质仍 然成立 i21 1复数与复数集 我们把形如abi(a、bR)的数叫作复数 其中i叫作虚数单位全体复数所构成的集合 Cabi|a、bR叫作_ 2复数的实部与虚部 复数通常用字母z来表示，即zabi(a、 bR)，这一表示形式叫作复数的代数形 式其中a与b分别叫作复数z的_ 与_，分别用Rez与Imz表示，即a Rez，bImz 复数的概念 复数集
5、 实部 虚部 1复数相等 (1)两个复数 abi 与 cbi 相等，当且仅当它们的 _和_分别相等(ac，bd)记作 abi cdi，即 abicdi ac， bd. 两个复数相等的充要条件 实部 虚部 (2)根据两个复数相等的定义，知在 ac 且 bd 两式中， 如果有一个不成立，那么 abicdi (3)一个复数等于零的充要条件是这个复数的实部与虚部 均为零， 即 abi0_ a0， b0. 2复数的大小 两个实数可以比较大小，但是两个复数至少 有一个为虚数时，不可以比较大小如果两 个复数可以比较大小，那么，这两个复数必 定全是实数 1复数概念的几个注意点 (1)复数zabi(a、bR)的
6、虚部是b，而不 是bi (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间 的关系，可用下图表示 扩充到复数系后，各数系之间的关系为：N Z Q R C (3)实数集R和虚数集都是复数集C的真子集， 且R虚数C，R虚数 (4)实数也是复数，但是复数不一定是实数， 它也可能是虚数 2对于复数 abi，当且仅当 b0 时，它是实数；当且仅 当 ab0 时，它是实数 0；当 b0 时，叫作虚数；当 a0 且 b0 时，叫作纯虚数即 复数 abi(a、bR) 实数b0 虚数b0 纯虚数a0 非纯虚数a0 1若复数za232ai的实部与虚部互为 相反数，则实数a的值为_ 答案 1或3 2若复数(a1)(a21)
7、i(aR)是实数，则 a( ) A1 B1 C1 D不存在 答案 C 解析 (a1)(a21)i(aR)为实数的充要 条件是a210，a1 3若复数z(m1)(m29)i0，则实数 m的值等于_ 答案 3 解析 z0， m290 m10 ，m3 4如果x1yi与i3x为相等复数，x、y为 实数，则x_，y_ 答案 x1 4，y1 解析 由复数相等可知 x13x， y1， x1 4， y1. 课堂典例探究课堂典例探究 复数的概念与分类 m 取何实数时，复数 zm 2m6 m3 (m22m 15)i (1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？ 解析 (1)z 为实数， m22m150 m30 ，
8、 m5或m3 m3 ，m5 当 m5 时，z 是实数 (2)z 为虚数， m22m150 m30 ， m5且m3 m3 ，m5 且 m3 当 m5 且 m3 时，z 是虚数 (3)z 为纯虚数， m2m60 m30 m22m150 ， m3或m2 m3 m5且m3 ，m3 或 m2 当 m3 或 m2 时，z 是纯虚数 方法规律总结 1判断一个含有参数的复数在什么情况 下是实数、虚数、纯虚数，首先，要保证参数值使虚数表达式 有意义，其次，要注意复数代数形式的条件，另外，对参数值 的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算 是很必要的 2形如 bi 的数不一定是纯虚数，只有限定条件
9、bR 且 b0 时，形如 bi 的数才是纯虚数 实数m取什么值时，复数zm(m1)(m 1)i是(1)实数，(2)虚数，(3)纯虚数？ 分析 由mR，可知m(m1)和m1都是 实数，根据复数abi是实数、虚数和纯虚数 的条件可以分别确定m的值 答案 (1)m1时，复数z是实数 (2)m1 时，复数z是虚数 (3)m0时，复数z是纯虚 数 解析 (1)当m10时，即m1时，复数z 是实数 (2)当m10，即m1时，复数z是虚数 (3)当m(m1)0，且m10，即m0时， 复数z是纯虚数 已知2x1(y1)ixy(x y)i， 求实数x、y的值 复数相等的条件 解析 因为 x、y 为实数， 所以
10、2x1、y1、xy、xy 均为实数 由复数相等的充要条件，知 2x1xy y1xy ， 所以 x3 y2 方法规律总结 熟练掌握复数的概念，复数 表示各类数的条件，复数相等的条件，是正 确解答这类问题的先决条件，也是学好本章 的关键 已知复数(3x2y)(xy)i4i(x、yR)， 则xy_ 答案 3 解析 由条件得 3x2y4， xy1， x2， y1. xy3 准确掌握概念 在下列命题中，正确命题的个数是 ( ) 两个复数不能比较大小； 若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等， 则z1z2； 若a、b是两个相等的实数，则(ab)(a b)i是纯虚数 A0 B1 C2 D3 错解 两个复数不
11、能比较大小，故正确； 设z1mi(mR)，z2ni(nR) z1与z2的虚部相等，mn，z1z2， 故正确 若a、b是两个相等的实数，则ab0， 所以(ab)(ab)i是纯虚数，故正确 综上可知：都正确，故选D 辨析 两个复数当它们都是实数时，是可以 比较大小的，错解中忽视了这一特殊情况 导致错误；而错解将虚数与纯虚数概念混 淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在 代数形式上，纯虚数为bi(bR且b0)虚数为 abi(a，bR，且b0)中要保证a b0才可能是纯虚数 正解 两个复数当它们都是实数时，是可以 比较大小的，故是不正确的； 设z1abi(a、bR，b0)，z2cdi(c、 dR且d0)，bd，z2cbi 当ac时，z1z2，当ac时，z1z2，故 是错误的，当ab0时，ab(ab)i是 纯虚数，当ab0时，ab(ab)i0是 实数，故错误，因此选A
