1、圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第二章第二章 1 椭圆椭圆 1.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 第二章第二章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.理解椭圆的简单几何性质 2利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问 题. 椭圆的简单几何性质 1.观察椭圆的图形可以发现，椭圆是_对称图形，也是 _对称图形事实上，在椭圆方程x 2 a2 y2 b21 中以_、 _分别代替_、_，方程不变，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0) 既关于_对称，又关于_对称，从而关于_ 对称，椭圆的对称中心叫作椭圆的_ 中心 轴 x
2、 y x y x轴 y轴 坐标原点 中心 2如图，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)与 它的对称轴共有四个交点，即 A1、A2和 B1、B 2，这四个点叫 作椭圆的_， 线段A1A2叫作椭圆的_， 它的长等于_； 线段 B1B2叫作椭圆的_， 它的长等于_.显然， 椭圆的两 个焦点在它的_上 3椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆的_ 顶点 长轴 2a 短轴 2b 长轴 离心率 4依据椭圆的几何性质填写下表： 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 图形 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 焦点 _ _ 焦
3、距 |F1F2|2c(c a2b2) |F1F2|2c(c a2b2) 范围 _ _ 对称性 关于_对称 顶点 _ _ 轴 长轴长_，短轴长_ 性 质 离心率 e_ (00)的位置关系：点 P 在 椭圆上_； 点 P 在椭圆内部_； 点 P 在椭圆外部_. x2 0 a2 y2 0 b21 x2 0 a2 y2 0 b21 2直线与椭圆的位置关系 直线 ykxm 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的位置关系判断方 法：由 ykxm， x2 a2 y2 b21. 消去 y(或 x)得到一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 _0 相切 一解 _0 相离 无解 _0 b
4、0)或y 2 a2 x2 b21(ab0)，直线与椭圆的两个交点为 A(x1， y1)，B(x2，y2)， 则|AB| x1x22y1y22， |AB| x1x22kx1kx22 1k2 x1x22 1k2 x1x224x1x2， 或|AB|1 ky1 1 ky2 2y 1y2 2 1 1 k2 y1y2 2 1 1 k2 y1y2 24y 1y2. 其中，x1x2，x1x2或 y1y2，y1y2的值，可通过由曲线方 程与椭圆方程联立消去 y 或 x 后得到关于 x 或 y 的一元二次方 程得到. 1.椭圆的对称性 观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称 图形，又是中心对称图形 对于椭圆标准方
5、程，把x换成x，方程并不 改变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关 于y轴的对称点P1(x，y)也在椭圆上，所以 椭圆关于y轴对称；同理把y换成y，或把 x，y同时换成x，y，方程都不变，所以 椭圆关于x轴和原点都是对称的这时，坐标 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中 心椭圆的对称中心叫作椭圆的中心 2离心率与椭圆扁圆程度之间的关系 (1)椭圆的焦距与长轴长的比 ec a叫作椭圆的离心率 e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而 b a2c2越小，因此 椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近 于 a，这时椭圆就越接近于圆当且仅当 ab 时，c0，这时 两个
6、焦点重合，椭圆就变为圆了，此时方程为 x2y2a2. (2)椭圆离心率的范围：ac0，00)，两焦点 F1(c,0)，F2(c,0)，P(0，b) 不妨设 x 轴与椭圆的一个交点为 A(a,0)， c a2b2， 由PF1F2为正三角形可知：|PF1|PF2|F1F2|， a2c 又焦点到椭圆上的点的最短距离为 ac， 于是 ac 3 由可得：a2 3，c 3，从而 b2a2c29. 所求椭圆方程为 x2 12 y2 9 1. 4直线 l：x2y20 过椭圆的左焦点 F1和一个顶点 B， 则该椭圆的离心率为( ) A.1 5 B2 5 C 5 5 D2 5 5 答案 D 解析 令 x0，得 y
7、1，令 y0，得 x2，由题意知 椭圆的半焦距 c2，短半轴长 b1，a 5，离心率 ec a 2 5 5 . 5若直线 mxny4 和O：x2y24 没有交点，则过 点 P(m，n)的直线与椭圆x 2 9 y 2 4 1 的交点个数为( ) A2 个 B至多一个 C1 个 D0 个 答案 A 解析 由题意得 4 m2n22，m 2n20) 如图所示，A1FA2为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2的中线(高)， 且|OF|c，|A1A2|2b， cb4，a2b2c232， 故所求椭圆的方程为 x2 32 y2 161. 方法规律总结 已知椭圆的几何性质，求其标准方程主 要采用待定系数法，
8、解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以 确定椭圆方程的形式；(2)确立关于 a、b、c 的方程(组)，求出 参数 a、b、c；(3)写出标准方程 离心率为3 5，长轴长为 10 的椭圆方程为( ) A. x2 25 y2 161 B. x2 25 y2 161 或 y2 25 x2 161 C. x2 100 y2 641 D. x2 100 y2 64或 y2 100 x2 641 答案 B 解析 由题意得 2a10，a5，c a 3 5，c3， b2a2c225916， 当焦点在 x 轴上时，椭圆方程为 x2 25 y2 161； 当焦点在 y 轴上时，椭圆方程为 y2 25 y2 16
9、1，故选 B. 求椭圆的离心率 如图所示， F1， F2分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右 焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的2 3， 求椭圆的离心率 解析 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a，b， c. 则焦点为 F1(c,0)，F2(c,0)，M 点的坐标为(c，2 3b)， 则MF1F2为直角三角形 在 RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2， 即 4c24 9b 2|MF 1| 2. 而|MF1|MF2|4c24 9b 22 3b2a， 整理得 3c23a22ab. 又 c2a2b2，所以 3b2a. 所以b 2 a2 4 9. e2c
10、2 a2 a2b2 a2 1b 2 a2 5 9， e 5 3 . 方法规律总结 求椭圆离心率的方法： 直接求出 a 和 c， 再求 ec a， 也可利用 e 1b 2 a2求解 若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成c a的形式，并将其视为整体，就 变成了关于离心率 e 的方程，进而求解 如图，已知F1为椭圆的左 焦点，A，B为椭圆的两个 顶点，P为椭圆上的点， 当PF1F1A，POAB(O 为原点)时，则椭圆的离心 率为_ 答案 2 2 解析 由已知设椭圆方程为 x2 a2 y2 b21(ab0)，焦点为 F1(c,0) PF1F1A，
11、点 P 的坐标为(c，b 2 a ) ABPO，kABkOP，即b a b2 ac， bc，a22c2，ec a 2 2 . 方法规律总结 求离心率 e 时，一般是先找出标准方程 中 a，b，c 的关系，然后，由条件转化出含有 a，c 的关系式， 进而求出 e. 椭圆的实际应用 2003年10月15日9 时，“神舟”五号载人飞船发 射升空，于9时9分50秒准确进 入预定轨道，开始巡天飞 行该轨道是以地球的中心F2 为一个焦点的椭圆选取坐标 系如图所示，椭圆中心在原点， 近地点A距地面200km，远地点 B距地面350km.已知地球半径R 6371km. (1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2
12、)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时 59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行， 飞船共巡天飞行了约6105km，问飞船巡天 飞行平均速度是多少？(结果精确到1km/s) 解析 (1)建立如图所示的直角坐标系，设椭圆的方程x 2 a2 y 2 b21(ab0) 由题设条件得 ac|OA|OF2|F2A|63712006571， ac|OB|OF2|F2B|63713506721. 解得 a6646，c75. 所以 a244169316，b2a2c2(ac)(ac)44163691， 所以椭圆的方程为 x2 44169316 y2 441636911. (2)从 15 日 9 时到 16 日
13、6 时共 21 个 h，合 213600s，减 去开始的 9 分 50 秒，即 96050590(s)，再减去最后多计 的 1 分钟，共计 59060650(s)，飞船巡天飞行时间是 21360065074950(s)，平均速度是600000 74950 8(km/s) 所以飞船巡天飞行的平均速度是 8km/s. 方法规律总结 1.实际应用题中明确告诉是 椭圆的，关键是将文字叙述的椭圆的几何性 质找出来，转化为a、b、c的关系，求出椭圆 的标准方程再讨论其他问题 2文字语言没明确是椭圆的，先依据椭圆的 定义和文字表述判明曲线为椭圆，再求出有 关几何量，写出椭圆标准方程，再求解其他 问题 如图所
14、示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月 转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 变轨进 入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月 飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星 在 P 点第三次变轨进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行若 用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分 别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2; a1c1a2c2； c1a2a1c2; c1 a1 c2 a2，即 c1a2a1c2. 正确. 直线与椭圆的位置关系 若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆x 2 5 y 2 m 1 总有公共点，求 m
15、 的取值范围 分析 第一步，审题：审结论明确解题方 向，求m的取值范围，需利用条件建立关于 m的不等式求解；审条件，发掘解题信息， 直线与椭圆有公共点，则联立方程组有解， 焦点在x轴上，则x2项的分母较大 第二步，建联系，找解题突破口，确定解答 步骤由直线过定点，若定点在椭圆上或椭 圆内，则直线与椭圆有公共点；将直线与椭 圆方程联立消元，当0时，直线与椭圆有 公共点 第三步，规范解答 解析 由 ykx1， x2 5 y 2 m1， 消去 y， 得(m5k2)x210kx5(1 m)0， 100k220(m5k2)(1m)20m(5k2m1) 直线与椭圆总有公共点， 0 对任意 kR 都成立 m
16、0，5k21m 恒成立，1m0，即 m1. 又椭圆的焦点在 x 轴上，0b0)， 由题意知 c a 3 2 4 a2 9 b21 a2b2c2 ，解得 b210，a240. 所以所求椭圆的标准方程为 x2 40 y2 101. 辨析 上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的 焦点在 x 轴上 正解 (1)当焦点在 x 轴上时，解法同上，所求椭圆的标 准方程为 x2 40 y2 101. (2)当焦点在 y 轴上时，设椭圆方程为y 2 a2 x2 b21(ab0)， 由题意得 c a 3 2 9 a2 4 b21 c2a2b2 ，解得 b225 4 ，a225，所以所求椭圆 的标准方程为 y2
17、 25 4x2 25 1. 综上，所求椭圆的标准方程为 x2 40 y2 101 或 y2 25 4x2 25 1. 分析下题的解答过程看有无错误，若有错误请订正 椭圆的焦点在 x 轴上，长轴长和短轴长的和为 20，焦距为 4 10，求该椭圆的方程 解：设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)，由题意得 ab20， c2 10，又 a2b2c2， a11，b9.故所求椭圆方程为 x2 121 y2 811. 答案 解答有错误 椭圆方程为 x2 49 y2 9 1 解析 上述解答有错误误把长半轴长 a，短半轴长 b， 与长轴长、短轴长混淆，正确解答如下： 设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由题意得 2a2b20，c2 10，又 a2b2c2， a7，b3，故所求椭圆方程为 x2 49 y2 9 1.
