1、变化率与导数变化率与导数 第三章第三章 1 变化的快慢与变化率变化的快慢与变化率 第三章第三章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.了解函数平均变化率的概念 2掌握函数平均变化率的求法 3理解瞬时变化率的概念. 1.在气球膨胀这一变化过程中，当空气容量 从V1增加到V2时，气球的半径从r(V1)增加到 r(V2)，气球的平均膨胀率是_. 2在高台跳水这一变化过程中，高台跳水运 动员的高度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均 速度为_. 变化率问题 rV2rV1 V2V1 ht2ht1 t2t1 3 在刹车这一
2、变化过程中， 汽车行驶的速度 v 关于刹车时 间 t 的函数 vv(t)，从刹车开始 tt1到汽车停止 tt2，汽车平 均减速_. 4已知函数 yf(x)，令 xx2x1，yf(x2)f(x1)，则 当 x0 时，比值_y x，为函数 f(x)从 x1 到 x2的 平均变化率，即函数 f(x)图像上两点 A(x1，f(x1)、B(x2，f(x2) 连线的_. vt2vt1 t2t1 fx2fx1 x2x1 斜率 瞬时变化率 对一般的函数yf(x)， 在自变量x从x0变化到x1的过程中， 若设 xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率为y x _.当 x 趋于 0 时，平均变 化率
3、就趋于函数在 x0点的瞬时变化率 函数 f(x)在 x 从 x1变到 x2的平均变化率刻画的是函数值在 _变化的快慢； 函数 f(x)在 xx0的瞬时变化率，刻画的是函数在 _变化的快慢. fx1fx0 x1x0 fx0xfx0 x 区间x1，x2上 xx0这一点处 1.关于x (1)函数的变化率可以表现出函数的变化趋 势，当增量x取得越小，越能准确的体现函 数的变化情况 (2)某些时候我们可能求出某函数f(x)从x1到x2 的平均变化率为0，这并不一定说明函数f(x) 没有发生变化，应取x更小进行研究 2瞬时速度 我们知道，非匀速直线运动的物体，位移 s 与所经过的时 间 t 的规律是 ss
4、(t)，设 t 为时间改变量，从 t0到 t0t 这段 时间内， 物体的位移是 ss(t0t)s(t0)， 那么位移改变量 s 与时间改变量 t 的比， 就是这段时间的平均速度 v ， 即 vs t. 物理学里我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t0 的“速度”，即 t0时刻的瞬时速度，用 v 表示物体在 t0的瞬 时速度 v，就是运动物体在 t0到 t0t 这段时间的平均速度在 t0 时的极限，即 vlim t0 s tlimt0 st0tst0 t . (1)当 t 趋近于 0 时，即无论从小于 t 的一边趋近于 t0，还 是从大于 t0的一边趋近，平均速度都趋近于 t0时的瞬时速度
5、 (2)|t|无限变小时， v 无限接近于 v，故 vlim t0 s t. 1.若函数 f(x)3x21 的图像上一点(1,1)及邻近一点(1 x,1y)，则y x等于( ) A4 B4x C63x D42(x)2 答案 C 解析 yf(1x)f(1)3(1x)21316x 3x2，y x63x. 2一物体的运动方程是s32t，则在 2,2.1这段时间内的平均速度是( ) A0.41 B2 C0.3 D0.2 答案 B 解析 s(322.1)(322)0.2， t2.120.1， s t 0.2 0.12. 3如果质点A的运动方程是s(t)2t3，则在t 3秒时的瞬时速度为( ) A6 B1
6、8 C54 D81 答案 C 解析 ss(3t)s(3)2t318t254t， s t2t 218t54，在 t3 秒时的瞬时速度为： lim t0 s tlimt0 (2t 218t54)54. 课堂典例探究课堂典例探究 平均变化率 求函数yx3在x0到 x0x 之间的平均变化率， 并计算当 x01，x1 2时平均变化率的值 分析 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再 直接代入数据就可以得出相应的平均变化率 解析 当自变量从 x0变化到 x0x 时，函数的平均变化 率为fx 0xfx0 x x 0x 3x3 0 x 3x2 03x0x(x) 2. 当 x01，x1 2时， 平均变化率的
7、值为 312311 2 1 2 219 4 . 方法规律总结 1.求函数 yf(x)从 x0到 x 的平均变化率 的步骤为： (1)求自变量的增量 xxx0. (2)求函数的增量 yyy0f(x)f(x0)f(xx)f(x0) (3)求平均变化率y x fx0xfx0 x . 2要注意 x，y 的值可正，可负，但 x0，y 可为零， 若函数 f(x)为常值函数，则 y0. 函 数 f(x) 1 x 在 区 间 1,1 x 内 的 平 均 变 化 率 为 答案 1 1 1x 1x 解析 yf(1x)f(1) 1 1x1 1 1x 1x 11x 1 1x 1x x 1 1x 1x， y x 1 1
8、 1x 1x . 函 数f(x) 在 区 间 1,1 x 内 的 平 均 变 化 率 为 1 1 1x 1x . 瞬时变化率 求函数yf(x)3x2x在点x1处 的瞬时变化率 解析 yf(1x)f(1) 3(1x)2(1x)(31)7x3(x)2. y x 7x3x2 x 73x. 当 x 趋于 0 时，y x73x 趋于 7307. 函数 y3x2x 在点 x1 处的瞬时变化率为 7. 方法规律总结 求函数yf(x)在点xx0处的瞬时变化率 的步骤： 求 yf(x0x)f(x0)； 计算y x，并化简直到当 x0 时有意义为止； 将 x0 代入化简后的y x即得瞬时变化率 f(x)1 x在
9、x2 处的瞬时变化率为_ 答案 1 4 解析 y x f2xf2 x 1 2x 1 2 x 1 42x， 当 x0 时，y x 1 4， f(x)1 x在 x2 处的瞬时变化率为 1 4. 瞬时速度 质点M按规律s2t23作直线运动 (位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t 2时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动 速度公式求得的结果进行比较 分析 t2 时的瞬时速度 vlim t0 s2ts2 t . 解析 vlim t0 s2ts2 t lim t0 22t2222 t lim t0 (2t8)8(cm/s) 根据匀变速直线运动速度公式：vatv04t. t2 时，v8(cm/s) 方
10、法规律总结 1.物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律是 ss(t)，那么物体在时刻 t 的瞬时速度 v，就是物体在 t 到 tt 这段时间内，当 t0 时平均速度的极限，即 vlim t0 s t为 t 时刻的瞬时速度 2求瞬时速度的步骤： 第一步，求平均速度 第二步，求极限 3用两种方法计算结果相同，肯定了算法的准确性 已知物体的运动方程是S4t216t(S的单 位为m；t的单位为s)，则该物体在t2s时的 瞬时速度为( ) A3m/s B2m/s C1m/s D0m/s 答案 D 解析 S4(2t)216(2t)422162 4t2， S t 4t 2 t 4t，
11、vlim t0 S t lim t0 (4t)0. 物体在 t2s 时的瞬时速度为 0m/s. 平均变化率的应用 国家环保局在规定的排污达标的日 期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检 测结果如图所示试问哪个企业治污效果好(其 中W表示治污量)? 解析 当自变量的变化由 t0t 到 t0时，甲的平均变化 率 W甲W 1t0W1t0t t ，乙的平均变化率 W乙W 2t0W2t0t t . 由图可知 W1(t0)W2(t0)，W1(t0t)W2(t0t)， W1(t0)W1(t0t)，W2(t0)W2(t0t)都为负，且 W1(t0) W1(t0t)|W乙|. 所以说，在单位时间里企业甲比企业
12、乙的平均治污率大 因此，企业甲比企业乙治污效果略胜一筹 试计算余弦函数 f(x)cosx 在自变量 x 从 0 变到 3和从 3变 到 2时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快 答案 3 2和 3 ，在( 3， 2)上函数值变化较快 解析 自变量 x 从 0 变到 3时，函数 f(x)cosx 的平均变 化率为： f 3f0 30 cos 3cos0 3 3 2. 自变量 x 从 3变到 2时，函数 f(x)cosx 的平均变化率为： f 2f 3 2 3 cos 2cos 3 6 3 . 因为| 3 2| 3 |， 所以函数 f(x)cosx 在自变量 x 从 3变到 2 时函数值变化得较快. 下列说法：函数 y4x1 在 x 从 1 变到 3 时 的平均变化率y x xy xx y x； 函数 yx 2x 在 x 从 0 变到 2 时， x202，yf(2)f(0)6； 函数 y x在 x 从 4 变到 9 时，yf(94)f(5) 5.其中正确的有_ 错解 辨析 误解是没有正确理解x和y的含 义事实上，x和y是一个整体符号，x表 示x2x1，y表示y2y1，不能将x理解为 与x的积，也不能将y理解为与y的积 正解
