1、导数应用导数应用 第四章第四章 2 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义实际问题中导数的意义 第四章第四章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.了解导数在实际问题中的意义 2能够利用实际问题进一步巩固和加强对导 数概念的理解. 1.在物理学中，通常称力在单位时间内做的 功为_，它的单位是_ 2在气象学中，通常把单位时间(如1时、1 天等)内的降雨量称作_，它是反 映一次降雨_的一个重要指标 3在经济学中，通常把生产成本y关于产量x 的函数yf(x)的导数称为_，f(x0) 指
2、的是当产量为x0时，生产成本的增加速 度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位 的产量，需要增加f(x0)个单位的成本. 功率 瓦特 降雨强度 大小 边际成本 1.一质点的运动方程为s53t2，则该质点 在t2时的速度等于( ) A12 B12 C2 D7 答案 A 解析 s6t，s(2)12. 2一次降雨过程中，降雨量y是时间t(单 位：h)的函数，用yf(t)表示，则f(10)表示 ( ) At10时的降雨强度 Bt10时的降雨量 C10小时的平均降雨量 Dt10时的 温度 答案 A 解析 f(t)表示t时刻的降雨强度，故选A. 3某人拉动一个物体前进，他所做的功W是 时间t的函数WW(t
3、)，则W(t0)表示( ) Att0时做的功 Btt0时的速度 Ctt0时的位移 Dtt0时的功率 答案 D 解析 W(t)表示t时刻的功率 答案 v02a 解析 s(t)v0at，s(2)(v02a)m/s. 即t2s时的瞬时速度为(v02a)m/s. 4设一物体的运动方程是 s(t)v0t1 2at 2.其中 s 是位移(单 位： m)， t 是时间(单位： s) 则 t2s 时的瞬时速度为_m/s. 5人体血液中药物的质量浓度cf(t)(单位： mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f(2) 0.3，则f(2)表示_ 答案 服药2分钟后血液中药物的质量浓度 以每分钟0.3mg/mL
4、的速度增加 课堂典例探究课堂典例探究 设质点做直线运动，已知路程s(单 位：m)是时间t(单位：s)的函数：s3t22t 1.求： (1)从t2变到t3时，s关于t的平均变化 率，并解释它的实际意义； (2)当t2时的瞬时速度； (3)当t2时的加速度 导数在物理中的意义 解析 (1)ss(3)s(2)(332231)(322 221)17， s t 17 3217， 即从 t2 变到 t3 时，s 关于 t 的平均变化率为 17，即此 段时间质点的平均速度为 17m/s. (2)s(t)6t2，s(2)62214(m/s) 即当 t2 时的瞬时速度为 14m/s. (3)设该质点的速度为v
5、m/s，则v(t)s(t)6t 2， v(t)6，v(2)6. 即当t2时的加速度为6m/s2. 方法规律总结 在日常生活和科学领域中， 有许多需要用导数概念来理解的量例如中 学物理中，速度是路程关于时间的导数，线 密度是质量关于长度的导数，功率是功关于 时间的导数等 某物体走过的路程s(单位：m)是时间t(单位： s)的函数：s3t1，求函数s3t1在t2 处的导数s(2)，并解释它的实际意义 答案 s(2)3m/s，表示该物体在t2时的 速度为3m/s 解析 当 t 从 2 变到 2t 时，函数值 s 从 321 变到 3(2t)1，则s t 32t1321 t 3(m/s)， 当 t 趋
6、于 0 时，平均变化率趋于 3，则 s(2)3m/s. s(2)表示该物体在 t2 时的速度为 3m/s. 导数在生活中的应用 日常生活中的饮用水通常是经过净化的 随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将 1t 水净化到纯 净度为 x%时所需费用(单位：元)为 c(x) 5284 100x(80x100) (1)求 c(x)； (2)求 c(90)，c(98)，并解释它们的实际意义 解析 (1)c(x)( 5284 100x) 5284100x5284100x 100x2 0100x52841 100x2 5284 100x2. (2)c(90) 5284 10090252.84(元/
7、t)， c(98) 5284 1009821321(元/t) 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率， 所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率 是52.84元/t. 纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321 元/t. 方法规律总结 函数f(x)在某点处导数的大 小表示函数在此点附近变化的快慢由上述 计算可知，c(98)25c (90)它表示纯净度 为98%左右时净化费用的变化率大约是纯净 度为90%左右时净化费用变化率的25倍这 说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就 越多，而且净化费用增加的速度也越快 一杯80的热红茶置于20的房间里，它的 温度会逐渐下降温度T(单位：)与时间 t(单位
8、：min)间的关系，由函数Tf(t)给 出请问： (1)f(t)的符号是什么？为什么？ (2)f(3)4的实际意义是什么？如果f(3) 65，你能画出函数在点t3min时图像的大 致形状吗？ 解析 (1)f(t)是负数因为f(t)表示温度随时 间的变化率，而温度是逐渐下降的，所以f(t) 为负数 (2)f(3)4表明在3min附近时，温度约以 4/min的速度下降，如图所示. 导数在经济学中的应用 某食品厂生产某种食品的总成本 C(单位：元)和总收入R(单位：元)都是日产量 x(单位：kg)的函数，分别为C(x)1002x 0.02x2，R(x)7x0.01x2，试求边际利润函 数以及当日产量
9、分别为200kg,250kg,300kg时 的边际利润，并说明其经济意义 解析 (1)根据定义知，总利润函数为L(x) R(x)C(x)5x1000.01x2， 所以边际利润函数为L(x)50.02x. (2)当日产量分别为200kg,250kg,300kg时的 边际利润分别为 L(200)1(元)，L(250)0(元)，L(300) 1(元) 其经济意义是：当日产量为200kg时，再增 加1kg，则总利润可增加1元；当日产量为 250kg时，再增加1kg，则总利润无增加；当 日产量为300kg时，再增加1kg，则总利润反 而减少1元 由此可得到：当企业的某一产品的生产量超 越了边际利润的零点
10、时，反而会使企业“无 利可图” 方法规律总结 导数在经济学中的应用是边 际分析和弹性分析 边际和弹性是经济学中两个重要的概念，用 导数来研究经济变量的边际和弹性的方法， 称之为边际分析和弹性分析 边际函数：在经济学中，把函数f(x)的导函数 f(x)称为f(x)的边际函数在点xx0处的值 f(x0)称之为f(x)在点xx0处的边际值(或变化 率、变化速度等) 由导数的定义， 当 x 趋于 0 时， 比值y x fx0xfx0 x 趋 于一个常数 A，则称常数 A 为函数 f(x)在点 xx0处的导数，记 作 f(x0)，因此当 x 趋于 0 时，fx 0xfx0 x f(x0) 在经济学中，
11、通常取 x1， 就认为 x 达到很小， 故有 f(x0 x)f(x0)f(x0)在实际问题中，略去“近似”两字，就 得到 f(x)在 x0处的边际值 f(x0)的经济意义：即当自变量 x 在 x0的基础上再增加一个单位时，函数 f(x)的改变量 造船厂年最大造船量为20艘，造船x艘产值函 数为R(x)3 700x45x210x3(单位：万 元)，成本函数c(x)460x5 000(单位：万 元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数 Mf(x)的定义为Mf(x)f(x1)f(x)求利润 函数p(x)及边际利润函数Mp(x)(利润产值 成本) 答案 p(x)10x345x23 240x5 000(xN，1x20)， Mp(x)30x260x3 275(xN， 1x19)
