1、双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 1 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质 1、范围、范围 2 22 2 , 1, x xa a xa xa 即即 关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称. x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心, 又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心. x y o - -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 22 22 1(0,0) xy ab ab 另外另外, , 22 22 0 xy ab 可知并可知并夹在两夹在两 相交直线之间相交直线之间.
2、(.(如图如图) ) 2 3、顶点、顶点 x y o 1 B 2 B 1 A 2 A （2 2）如图，）如图，线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴，它的长为，它的长为2a,2a, a a叫做叫做实半轴长实半轴长；线段线段B B1 1B B2 2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴，它的长，它的长 为为2b,2b,b b叫做双曲线的叫做双曲线的虚半轴长虚半轴长. . （3 3）实轴与虚轴等长的双曲线）实轴与虚轴等长的双曲线 叫叫等轴双曲线。等轴双曲线。 （1 1）令）令y=0y=0，得，得x=x=a,a,则双曲线与则双曲线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为 A A1 1
3、( (- -a,0),Aa,0),A2 2(a,0)(a,0)，我们把这两个点叫，我们把这两个点叫双曲线的顶点双曲线的顶点; ; 令令x=0,x=0,得得y y2 2= =- -b b2 2, ,这个方程没有实数根，说明双曲线与这个方程没有实数根，说明双曲线与y y 轴没有交点，但轴没有交点，但我们也把我们也把B B1 1(0,(0,- -b),Bb),B2 2(0,b)(0,b)画在画在y y轴上。轴上。 )0( 22 mmyx 的图像是什么？思考： x y 1 轴轴和图像无限靠近yx 1 ,xyy x 轴轴叫做的渐进线. 3 4、渐近线、渐近线 1 A 2 A 1 B 2 B x y o
4、b yx a b yx a a b 利用渐近线可以较准确的画出利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图双曲线的草图 (2) 渐近线对双曲线的开口的影响渐近线对双曲线的开口的影响 (3) 双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢直线有什么位置关系呢? 双曲线双曲线 22 22 1 xy ab (0,0)ab的的渐近线为渐近线为 b yx a 注注: :等轴等轴双曲线双曲线 22 (0)xym m 的渐近线为的渐近线为yx 如何记忆双曲线的渐近线方程？如何记忆双曲线的渐近线方程？ 4 双曲线的渐近线方程双曲线的渐近线方程 对于双曲线 ，把方程右边的 “1”换成“0”，得双曲线渐近
5、线方程为 )0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x .00 2 2 2 2 x a b y b y a x b y a x 或或 思考：对于双曲线 的渐 近线有怎样的结论呢？ 22 22 1(0,0) yx ab ab 练习、求下列双曲线的渐近线方程练习、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x(1)4x2 29y9y2 2=36, =36, (2)25x(2)25x2 24y4y2 2= =- -100.100. 2x3y=0 5x2y=0 5 5、离心率、离心率 e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量, ,e 越大开口越大越大开口越大 定义定义: :双曲线双曲
6、线的的焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比 c e a , ,叫做叫做双曲线的离心率双曲线的离心率. . e的的范围范围: : ca0 e 1 e的含义的含义: : 22 22 ( )11 bcac e aaa 当当(1,)e时时, ,(0,) b a , ,且且e增大增大, , b a 也增大也增大. . e增大时增大时, ,渐近线与实轴的夹角增大渐近线与实轴的夹角增大. . 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度同样可以形象地理解焦点离开中心的程度. . 另外另外 （4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线的离心率e= ? 2 ,反过来也成立反过来也成立. . 222 , c eabc a 在在、 、
7、、ab c e四个参数中四个参数中, ,知二求二知二求二. . 6 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 图形图形 方程方程 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 1 (0,0) xy ab ab 2222 2222 A1（- a，0），），A2（a，0） A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00 yx (a,b) ab 2222 2222 yaya xR，或或 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1) c ee a 渐进线渐进线 a yx b . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F
8、1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) xaxa yR，或或 (1) c ee a b yx a 7 例例1 求双曲线求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程焦点坐标、离心率、渐进线方程. 可得实半轴长可得实半轴长a=4，虚半轴长，虚半轴长b=3 焦点坐标为（焦点坐标为（0，-5）、（）、（0，5） 4 5 a c e离心率离心率 xy 3 4 渐进线方程为渐进线方程为 解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程 22 1 169 yx 8 例例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分双曲线型自
9、然通风塔的外形，是双曲线的一部分 绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m, 上口半径为上口半径为13m,下口半径为下口半径为25m,高高55m.选择适选择适 当的坐标系，求出此当的坐标系，求出此 双曲线的方程双曲线的方程(精确到精确到1m). 解：如图，建立直角坐标系解：如图，建立直角坐标系xOy,使使 小圆的直径小圆的直径AA1在在x轴上，圆心与原轴上，圆心与原 点重合。这时，上下口的直径点重合。这时，上下口的直径 CC1,BB1都平行于都平行于x轴，且轴，且CC1 =132, BB1 252 C x y O A1 A C1 B B1 13 12
10、25 ).55,25(),13( ),0, 0( 1 2 2 2 2 yByC ba b y a x 的坐标为则点的坐标为令点 设双曲线的方程为 22 22 22 22 25(55) 1 (1) 12 , 13 1.(2) 12 y b y b 2 19275181500(3)bb化化简简得得 用计算器解方程用计算器解方程(3)，得，得b25 22 1 144625 xy 所以，所求双曲线的方程为 9 根据下列条件，求双曲线方程根据下列条件，求双曲线方程: : 与双曲线与双曲线 22 1 916 xy 有共同渐近线，且过点有共同渐近线，且过点( 3,2 3) ； 与双曲线与双曲线 22 1 1
11、64 xy 有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点(3 2,2) 法一法一: :直接直接设设标准方程标准方程, ,运用待定系数法运用待定系数法; ; 法法二二: :巧设巧设方程方程, ,运用待定系数法运用待定系数法. . 法法二可能会比法一简洁二可能会比法一简洁, , 渐近线方程为渐近线方程为 b yx a 的双曲线的方程可写成的双曲线的方程可写成 22 22 (0) xy ab 的形式的形式. . 22 (1)1 916 44 xy 22 (2)1 128 xy 29 31 32 yx 渐近线方程为：且过点， 22 (3)1 188 xy 10 22 1 4924 5 4 xy e 例3 求与
12、椭圆有公共焦点，且离心率 的双曲线方程。 . . 1 9 16 2 2 y x 可得 , 9 16 25 , 4 2 b a 求得 4 5 5 a 由 0 5 ）， ， 焦点为（ 5 c 得 25 24 49 2 c 解：由 11 练习练习: : 3.3.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点 P( 1,( 1,3 ) 3 ) 且离心率为且离心率为 的双曲线标准方程的双曲线标准方程. . 2 2 2. 过点（过点（1，2），且渐近线为），且渐近线为 3 4 yx 的双曲线方程是的双曲线方程是_. 22 16955yx 22 1 88 yx 1.求与椭圆求与椭圆
13、 xy 22 168 1 有共同焦点，渐近线方程有共同焦点，渐近线方程 为为 xy30的双曲线方程。的双曲线方程。 22 1 62 xy 4.若双曲线的离心率为若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角为，则两条渐近线的交角为 。 60 12 点点M(x,y)与定点与定点F(5,0)的距离和它到定直的距离和它到定直 线线l: 的距离的比等于常数的距离的比等于常数 ，求，求M点的轨迹点的轨迹. 16 5 x 5 4 解：解： 根据题意得根据题意得 22 (5)5 16 4 | 5 xy x 22 916144xy化简，得化简，得 22 1 169 xy 即：即： 这是双曲线这是双曲线. . 例4
14、13 课堂练习课堂练习: : 1 1. .点点P P与两定点与两定点 F1 1( (a，0 0) )、F2 2( (a，0 0)()(a0 0) )的的 连线的斜率乘积为常数连线的斜率乘积为常数 k，当点，当点 P 的轨迹是离心的轨迹是离心 率为率为 2 2 的双曲线时，的双曲线时，k 的值为的值为( ( ) ) (A)(A)3 3 (B)(B)3 (C)(C)3 (D)(D) A 1 169 22 yx 4 2.过双曲线过双曲线 的左焦点的左焦点F1作倾角为作倾角为 的直线与双曲线交于的直线与双曲线交于A、B两点，则两点，则|AB|= . 192 7 20xy 30xy 2 2 1 2 x
15、y 2 2 1 4 y x 2 2 1 2 y x 2 2 1 4 x y 3.双曲线的两条渐进线方程为双曲线的两条渐进线方程为 ，且截直线，且截直线 所得弦长为所得弦长为 则该双曲线的方程为（则该双曲线的方程为（ ） (B) (C) (D) (A) 8 3 3 D 14 补充补充:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原 双曲线的共轭双曲线,求证: (1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上. Y X A1 A2 B1 B2 F1 F2 o F2 F1 问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？ 15 (a,0) (0,a)
16、 x-a或xa 双曲线方程双曲线方程 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 对称轴：对称轴：x轴、轴、y轴轴 对称中心：原点对称中心：原点 焦焦 点点 在在 x 轴轴 焦焦 点点 在在 y 轴轴 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab ,1 c ee a y-a或ya b yx a a yx b 渐近线渐近线 16 结论结论: : 1 1. . 00 (,)P xy是椭圆是椭圆 22 22 1 xy ab 上的任意一点，长轴两端点为上的任意一点，长轴两端点为 1( ,0)Aa 、 2( ,0) A a，则两直线，则两直线 1 PA、 2 PA的斜率之积的斜率之积 12
17、 PAPA kk 等于常数等于常数_._. 2 2 b a 反过来反过来, ,满足这一条件的点在椭圆上满足这一条件的点在椭圆上. . 2 2. . 00 (,)P xy是是双曲线双曲线 22 22 1 xy ab 上的任意一点，上的任意一点，实实轴两端点为轴两端点为 1( ,0)Aa 、 2( ,0) A a，则两直线，则两直线 1 PA、 2 PA的斜率之积的斜率之积 12 PAPA kk等等 于常数于常数_._. 反过来反过来, ,满足这一条件的点在满足这一条件的点在双曲线双曲线上上. . 2 2 b a 3 3. .渐近线方程为渐近线方程为 b yx a 的双曲线的方程可写成的双曲线的方程可写成 22 22 (0) xy ab 的形式的形式. . 17 欢迎你的提问！ 课本第 56,57,58页练习题、习题 能力培养 18
