1、 解二元一次方程组有哪几种方解二元一次方程组有哪几种方 法法 ？它们的实质是什么？它们的实质是什么？ 二元一次方程组 代入代入 加减加减 消元消元 一元一次方程一元一次方程 一副扑克牌共一副扑克牌共54张，老师将一副扑克分给甲、张，老师将一副扑克分给甲、 乙、丙三名小朋友，甲拿到的牌数是乙的乙、丙三名小朋友，甲拿到的牌数是乙的2倍；若倍；若 把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2 张，问老师分给甲、乙、丙各几张牌？张，问老师分给甲、乙、丙各几张牌？ 问题问题1 分析：分析： (1)(1)这个问题中要求的未知数有几个？你能这个问题中要求的未知数有几
2、个？你能 列岀关于这些未知数的几个方程？请试一试。列岀关于这些未知数的几个方程？请试一试。 (2)(2)根据根据(1)(1)中列出的方程，你能求出问题的解中列出的方程，你能求出问题的解 吗？吗？请试一试请试一试. 问题问题2 小明手头有小明手头有12张面额分别为张面额分别为1元、元、2元、元、5元的元的 纸币，共计纸币，共计22元，其中元，其中1元的纸币的数量是元的纸币的数量是2 元元 纸币数量的纸币数量的4倍倍.求求1元、元、2元、元、5元纸币各多少元纸币各多少 张张. 分析：分析： 这个问题中包含有 这个问题中包含有 个相等关系：个相等关系： 三三 1元纸币张数元纸币张数2元纸币张数元纸币
3、张数5元纸币张数元纸币张数12张张 1元纸币的张数元纸币的张数2元纸币的张数的元纸币的张数的4倍倍 1元的金额元的金额2元的金额元的金额5元的金额元的金额22元元 设设1元、元、2元、元、5元的纸币分别为元的纸币分别为x张、张、y张、张、z张张 根据题意，可以得到下面三个方程：根据题意，可以得到下面三个方程： X+y+z=12X+y+z=12 X=4yX=4y X+2y+5z=22X+2y+5z=22 观察方程、你能得出什么？观察方程、你能得出什么？ 含有含有三个未知数三个未知数，且，且含有未知数的项的次数都含有未知数的项的次数都 是一次是一次的方程叫做的方程叫做三元一次方程三元一次方程 三元
4、一次方程的概念：三元一次方程的概念： 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们 把这三个方程合在一起，写成把这三个方程合在一起，写成 X+y+z=12X+y+z=12 X=4yX=4y X+2y+5z=22X+2y+5z=22 由由三个一次方程三个一次方程组成，并且含组成，并且含有三个未知数有三个未知数的方的方 程组叫做程组叫做三元一次方程组三元一次方程组 三元一次方程组的概念：三元一次方程组的概念： 解三元一次方程组的基本思路与解二元解三元一次方程组的基本思路与解二元 一次方程组的基本思路一样，即一次方程组的基本思路一样，即 三元三元一
5、次方程组一次方程组 消元消元 二元二元一次方程组一次方程组 消元 消元 一元一元一次方程一次方程 分析：分析：方程方程+ 消去消去z,再由再由-消消 去去z，组成一个二，组成一个二 元一次方程组元一次方程组 例例1 解三元一次方程组解三元一次方程组 x x2Y2Y- -Z=1 Z=1 2x2x- -y yz=z=- -2 2 X=yX=y- -z z 解：将分别代入解：将分别代入 ，消去，消去x x 得得 解这个二元一次方程组，得解这个二元一次方程组，得 所以原方程组的解是所以原方程组的解是 X=X=- -2 2 Y=5Y=5 Z=7Z=7 你还有其它解你还有其它解 法吗？试一试，法吗？试一试
6、， 并与这种解法并与这种解法 进行比较进行比较. . 3Y3Y- -2Z=1 2Z=1 y y- -z=z=- -2 2 y=5y=5 z=7z=7 将将 y=5y=5 z=7z=7 代入代入 ，得，得 X=X=- -2 2 先消先消z:z: 例例2 解：解： 分析：分析： 5x+5y=255x+5y=25 5x5x- -y=19y=19 - - ，得，得 6y=66y=6， 所以所以y=1y=1 再将再将x=4x=4，y=1y=1代入，得代入，得z=z=- -1 1 所以原方程组的解是所以原方程组的解是 X=4X=4 Y=1Y=1 Z=Z=- - 1 1 3x3x2Y+Z=13 2Y+Z=1
7、3 X+5yX+5y2z=7 2z=7 2X+3y2X+3y- -z =12z =12 + + x2x2- - + +，得，得 x2 2- -，得，得 将将y=1 y=1 代入代入 ，得，得x=4x=4 你还有其它解你还有其它解 法吗？请课后法吗？请课后 试一试，并与试一试，并与 你的同桌比你的同桌比 较较. . 例例3 在等式在等式 y=a bxc中中,当当x=-1时时,y=0;当当x=2时时, Y=3;当当x=5时时,y=60. 求求a,b,c的值的值 x 2 解：根据题意，得三元一次方程组解：根据题意，得三元一次方程组 abc= 0 4a2bc=3 25a5bc=60 ， 得得 ab=1
8、 ，得，得 4ab=10 与组成二元一次方程组与组成二元一次方程组 ab=1 4ab=10 a=3 b=-2 解这个方程组，得解这个方程组，得 把把 代入，得代入，得 a=3 b=-2 C=-5 a=3 b=-2 c=-5 因此因此 答：答：a=3, b=-2, c=-5. 请你做课内练习请你做课内练习 1、2 解三元一次方程组解三元一次方程组 1. x=y+1 x=y+1 X+2z=X+2z=- -2 2 y y- -z =3z =3 2. 3a3a- -b+c = 4 b+c = 4 2a+b2a+b- -c = 6 c = 6 2a+3b2a+3b- -c= 12c= 12 x= 2 x
9、= 2 Y= 1Y= 1 z=z=- -2 2 a= 2 a= 2 b= 3b= 3 c= 1c= 1 2. 甲、乙、丙三人的年龄之和甲、乙、丙三人的年龄之和 为为20岁，甲年龄的岁，甲年龄的2倍比乙大倍比乙大1 岁，乙年龄的岁，乙年龄的1/3等于丙的等于丙的1/2， 问甲、乙、丙三人各几岁？问甲、乙、丙三人各几岁？ 课堂小结课堂小结 1.1.解二元一次方程组的基本思路解二元一次方程组的基本思路: : 解二元一次方程组解二元一次方程组 消元转化消元转化 (代入消元、加减消元代入消元、加减消元) 解一元一次方程解一元一次方程 2 2. 解三元一次方程组也通过解三元一次方程组也通过消元消元 将三元
10、将三元转化转化为二元再为二元再转化转化为为 解一元一次方程一元一次方程 研讨提高研讨提高 解三元一次方程组的基本思路与解二元解三元一次方程组的基本思路与解二元 一次方程组的基本思路一样，但具体问一次方程组的基本思路一样，但具体问 题又有各种不同的多样方法，请看下面题又有各种不同的多样方法，请看下面 几例几例 转化为解二元一次方程组转化为解二元一次方程组,应如何消元？应如何消元？ 1.以下是解上述三元一次方程组的几种消元以下是解上述三元一次方程组的几种消元 方案方案,试说明各种方案是否可行试说明各种方案是否可行. 方案方案(1) 由由,得得x=6-y-z分别代入、分别代入、,得得 5zy3)zy
11、6(2 10zy2)zy6(2 方案方案(2) 由由+,得得 15y5x4 6zyx 5zy3x2 10zy2x2 6zyx 把解三元一次方程组把解三元一次方程组 (1)可行可行 研究练习一研究练习一 方案方案(3) 由由+-,得得x+3z=11 方案方案(4) 由由+、-,得得 5z2y 15y5x4 方案方案(5) 由由+、 - ,得得 4yx 11y4x3 方案方案(6) 由由+、 +,得得 15y5x4 11y4x3 (5)可行可行 (6)可行可行 2.上述方案上述方案(1)、(5)、(6)是可行方案是可行方案,其中较其中较 合理、简捷的消元方案是哪个？合理、简捷的消元方案是哪个？ 方
12、案方案(1) 由由,得得x=6-y-z分别代入、分别代入、,得得 5zy3)zy6(2 10zy2)zy6(2 (1)可行可行 (5)较简捷较简捷 3.若要先消去若要先消去x,用加减法怎样消元？用加减法怎样消元？ 2- ,-,得得 5z2y 2z 4.若要先消去若要先消去y,用加减法怎样消元？用加减法怎样消元？ 2- , 3-,得得 13z4x 2z 说明说明:在解二元一次方程组中在解二元一次方程组中,把方程组中的把方程组中的 两个方程经过恰当变形后两个方程经过恰当变形后,一次加减一次加减就就可以消可以消 去一个未知数去一个未知数. 在解三元一次方程组时在解三元一次方程组时,当三个方程都是当三
13、个方程都是 三元一次方程时三元一次方程时,只把其中两个方程相加减只把其中两个方程相加减, 比如方案比如方案(2),就不能消去一个未知数就不能消去一个未知数. 在解三元一次方程组时在解三元一次方程组时,不一定要把三个不一定要把三个 方程一次相加减来消元方程一次相加减来消元,比如方案比如方案(3)用了三个用了三个 方程相加减方程相加减,是不一定需要的是不一定需要的. 方案方案(2) 由由+,得得 15y5x4 6zyx 方案方案(3) 由由+-,得得x+3z=11 说明说明:要会灵活地用多种方法消元要会灵活地用多种方法消元.由于三元由于三元 一次方程组中一次方程组中,z的系数的绝对值相等的系数的绝
14、对值相等,所以用所以用 加减法消去加减法消去z较为恰当较为恰当. 事实上事实上,方程、中方程、中x、y的系数相差同的系数相差同 样的倍数样的倍数,因此消去因此消去x或或y比方案比方案(5)、(6)更简更简 便便. 方案方案(5) 由由+、 - ,得得 4yx 11y4x3 方案方案(6) 由由+、 +,得得 15y5x4 11y4x3 (5)可行可行 (6)可行可行 22zyx 6:5z:y 4:3y:x 解方程组解方程组 解法一解法一: 原方程组化为原方程组化为 22zyx 0z5y6 0y3x4 5-,得得 5x-y=110 与组成方程组与组成方程组,得得 110yx5 0y3x4 解这个
15、方程组解这个方程组,得得 40y 30x 研究练习二、研究练习二、 把把x=30,y=40代入代入,得得 z=48 48z 40y 30x 解法二解法二:根据方程根据方程x:y=3:4,设设x=3k,则则y=4k. 把把y=4k代入代入y:z=5:6,得得 z=4.8k. 把把x=3k, y=4k, z=4.8k代入代入x+y-z=22,得得 3k+4k- 4.8k=22, k=10 48z 40y 30x 解法一是用加减法逐步消元解法一是用加减法逐步消元; 解法二是根据方程组中两个比解法二是根据方程组中两个比 例式例式,用新的元“用新的元“k”的代数式去的代数式去 替代替代x、y、z,于是原方程组可于是原方程组可 以转化为关于“以转化为关于“k”的一元一次的一元一次 方程方程.
