1、.3.3 平方差公式与平方差公式与 完全平方公式完全平方公式( (二二) ) 完完 全全 平平 方方 公公 式式 一块边长为一块边长为a a米的正方形实验田，米的正方形实验田， 做一做做一做 图图16 a 因需要将因需要将 其边长增加其边长增加 b 米。米。 形成四块形成四块 实验田，以种植不同的新品种实验田，以种植不同的新品种 (如图如图16). 你能用不同的形式表示实你能用不同的形式表示实 验田的总面积验田的总面积, 并进行比较并进行比较. a b b 法一法一 直直 接接 求求 总面积总面积= (a+ +b) ； 2 法二法二 间间 接接 求求 总面积总面积= a2+ + ab+ + a
2、 b+ + b 2. (a+ +b)2= a2+ + ab + + b2. 你发现了什么你发现了什么? 探索探索: : 2 公式公式: 完全平方公式完全平方公式 动脑筋动脑筋 你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗? ? 想一想想一想 (a+ +b)2=a2+ +2ab+ +b2 ; (a+ +b)2 = 推证推证 (a+ +b) (a+ +b) =a2+ +ab+ + ab+ +b2 =a2+ +2ab+ + b2 ; a2 2ab+ +b2. (ab)2= 的证明的证明 (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 b 2 ab ab a b
3、 a+b a 2 ab ab b 2 (a+b) 2 a + 2ab + b 2 2 = a (a-b) 2 a - 2ab + b 2 2 = b 2 a-b b (a-b) 2 ab ab a 2 ab ab b 2 (a-b) 2 = a 2 2ab + b 2 a 2 ab a a-b b (a-b) 2 ab b(a-b) b(a-b) (a-b) 2 = a 2 ab b(a-b) (a-b) 2 a - 2ab + b 2 2 = = a - ab - ab + b 2 2 = a - 2ab + b 2 2 b(a-b) b(a-b) b 2 b(a-b) b(a-b) b 2
4、 (a-b) 2 a - 2ab + b 2 2 = a 2 a a-b b (a-b) 2 (a-b) 2 = a 2 b (a-b) b (a-b) b 2 = a - ab + b - ab + b - b 2 2 2 2 = a - 2ab + b 2 2 公式特点：公式特点： 4 4、公式中的字母、公式中的字母a a，b b可以表示数，单项式和可以表示数，单项式和 多项式多项式。 (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a- -b)2= a2 - - 2ab+b2 1 1、积为二次三项式；、积为二次三项式； 2 2、积中两项为两数的平方和；、积中两项为两数的平方和； 3 3、另一项是
5、两数积的、另一项是两数积的2 2倍，且与乘式中倍，且与乘式中 间的符号相同。间的符号相同。 首平方，末平方，首平方，末平方， 首末两倍中间放首末两倍中间放 它与平方差公式有何区别它与平方差公式有何区别? ? 七嘴八舌说一说七嘴八舌说一说 用自己的语用自己的语 言叙述上面言叙述上面 的公式的公式 语言表述语言表述: 两数和两数和 的平方的平方 等于等于 这两数的平方和这两数的平方和 加上加上 这两数乘积的两倍这两数乘积的两倍. . ( (差差) ) (减去减去) (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a- -b)2= a2 - - 2ab+b2 下面各式的计算是否正确？如果不正确，下面各式的计
6、算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x - -y)2 =x2 - -y2 (3) (x - -y)2 =x2+2xy +y2 (4) (x+y)2 =x2 +xy +y2 错错 错错 错错 错错 (x + +y)2 =x2+2xy +y2 (x - -y)2 =x2 - -2xy +y2 (x - -y)2 =x2 - -2xy +y2 (x + +y)2 =x2+2xy +y2 例例1 1 运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算： 解解 (2x + y)2= =4x2 (1)(2x+y)2 (a + b)2= a2 + 2 a
7、b + b2 (2x)2 +22x y + y2 + 4xy +y2 例例1 1 运用完全平方公式计算：运用完全平方公式计算： 解：解： (3a-2b)2= =9a2 (2)(3a-2b)2 (a - b)2= a2 - 2 ab + b2 (3a)2 -23a 2b +(2b)2 -12ab +4b2 做一做做一做:用两数和的完全平方公式计算用两数和的完全平方公式计算(填空填空): (1)(a+1)2=( )2+2( )( )+( )2 =( ) (2)(2a 3b)2=( )2 2( )( )+( )2 =( ) (a+b)2= a2 +2ab+b2 (a- -b)2= a2 - - 2a
8、b+b2 a a 1 1 a2+2a+1 2a 2a 3b 3b 4a2 12ab + 9b2 例2、利用乘法公式计算： (1) ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 ) x2 a a 9 b b 解：解： 记清公式、代准数式、准确计算。记清公式、代准数式、准确计算。 解题过程分解题过程分3 3步：步： ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 ) = ( x2- 9) (x2-9 ) = ( x2- 9)2 = x4 18x2 +81 =（x2 ）2 2x9 + 92 1.(3x+7y)1.(3x+7y)2 2 = = 2.(2.(- -2a+3b)2a+3b)2 2= = 算一
9、算算一算 今天是星期五今天是星期五, ,你你 知道知道99992 2后的今天是星后的今天是星 期几吗期几吗? ? 992=(1001)2 =100221001+12 =10000200+1 =9801 98017=14001 5025022 2呢呢? ? 本节课你的收获是什么？ 注意完全平方公式和平方差公式不同：注意完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同形式不同 结果不同：结果不同： 完全平方公式的结果完全平方公式的结果 是三项，是三项， 即即 (a b)2a2 2ab+b2; 平方差公式的结果平方差公式的结果 是两项，是两项， 即即 (a+ +b)(ab)a2b2. 在解题过程中要准确确定
10、在解题过程中要准确确定a和和b、对照公式原形的、对照公式原形的 两边两边, 做到不丢项、不弄错符号、做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘时不少乘2 ；第一；第一(二二)数是数是乘积被平方时要注意添括号乘积被平方时要注意添括号, 是运是运 用完全平方公式进行多项式乘法的关键用完全平方公式进行多项式乘法的关键 完全平方公式及其运用完全平方公式及其运用 2 .2 .多项式多项式x x 加上一个单项式后能成为 加上一个单项式后能成为 一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？ 1. 观察下列各式观察下列各式: : 152=225 252=625 352=1225 个位数字是个位数字是5 5的两位数平方后的两位数平方后, ,末尾的两个数有末尾的两个数有 什么规律什么规律? ?为什么为什么? ? 作业 作业作业 1、教材、教材p60 习题习题8. 3 2 3 4 5 6 2、基础训练、基础训练 8. 3 (同步练习同步练习)
