1、第2课时 角平分线 的性质及判定 复习提问 1、角平分线的定义 一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。 o B C A 1 2 复习提问 2、点到直线距离: 从直线外一点 到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离。 O P A B 我的长度 3 3、角平分线的性质、角平分线的性质 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用符号语言表示为： A O B P E D 1 2 1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的 距离相等) 推理的理由有三个， 必须写完全，不能 少了任何一个。 复习提问 判断下列各题是否正确地使用了
2、角的平分线的性质? (1)如图 ，AC平分BAD DC=BC (2)如图 ，BCAB,DCAD DB=DC (3)如图，AD平分BAC， 且DBAB，DCAC BD=CD C A B D 图 图 错误 错误 正确 C B A D 如图， OC是AOB的平分线， 又 _ PD=PE ( ) PDOA，PEOB B O A C D P E 角的平分线上的点 到角的两边的距离相等 OP 是 的平分线 AOB OAPD OBPE PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平 分线上） D E O P A B 用符号语言表示为： 角的内部到角的两边的距离相等的点在 角的平分线上。 4、角
3、平分线的判定 复习提问 定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理 2 角的内部到角的两边的距离相等 的点 在角的平分线上。 B A D O P E C PD = PE OP 是 的平分线 AOB OAPD OBPE OP 是 的平分线 AOB PD = PE OAPD OBPE 用途：证线段相等 用途：判定一条射线是角平分线 由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。 练习1： 填空： (1). 1= 2,DCAC, DEAB _ (_) (2). DCAC ,DEAB ,DC=DE _ (_ _ _) A C
4、D E B 1 2 1= 2 DC=DE 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 角平分线上的点到角的两边的距离相等 AD平分BAC 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A 放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射 线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗? C A D B 你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗? E 角的平分线的作法 证明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的对应边相等） AC平分DAB（角平分线的定义） 尺规作角的
5、平分线尺规作角的平分线 观察领悟作法，探索思考证明方法： A 画法： 以为圆心，适当 长为半径作弧，交于， 交于 分别以，为 圆心大于 1/2 的长 为半径作弧两弧在 的内部交于 作射线 射线即为所求 A 为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ 想一想： 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分AOB。 证明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB 1、在OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D. 求证：AC=BD. O A B E C D 2、
6、 在ABC中， C=90 ，AD为BAC 的平分线，DEAB，BC7，DE3. 求BD的长。 E D C B A 3、 如图，在ABC中，C=90 AD是BAC 的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB A C D E B F 4 4、已知：如图，、已知：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P.P. 求证：点求证：点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等. . 证明：证明：过点过点P作作PD 、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA， 垂足为垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线
7、，点P在在BM上上 PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、 CA的距离相等的距离相等 A B C M N P D E F 怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 5、如图，的的外角的平分线 与的外角的平分线相交于点 求证：点到三边，所在直线的 距离相等 F G H 更上一层楼！ ， 6、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ A B C D E 7、如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PD OA,PEOB,垂足分别是D
8、、E,PD=4cm,则 PE=_cm. A D O B E P C 知识应用 8 . 如图，DEAB，DFBC，垂足 分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度， BE= 。 A B C D C E F 60 BF 9. 如图，在ABC中，C=90，DEAB， 1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC 的 ，AE+DE= 。 角的平分线 6cm 练习 10.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ A B C D E 你会吗？ 1、 已知：如图，C = C= 90 ，AC = AC 求证（1） ABC = ABC
9、 ；（2）BC=BC （要求不用三角形全等的判定） B C A C 我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角 形的三条角平分线相交于一点，你能证明这形的三条角平分线相交于一点，你能证明这 个结论吗？个结论吗？ 2、如图，设、如图，设ABC的角的角 平分线平分线BM，CN相交于点相交于点 P，你能证明点，你能证明点P在在 BAC的平分线上吗？的平分线上吗？ C A B D F E P N M 证明:过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F， D， BM是ABC的角平分线，点P在BM上， PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） 同理，P
10、E=PF， PD=PF 点P在BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角的 两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。 ABC三条角平分线相交于点P。 3.3.已知：如图，已知：如图，ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE 的平分线相交于点的平分线相交于点F F。 求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上。的平分线上。 C D A B F E 你会吗？ O Q P 变式 4.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相交叉的公路，现要造一个垃圾中转站， 要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A 1处 B 2处 C 3处 D 4处 l3 l1 l2 变式 5
11、、已知，如图， B=C= ，M是BC的中点， DM平分ADC。 求证：AM平分DAB。 0 90 A M D C B 证明： 过M作MEAD于E E B=C= MCDC， MBAB 又 DM平分ADC ME=MC MC=MB ME=MB AM平分DAB 0 90 （到角两边距离相等的点在这个角的平分线上） （角平分线上的 点 到角两边的距离相等） 6.已知：如图，O是三条角平分线的交点，ODBC于D，OD=3， ABC的周长为15， 求则SABC 。 A B C O M N G D 7、如图， AD是ABC的角平分线，DEAB， DFAC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD 交于G。求证：
12、 （1） DE=DF B F E D C A G （2）AE=AF （3） ADEF 8、三角形三条_的交点，到三 边距离相等。 9、三角形三条_的交点，到三 个顶点的距离相等。 练一练 10、如图，P是ABC的A和B的平 分线的交点，过P做AB、AC、BC的垂 线垂足分别是M、N、H，则： （1）PH与PN的数量关系是 _ （2）CP_ ACB (填平分或 不平分） N P H M C B A 作业： 1111、已知、已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点E,BD,CEE,BD,CE交交 点点F,CF=BF,F,CF=BF,求证求证: :点点F F在在AA的平分线上的平分线上. . A A A A A A A D N E B F M C A 12.如图如图在在ABC中，中，CAB的平分线的平分线AD与与 BC的垂直平分线的垂直平分线DE交于点交于点D，DMAB于于M， DNAC的延长线于的延长线于N 求证：求证：BM=CN E D N M C B A 作业： 小结： 3、三角形角平分线的交点性质： 2、角的平分线的判定： 三角形的三条角平分线交于一点。 4、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。 1、角的平分线的性质： 5、三角形的五心： 垂心、重心、外心、内心、旁心
