1、中考数学专题探究中考数学专题探究-分分 类类 讨讨 论论问题问题:已知已知a、b、c均为非零实数，且满足均为非零实数，且满足则则k的值为（的值为（）A 1 B -2 C 1或或-2 D 1或或2 kaacbbcbaccba 选A选A1 1k kc)c)b bk(ak(ac cb ba aakaka ac cb bbk,bk,c cb ba ack,ck,c cb ba a实数实数且a、b、c均为非零且a、b、c均为非零k ka aa ac cb bb bc cb ba ac cc cb ba a解解选选C C2 21 1或或k kk k2 2c cc cc ck kc cb b则则a a0 0
2、,c cb b若若a a1 1则则k k0 0,c cb b若若a ac c)b bk k(a ac cb ba aa ak ka ac cb bb bk k,c cb ba ac ck k,c cb ba a实实数数且且a a、b b、c c均均为为非非零零k ka aa ac cb bb bc cb ba ac cc cb ba a解解 根据研究对象的本质属性的差异，将根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想将事物进行分类，然后对划分的类思想将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分每一类分别进行研
3、究和求解的方法叫做分类讨论类讨论 引起分类讨论的几个主要原因引起分类讨论的几个主要原因 1.1.问题所涉及到的数学概念是分类进行定问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的义的.如如|a|的定义分的定义分a0、a0、a2时分时分a0、a0和和a0三种情况讨论三种情况讨论.这称为含参型这称为含参型.例如：例如：（06南通）已知南通）已知Aa 2，Ba 2a5，Ca 25a19，其中，其中a2求证：求证：BA0，并指出，并指出A与与B的大小关系；的大小关系；指出指出A与与C哪个大？说明理由哪个大？说明理由解解:(1)BA（a1）2+2 0BA（2）CA（a7）(a3)a2，a70当当2a3时，时，AC
4、 当当a3时，时，AC 当当a3时，时，AC4.某些不确定的数量、不确定的图形的形某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.例如：例如：1.在在RtABC中中,AB=6,BC=8,则这个三角形的则这个三角形的外接圆直径是（外接圆直径是（）A 5 B 10 C 5或或4 D 10或或8【简解简解】本题对谁是斜边进行讨论，选本题对谁是斜边进行讨论，选D；2.已知关于已知关于x x的方程的方程(k21)x22(k1)x10有实数根，求有实数根，求k k的取值范围的
5、取值范围【简解简解】本题分方程是一元二次方程和一元一次本题分方程是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案方程两种情况讨论，答案:k1；3.菱形有一内角为菱形有一内角为120,有一条对角线为有一条对角线为6cm,则此则此菱形的边长为菱形的边长为 cm.【简解简解】本题分本题分6cm是较短的对角线和是较短的对角线和6cm是较是较长的对角线两种情况，答案长的对角线两种情况，答案 6cm或或2cm；4.五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是是4，唯一众数是，唯一众数是5，则这五个正整数的和为，则这五个正整数的和为 .【简解简解】本题分五个数分别为本
6、题分五个数分别为1、2、4、5、5；1、3、4、5、5；2、3、4、5、5三种情况，三种情况，答案答案 17、18、19；5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则这个等腰三角形的顶角则这个等腰三角形的顶角 【简解简解】本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高在三角形形外两种情况，答案在三角形形外两种情况，答案 45和和135；【简解简解】本题分三角形的外心在三角形形内和形外本题分三角形的外心在三角形形内和形外两种情况，答案两种情况，答案 30和和150.6.若若O O为为ABCABC的外心，且的外心，且 ,则则60BO
7、C _BAC 7.（06常州）在平面直角坐标系中，已知二次函常州）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与数的图像与 轴相交于点轴相交于点A、B，顶点为，顶点为C，点，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为是一个边长为2且有一个内角为且有一个内角为60的菱的菱形，求此二次函数的表达式形，求此二次函数的表达式.x11Oxy分析：本题是数量（分析：本题是数量（6060的角）不确定，所以的角）不确定，所以要分类讨论，同时，本题中还涉及到轴对称，要分类讨论，同时，本题中还涉及到轴对称，因此有因此有4 4种情况产生种情况产生.解：解：设二次函
8、数的图像的对称轴与设二次函数的图像的对称轴与 轴相交于点轴相交于点E E，（1 1）如图，当）如图，当 时，时，因为因为ABCD菱形，一边长为菱形，一边长为2 2，所以，所以，所以点所以点B的坐标为（的坐标为（，0），），点点C的坐标为的坐标为（1，-1），），解得解得 ，所以，所以 60CAD3BE,1DE 31 31a,1k 11x31y2 xEOCDxyAB图图（2 2）如图，当）如图，当 时，由菱形性质知点时，由菱形性质知点A A的坐标为的坐标为（0，0），），点点C的坐标为（的坐标为（1，），），解得解得 所以所以 同理可得：同理可得：所以符合条件的二次函数的表达式有：所以符合条件的
9、二次函数的表达式有：60ACB33a,3k 31x3y2 31x3y,11x31y22 11x31y2 31x3y2 31x3y,11x31y22 EOCDxyAB图图8.(07无锡无锡)（1 1）已知）已知ABC中，中，A=90,B=67.5请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）图中标出相等两角的度数）分析：本题是对图形的分割，分割线的位置可以分
10、析：本题是对图形的分割，分割线的位置可以不同，形成的图形也不同，所以需要分类讨论不同，形成的图形也不同，所以需要分类讨论.解：（解：（1 1）如图，共有）如图，共有2 2种不同的分割法种不同的分割法备用图CAB67.567.522.522.5（2 2）已知）已知ABC中中,C是其最小的内角，过顶是其最小的内角，过顶点点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求角形，请探求ABC与与C之间的关系之间的关系 C43135ABC,540y4x3)x2190(yyx180,ABDA.yx180A,x2190 x18021CDBDBC,90ADB,1,
11、CDBC.DACB,xC,yABC2 即即即即此时只能有此时只能有则则如图如图是顶角是顶角若若中中在在于点于点的直线交边的直线交边过点过点设设图图2C3ABC,x3yxyx2ADAB.a.xyABD,x2ADBABDxDBCDCDB2C 即即此此时时，得得由由中中，时时，则则当当，第第一一种种情情况况：如如图图。是是底底角角，则则有有两两种种情情况况若若的任意角的任意角为小于为小于即即此时此时，得，得由由即即此时此时，得，得由由 45C,90ABC,90yxyyx180BDAD.cC3180ABC,180yx3x2yx180BDAB.b图图3.BCBDCCCC21ABDABDAD90 x180
12、ADBxBDCBCBD3不不成成立立是是底底角角时时，当当是是最最小小的的角角矛矛盾盾这这与与题题设设，从从而而，此此时时只只能能有有，时时，当当第第二二种种情情况况，如如图图 9.（07苏州）苏州）设抛物线与设抛物线与x轴交于两个不同的点轴交于两个不同的点A(一一 1，0)、B(m，0)，与，与 y 轴 交 于 点轴 交 于 点 C.且且ACB=90 (1)(1)求求m m的值和抛物线的解析式；的值和抛物线的解析式；(2)(2)已知点已知点D(1，n)在抛物线上，在抛物线上，过点过点A A的直线交抛物线于另一点的直线交抛物线于另一点E E若点若点P在在x轴上，以点轴上，以点P、B、D为顶点的
13、三角形与为顶点的三角形与AEB相似，相似，求点求点P的坐标的坐标(3)(3)在在(2)(2)的条件下，的条件下，BDP的外的外接圆半径等于接圆半径等于_分析：本题中以点分析：本题中以点P、B、D为顶点的三角形与为顶点的三角形与AEB相似，由于没有指明对应点，所以需要相似，由于没有指明对应点，所以需要分类说明分类说明.解：解：（1）令令x0 0，得，得y2 C（0，2）ACB90，COAB AOC COB OAOBOC2OB m4 将将A A（1 1，0 0），），B B（4 4，0 0）代入）代入 得得 抛物线的解析式为抛物线的解析式为412OAOC222bxaxy2 23b21a2x23x2
14、1y2 （2 2）D（1,n）代入代入 ,得得 n3由由 得得 E（6,7）分别过分别过E、D作作EH、DF垂直于垂直于x轴于轴于H、F，则，则H（6,0）、）、F（1，0）AHEH7 EAH45BFDF3 DBF45 EAH=DBF=45DBH=135 90EBA135则点则点P只能在点只能在点B的左侧，有以下两种情况的左侧，有以下两种情况：2x23x21y2 0y1x11 7y6x22 2x23x21y1xy20713713715471527235ABBPEAB DBP11111，则POPAEBDABBPAEBD052207130522522454254252327AEBPBAE DBP2
15、122222，或，的坐标综合点，则PPPPOPABBDAEBPABBD5533141063或10如图如图1，已知，已知正方形正方形ABCD的边长为的边长为2，O为为BC边的中点，若边的中点，若P为为DC上一动点，连结上一动点，连结BP，过点过点O作直线作直线lBP交交AB（或（或AD）于点）于点Q（图（图1）（1）设设DPt（0t2），），直直线线l截正方形所得左侧部分图形截正方形所得左侧部分图形的面积为的面积为S，试求，试求S关于关于t的函数的函数关系式（图关系式（图1）（2）当点当点Q落在落在AD（不含端点）上时，问：（不含端点）上时，问：以以O、P、Q为顶点的三角形能否是等腰三角形？为顶
16、点的三角形能否是等腰三角形？若能，请指出此时点若能，请指出此时点P的位置；若不能，请说明的位置；若不能，请说明理由理由分析：在有关动点的几何问题中，由于图形分析：在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解换句话说，分类思想在动态问题究和求解换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛中运用最为广泛 ttBQOBStBQtBQPCOBCBBQPCBOBQABQt212212121,22.212,)211求得即故易证（如图上点落在边时，当解：图图2 2
17、t t2 21 11 1t t2 21 1A AB BB BO OA AQ Q2 21 1S S1 1t tt t)(2 21 1O OE EO OB BB BE EA AQ Qt t,2 2P PC CO OE EB BP PC C.易易证证Q QO OE EB BC C于于点点E E,过过点点Q Q作作Q QE EQ Q的的面面积积,此此时时S S表表示示梯梯形形A AB BO O3 3）点点落落在在边边A AD D上上（如如图图当当1 1t t2 2时时，Q QEQP图图3 3 为等腰三角形为等腰三角形为顶点的三角形不可能为顶点的三角形不可能、以以（不含端点）上时（不含端点）上时落在落在
18、当点当点舍去舍去不合题意不合题意重合重合与与即即此时此时解得解得则则若若且且易得易得）（如图（如图、连结连结（不含端点）上时，（不含端点）上时，落在落在当点当点QPO,ADQ.,AQ,0AQ,1t1t2tt22,PQOQPQOP,OQOP.4PQOPADQ22222 ABCDOPQ图图4 4 分类思想是我们数学中一种非常重要分类思想是我们数学中一种非常重要,也是也是很常见的思想很常见的思想,在中考中，命题者经常利用分在中考中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度类讨论题来加大试卷的区分度.解答分类讨论问解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.
