1、义务教育教科书（沪科）九年级数学下册义务教育教科书（沪科）九年级数学下册 第第24章章 圆圆 切线的判定方法有三种：切线的判定方法有三种： 直线与圆有唯一公共点；直线与圆有唯一公共点； 直线到圆心的距离等于该圆的半径；直线到圆心的距离等于该圆的半径； 切线的判定定理即切线的判定定理即 经过半径的经过半径的外端外端并且并且垂直垂直这条半径的直线是圆的这条半径的直线是圆的 切线切线 判定直线与圆相切有哪些方法？判定直线与圆相切有哪些方法？ 如图，纸上有一如图，纸上有一O O ，PAPA为为O O的一条切线，沿着的一条切线，沿着 直线直线POPO对折，设圆上与点对折，设圆上与点A A重合的点为重合的
2、点为B B。 1.OB1.OB是是O O的一条半径吗？的一条半径吗？ 2.PB2.PB是是O O的切线吗？的切线吗？ 5.5.利用图形轴对称性解释利用图形轴对称性解释 3.PA3.PA、PBPB有何关系？有何关系？ 4.4.APOAPO和和 BPOBPO有何关系？有何关系？ A A O O P P P P A A O O B B 例例4 4 已知：如图，已知：如图，P P为为O O外一点，过点外一点，过点P P作直作直 线与线与O O相切。相切。 作法：作法： 1.1.连接连接OP.OP. 2.2.以以OPOP为直径作圆，为直径作圆， 此圆交此圆交O O于点于点A A、B B。 则直线则直线P
3、APA、PBPB为所求。为所求。 3.3.连接连接PAPA、PBPB。 A A P P B B O O 1.切切 线线 长长 从圆外一点能够作圆的两条切线，切线从圆外一点能够作圆的两条切线，切线 上这一点到切点间的线段长叫做这点倒圆上这一点到切点间的线段长叫做这点倒圆 的切线长。的切线长。 A O P A O P B 如何证明如何证明 PA=PB, PA=PB, APO=APO= BPO BPO ？ 证明证明 ： PAPA、PBPB是是 O O的两条切线的两条切线 OAAPOAAP，OBBPOBBP 又又 OA=OBOA=OB，OP=OPOP=OP Rt Rt AOP RtAOP RtBOP
4、BOP PA=PB, PA=PB, APO=APO= BPOBPO A O P B 2.2.切线长定理切线长定理 从圆外一点作圆的两条切线，两条切从圆外一点作圆的两条切线，两条切 线长相等，圆心与线长相等，圆心与这一点这一点的连线平分两条的连线平分两条 切线的夹角。切线的夹角。 PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B B PA = PBPA = PB OPA=OPBOPA=OPB 切线长定理切线长定理 A A P P O O 。 B B 几何语言几何语言: : 反思：切线长定理为证明线段相等、角相反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提供了新的方法等提供了新的方法 我们学过的切线
5、，常的性质：我们学过的切线，常的性质： 1.1.切线和圆只有一个公共点；切线和圆只有一个公共点； 2.2.切线和圆心的距离等于圆的半径；切线和圆心的距离等于圆的半径； 3.3.切线垂直于过切点的半径；切线垂直于过切点的半径； 4.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心。经过切点垂直于切线的直线必过圆心。 6.6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 A A P P O O 。 B M M 若
6、连结两切点若连结两切点A A、 B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又你又 能得出什么新的结论能得出什么新的结论? ? 并给出证明并给出证明. . OPOP垂直平分垂直平分ABAB 证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB PA = PB ，OPA=OPBOPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OPOP垂直平分垂直平分ABAB A A P P O O 。 B 若延长若延长POPO交交O O于于 点点C C，连结，连结CACA、CBCB，你，你 又能得出什么新的结论又能
7、得出什么新的结论? ? 并给出证明并给出证明. . 证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB PA = PB ，OPA=OPBOPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCA PCB PCB AC=BCAC=BC C C CA=CBCA=CB PAPA、PBPB是是O O的两条切线，的两条切线，A A、 B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于于 点点D D、E E，交，交ABAB于于C C。 B B A P O C C E E D D （1 1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系 OAPAOAPA，
8、OB PBOB PB，AB OPAB OP （3 3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形 AOP AOP BOPBOP， AOC AOC BOCBOC， ACP ACP BCPBCP （4 4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形 ABPABP， AOBAOB （5 5）若）若PA=4PA=4、PD=2PD=2，求半径，求半径OAOA。 （2 2）写出图中与）写出图中与OACOAC相等的角相等的角 OAC=OBC=APC=BPCOAC=OBC=APC=BPC 。 P B A O （3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点 （2 2）连结两切点）连结两切点 （
9、1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点 反思：反思： 在解决有关圆的切线在解决有关圆的切线 长问题时，往往需要我长问题时，往往需要我 们构建基本图形。们构建基本图形。 例例5 5 已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、 BCBC、CDCD、DADA与与O O分别相切与点分别相切与点E E、F F、 G G、H H。 求证：求证：AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC A A B B C C D D 如图，所示如图，所示PAPA、PBPB分别切分别切 圆圆O O于于A A、B B，并与圆，并与圆O O的切的切 线分别相交于线分别相交于C C、D D，
10、已知，已知 PA=7cmPA=7cm。 (1)(1)求求PCDPCD的周长的周长 (2) (2) 如果如果P=46P=46, , 求求CODCOD的度数的度数 C C O O P P B B D D A A E E 1.1.切线长定理切线长定理 A P O 。 B E C D PAPA、PBPB分别切分别切O O于于A A、B B PA = PB ,OPA=OPBPA = PB ,OPA=OPB OPOP垂直平分垂直平分ABAB 切线长定理为切线长定理为 证明线段相等，角证明线段相等，角 相等，弧相等，垂相等，弧相等，垂 直关系提供了理论直关系提供了理论 依据。必须掌握并依据。必须掌握并 能灵活应用。能灵活应用。 2.2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 有志者事竟成也！有志者事竟成也！ 刘秀刘秀
