1、义务教育教科书（沪科）九年级数学下册义务教育教科书（沪科）九年级数学下册 第第24章章 圆圆 正多边形正多边形 各边相等，各角也相等的多边形各边相等，各角也相等的多边形. . 正多边形的性质正多边形的性质 60 正正n n边形内角和：边形内角和： ( (n n2)1802)180 108 每条边都相等每条边都相等 每个角都相等每个角都相等 135 提出问题：提出问题： 问题：上节课我们学习了正多边形的定义，问题：上节课我们学习了正多边形的定义， 并且知道只要并且知道只要n n等分等分(n3)(n3)圆周就可以得到的圆周就可以得到的 圆的内接正圆的内接正n n边形和圆的外切正边形和圆的外切正n
2、n边形反过来，边形反过来， 是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆 呢？呢？ 下面我们仍然以正五边形为例。下面我们仍然以正五边形为例。 同理，点同理，点E E在在O O上。上。 过正五边形过正五边形ABCDEABCDE的顶点的顶点A A、B B、C C、作、作O O连结连结 OAOA、OBOB、OCOC、ODOD OB=OC,OB=OC, 1=21=2 ABC=BCDABC=BCD 3=43=4 AB=DCAB=DC APBAPBDOCDOC OA=ODOA=OD 即点即点D D在在O O上。上。 所以正五边形所以正五边形ABCDEABCDE有一个外接
3、圆有一个外接圆O O 因为正五边形因为正五边形ABCDEABCDE的各边是的各边是O O中相等的中相等的 弦，所以弦心距相等因此，以点弦，所以弦心距相等因此，以点O O为圆心，为圆心， 以弦心距以弦心距(OH)(OH)为半径的圆与正五边形的各边都为半径的圆与正五边形的各边都 相切可见正五边形相切可见正五边形ABCDEABCDE还有一个以还有一个以O O为圆心为圆心 的内切圆的内切圆 。 定理：定理： 任何正多边形都有任何正多边形都有 一个外接圆和一个内切圆，一个外接圆和一个内切圆， 这两个圆是同心圆这两个圆是同心圆 A B C D E O E E F F C C D D . . . O O 中
4、心角中心角 半径半径R R 边边 心心 距距 r r 中心中心: :一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心. . 正多边形的半径正多边形的半径: : 外接圆的半径外接圆的半径. . 正多边形的中心角正多边形的中心角: : 正多边形的每一条边正多边形的每一条边 所对的圆心角所对的圆心角. . 正多边形的边心距：正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边的距离中心到正多边形的一边的距离. . 中心中心 正多边形及外接圆中的有关概念正多边形及外接圆中的有关概念 例例 正六边形正六边形ABCDEFABCDEF外切于外切于O O，O O的半径的半径 为为R R，则该正六边形的周长和面积各是多
5、少？，则该正六边形的周长和面积各是多少？ 2 6 6 3234 2 1 6 2 1 34126 3 3 1 30tan ,30tan ， ,30 2 1 , ., OBO, : RRROMABS RAMABP ROMAM OM AM ROM AOBAOM AOMRt BMAMMABOMOM OA、M，AB 中在 于则 连结于切设如图解 A B C D E F O M R 轴对称图形，轴对称图形， 一个正一个正n n边形共有边形共有n n条对称轴，条对称轴， 每条对称轴都通过每条对称轴都通过n n边形的中心边形的中心. . 正多边形的性质正多边形的性质 正五边形正五边形 正八边形正八边形 正三边
6、形正三边形 什么叫中心？什么叫中心？ 边数是偶数的正多边形边数是偶数的正多边形 是中心对称图形，是中心对称图形， 它的中心就是对称中心它的中心就是对称中心. . 正八边形正八边形 正六边形正六边形 正多边形的性质正多边形的性质 1. 1. 正正n n边形的一个内角的度数是边形的一个内角的度数是_;_; 中心角是中心角是_；正多边形的中心角与外角的正多边形的中心角与外角的 大小关系是大小关系是_._. n 360 n n1802）（ 相等相等 2. O2. O是正是正ABCABC的中心，它是的中心，它是ABCABC的的 _圆与圆与_圆的圆心圆的圆心. . 外接外接 内切内切 3. OB3. OB
7、叫正叫正ABCABC的的_ _ ，它是正，它是正 ABCABC的的_圆的半径圆的半径. . 4. OD4. OD叫作正叫作正ABCABC的的_ _ ，它，它 是正是正ABCABC的的_ _ 圆的半径。圆的半径。 A B C .O D 半径半径 外接外接 边心距边心距 内切内切 1.1.两个正六边形的边长分别是两个正六边形的边长分别是3 3和和4 4，这两个正六，这两个正六 边形的面积之比等于边形的面积之比等于_ 2 2圆内接正方形的半径与边长的比值是圆内接正方形的半径与边长的比值是 _ 3 3圆内接正四边形的边长为圆内接正四边形的边长为4 cm4 cm，那么边心距，那么边心距 是是_ 4 4已
8、知圆内接正方形的边长为，则该圆已知圆内接正方形的边长为，则该圆 的内接的内接 正六边形边长为正六边形边长为_ 5 5 圆内接正六边形的边长是圆内接正六边形的边长是8 cm8 cm用么该正六边用么该正六边 形的半径为形的半径为_；边心距为；边心距为_ 做一做做一做 6.6.已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正已知正多边形的边心距与边长的比是，则此正 多边形是多边形是( )( ) A A正三角形正三角形 B.B.正方形正方形 C C正六边形正六边形 D.D.正十二边形正十二边形 7 7以下有四种说法：顺次连结对角线相等的四以下有四种说法：顺次连结对角线相等的四 边形各边中点，则所得的四边形是菱
9、形；等边边形各边中点，则所得的四边形是菱形；等边 三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形； 顶点在圆周上的角是圆周角；边数相同的正多顶点在圆周上的角是圆周角；边数相同的正多 边形都相似，其中正确的有（）边形都相似，其中正确的有（） A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D 4D 4个个 8 8正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关 系是（）系是（） A.A.互余互余 B.B.互补互补 C.C.互余或互补互余或互补 D.D.不能确定不能确定 1.1.定理：定理： 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆， 这两个圆是同心圆这两个圆是同心圆 中心中心: :一个正多边形的外接圆的圆心一个正多边形的外接圆的圆心. . 正多边形的半径正多边形的半径: : 外接圆的半径外接圆的半径. . 2.2.正多边形及外接圆中的有关概念正多边形及外接圆中的有关概念 成功艰苦劳动正确的方法成功艰苦劳动正确的方法 少说空话。少说空话。 爱因斯坦爱因斯坦
