1、义务教育教科书（沪科）九年级数学下册义务教育教科书（沪科）九年级数学下册 第第24章章 圆圆 1.1.过一点可以作几条直线？过一点可以作几条直线？ 2.2.过几点可确定一条直线？过几点可确定一条直线？ 过几点可以确定一个圆呢？过几点可以确定一个圆呢？ 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一 圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家画出这个碎 片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？ 要确定一个圆必须要确定一个圆必须 满足几个条件满足几个条件? ? 想一想想一想 经过两点只能作
2、一条直线经过两点只能作一条直线. . A A A A B B 经过一点可以作无数条直线；经过一点可以作无数条直线； 经过一个已知点经过一个已知点A A能确定一能确定一 个圆吗个圆吗? ? A 经过一个已知点能经过一个已知点能 作无数个圆。作无数个圆。 经过两个已知点经过两个已知点A A、B B能确定一个圆吗能确定一个圆吗? ? A A B B 经过两个已知点经过两个已知点A A、B B 能作无数个圆能作无数个圆 经过两个已知经过两个已知 点点A A、B B所作的圆的所作的圆的 圆心在怎样的一条圆心在怎样的一条 直线上直线上? ? 它们的圆心都在线段它们的圆心都在线段ABAB的的 中垂线上。中垂
3、线上。 过已知点过已知点A,BA,B作圆作圆, ,可以作无数个圆可以作无数个圆. . 经过两点经过两点A,BA,B的圆的的圆的圆心在线段圆心在线段ABAB 的垂直平分线上的垂直平分线上. . 以线段以线段ABAB的垂直平分线上的任意的垂直平分线上的任意 一点为一点为圆心圆心, ,这点到这点到A A或或B B的距离为的距离为 半径半径作圆作圆. . 你准备如何你准备如何( (确定圆心确定圆心, ,半径半径) )作圆？作圆？ 其圆心的分布有什么特点其圆心的分布有什么特点? ?与线与线 段段ABAB有什么关系？有什么关系？ A B B O O O O 那么过三点可以画几个圆呢那么过三点可以画几个圆呢
4、？ A A B B C 经过三个已知点经过三个已知点A A，B B，C C能确定一个圆吗？能确定一个圆吗？ 假设经过假设经过A A、B B、C C三点的三点的O O存在存在 （1 1）圆心）圆心O O到到A A、B B、C C三点距离三点距离 （填“相等”（填“相等” 或”不相等”）。或”不相等”）。 （2 2）连接）连接ABAB、ACAC，因为，因为OA=OB,OA=OB,所以点所以点O O在边在边 ABAB的的 上；因为上；因为OA=OC,OA=OC,所以点所以点O O 在边在边ACAC的的 上。上。 （3 3）ABAB、ACAC的中垂线的交点的中垂线的交点O O就是该圆的就是该圆的 。
5、N N M M F F E E O O A A B B C C 相等相等 垂直平分线垂直平分线 垂直平分线垂直平分线 圆心圆心 已知：不在同一直线上的三点已知：不在同一直线上的三点A A、B B、C C 求作：求作： O O使它经过点使它经过点A A、B B、C C 作法：作法：1.1.连接连接ABAB，作线段，作线段ABAB的垂的垂 直平分线直平分线MNMN； 2.2.连接连接ACAC，作线段，作线段ACAC的垂直平分的垂直平分 线线EFEF，交，交MNMN于点于点O O； 3.3.以以O O为圆心，为圆心，OBOB为半径作圆。为半径作圆。 所以所以O O就是所求作的圆。就是所求作的圆。 O
6、 O N N M M F F E E A A B B C C 画一画画一画 不在同一直线上的三个点确定一个圆。不在同一直线上的三个点确定一个圆。 现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗？ 方法方法: : 1.1.在圆弧上任取三在圆弧上任取三 点点A A、B B、C C。 2.2.作线段作线段ABAB、BCBC的的 垂直平分线垂直平分线, ,其交其交 点点O O即为圆心。即为圆心。 3.3.以点以点O O为圆心，为圆心， OCOC长为半径作圆。长为半径作圆。 O O即为所求。即为所求。 A A B B C C O O 经过三角形各个顶点的圆叫做
7、三角形的外接圆，经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫 做圆的内接三角形。做圆的内接三角形。 如图：如图：O O是是ABCABC的外接圆，的外接圆， ABCABC是是O O的内接三角形，点的内接三角形，点O O 是是ABCABC的外心。的外心。 外心是外心是ABCABC三条边的垂直平分线的交点，三三条边的垂直平分线的交点，三 角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。 C C A A B B O O 一个圆的内接一个圆的内接 三角形有几个？三角形有几个？ 一个三角形的外接
8、圆一个三角形的外接圆 有几个？有几个？ 锐角三角形的外心位于三角形内锐角三角形的外心位于三角形内. . 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点. . 钝角三角形的外心位于三角形外钝角三角形的外心位于三角形外. . A A B B C C O O A A B B C C O O 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角 形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它 的外心的位置关系的外心的位置关系. C C A A B B O O A A B B C C 过如下三点能
9、不能做一个圆过如下三点能不能做一个圆? ? 为什么为什么? ? 不在同一直线上的三点确定一个圆不在同一直线上的三点确定一个圆 L L L L1 1 L L2 2 A A B B C C O O 证明：假设经过同一直线证明：假设经过同一直线 l l 的三个点能作出的三个点能作出 一个圆，圆心为一个圆，圆心为O O 则则O O应在应在ABAB的垂直平分线的垂直平分线L L1 1上，上， 且且O O在在BCBC的垂直平分线上的垂直平分线上L L2 2上，上， L L1 1 L L L L2 2 L L 所以所以l l1 1、 l l2 2同时垂直于同时垂直于l l， 这与“这与“过一点有且只有一条直
10、线垂直于已知直过一点有且只有一条直线垂直于已知直 线线”矛盾，”矛盾， 所以经过同一直线的三点不能作圆所以经过同一直线的三点不能作圆 反证法反证法 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出假设命题的结论不成立，由此经过推理得出 矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到矛盾，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到 原命题成立，这种方法叫做反证法原命题成立，这种方法叫做反证法 经过同一直线的三点不能作出一个圆经过同一直线的三点不能作出一个圆 命题：命题： 假设：假设： 经过同一直线的三点能作出一个圆经过同一直线的三点能作出一个圆 矛盾：矛盾： 过一点有且只有一条直线垂直于已知直线过一点有且只有一条直线垂
11、直于已知直线 过一点有两条直线垂直于已知直线过一点有两条直线垂直于已知直线 定理：定理： 例如：例如： 例例 已知：两条直线已知：两条直线ABAB、CDCD分别于直线分别于直线EFEF平行，即平行，即 ABEF,CDEF.ABEF,CDEF. 求证：求证：ABCDABCD 用反证法完成下题。用反证法完成下题。 1.1.已知已知ABCABC，用直尺和圆规作出过点，用直尺和圆规作出过点A A、B B、C C的圆的圆 A A B B C C O O 2.2.某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动某市要建一个圆形公园，要求公园刚好把动 物园物园A A，植物园，植物园B B和人工湖和人工湖C C包括在内
12、，又要使这包括在内，又要使这 个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图。个圆形的面积最小，请你给出这个公园的施工图。 （A A、B B、C C不在同一直线上）不在同一直线上） 植物园 动物园 人工湖 3.3.图中工具的图中工具的CDCD边所在直线恰好垂直平分边所在直线恰好垂直平分ABAB边，边， 怎样用这个工具找出任意一个圆的圆心呢？。怎样用这个工具找出任意一个圆的圆心呢？。 C C A A B B D D 圆心圆心 4 4. .如图如图，已知已知 RtABCRtABC 中中 ， 若若 AC=AC=1212cmcm，BC=BC=5 5cmcm，求的外接圆半径求的外接圆半径。 90C C B
13、A O O 解：设解：设RtABC RtABC 的外接圆的外接圆 的用心为的用心为O O，连接，连接OB,OC,OA,OB,OC,OA, 则则OA=OB=OCOA=OB=OC 所以所以O O是斜边是斜边AB AB 的中点。的中点。 C=900C=900，AC=12cmAC=12cm，BC=5cmBC=5cm 解得解得AB=13AB=13cmcm，OA=6.5cmOA=6.5cm 故故RtABC RtABC 的外接圆半径为的外接圆半径为6.5cm6.5cm。 1.1.不在同一直线上的三个点确定一个圆。不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.2.经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫 做圆的内接三角形。做圆的内接三角形。 3.3.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。 4.4.假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾， 由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立，由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立， 这种方法叫做反证法这种方法叫做反证法 如果不想在世界上虚度一生，那就要学如果不想在世界上虚度一生，那就要学 习一辈子。习一辈子。 高尔基高尔基
