1、第四讲 直线、平面垂直的判定及性质第第八八章章 立体几何立体几何考点帮必备知识通关考点1 直线与平面垂直的判定与性质考点2 平面与平面垂直的判定与性质考法帮解题能力提升考法1 线面垂直的判定与性质考法2 面面垂直的判定与性质高分帮 “双一流”名校冲刺通思想 方法指导思想方法 转化思想在立体几何中的应用提能力 数学探索数学探索1 立体几何中的探索性问题数学探索2 立体几何中的翻折问题 考情解读考点内容课标要求考题取样情境载体对应考法预测热度核心素养1.直线与平面垂直的判定与性质掌握 2019全国,T17(1)课程学习 考法1 直观想象数学运算逻辑推理2.平面与平面垂直的判定与性质掌握 2020全
2、国,T19(1)课程学习 考法2 直观想象逻辑推理数学运算 考情解读命题分析预测从近几年的高考命题情况来看,本讲内容是高考命题的热点,主要考查直线与平面以及平面与平面垂直的判定定理和性质定理,题型既有选择题,也有解答题,在解答题中常在第(1)问设置线、面垂直关系的证明或利用线、面垂直的性质定理证明线线垂直等.在2022年高考的复习备考中,要特别注意应用判定定理与性质定理时条件的完整,这是对解答题的解题规范的基本要求.考点1 直线与平面垂直的判定与性质考点2 平面与平面垂直的判定与性质考点帮必备知识通关 考点1 直线与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的
3、两相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.1.直线和平面垂直的定义直线l与平面内的任何一条直线都垂直,就说直线l与平面互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理和性质定理规律总结 直线与平面垂直的6个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(2)若两条平行线中的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面.(3)若一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则这条直线与另一个平面也垂直.(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.(5)三垂线定理:平面内的一条直线,如果它
4、和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(6)三垂线定理的逆定理:平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.考点2 平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.1.平面与平面垂直的定义一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.2.平面与平面垂直的判定定理和性质定理考法1 线面垂直的判定与性质考法2 面面垂直的判定与性质考法帮解题能力提升 考法1 线面垂直的判定与性
5、质示例1 如图8-4-3,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.(1)当CF=2时,证明:B1F平面ADF.(2)若FDB1D,求三棱锥B1-ADF的体积.思维导引 (1)证明B1F与两直线AD,DF垂直,利用线面垂直的判定定理得出B1F平面ADF;(2)若FDB1D,则RtCDFRtBB1D,可求DF,即可求三棱锥B1-ADF的体积.图8-4-3方法技巧 1.证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理(ab,ac,bc=M,b,ca);(2)利用面面垂直的性质定理(,=l,al,aa);(3)利用面面平行的性质(a,a)
6、;(4)利用垂直于平面的传递性(ab,ab).2.证明线线垂直的常用方法(1)利用线面垂直的性质证明线线垂直;(2)计算两条直线的夹角为90或运用勾股定理判断垂直.第一步:找相交直线在一个平面内找到两条相交直线.第二步:证线线垂直证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直.第三步:证线面垂直利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直.第四步:证线线垂直由线面垂直的性质得到线线垂直.3.证明线面垂直的关键是证明线线垂直,而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此,判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.思维流程如下:考法2 面面垂直的判定与性质示例2 2018北京,18,14分文如图8-
7、4-5,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.()求证:PEBC.()求证:平面PAB平面PCD.()求证:EF平面PCD.思维导引 ()欲证PEBC,只需证明PEAD即可;()先证PD平面PAB,进而可证明平面PAB平面PCD;()取PC的中点G,连接FG,DG,通过证明EFDG,可证得EF平面PCD.图8-4-5解析 （)因为PA=PD,且E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD,所以PEBC.()因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABC
8、D=AD,所以AB平面PAD.(面面垂直的性质定理)所以ABPD.(线面垂直的性质定理)又PAPD,PAAB=A,所以PD平面PAB,(线面垂直的判定定理)又PD平面PCD,所以平面PAB平面PCD.(面面垂直的判定定理)图8-4-6方法技巧1.证明面面垂直的方法(1)利用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.(2)利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,进而把问题转化为证明线线垂直加以解决.2.面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这
9、一条件.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.高分帮“双一流”名校冲刺通思想 方法指导思想方法 转化思想在立体几何中的应用提能力 数学探索数学探索1 立体几何中的探索性问题数学探索2 立体几何中的翻折问题思想方法 转化思想在立体几何中的应用示例3 2021大同市调研测试如图8-4-8,在圆柱W中,点O1,O2分别为上、下底面圆的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于N,F),点G为下底面圆弧ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面圆的半径为1.(1)若平面FNH平面NHG,证明NGFH;(2)若直线O1H平面FGE,求点H到平面FG
10、E的距离.图8-4-8思维导引 (1)因为H是上底面圆周上一点,所以HNFH,根据面面垂直的性质得FH平面NHG,所以FHNG;(2)连接O1O2,O2H,则O1O2FE,可得O1O2平面FGE,结合O1H平面FGE,可将点H到平面FGE的距离转化为点O2到平面FGE的距离.解析 （1)因为平面FNH平面NHG,平面FNH平面NHG=NH,NHFH,FH平面FNH,所以FH平面NHG,(面面垂直转化为线面垂直)又NG平面NHG,所以FHNG.(线面垂直转化为线线垂直)(2)如图8-4-9所示,连接O1O2,O2H,因为O1O2EF,O1O2 平面FGE,EF平面FGE,所以O1O2平面FGE.
11、(线线平行转化为线面平行)图8-4-9方法技巧 转化思想常用来解决立体几何中的体积问题,线面平行、垂直问题,当体积不易直接求解时,可转换底面和高求解,求解线面位置关系问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化.运用转化思想求解立体几何问题时,既要注意一般问题的转化规律,也要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向,使用定理时要对照条件,步骤书写要规范.规律总结1.三种平行关系的转化2.三种垂直关系的转化3.平行、垂直的转化数学探索1 立体几何中的探索性问题示例4 2019北京,18,14分文如图8-4-10,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.()求
12、证:BD平面PAC.()若ABC=60,求证:平面PAB平面PAE.()棱PB上是否存在点F,使得CF平面PAE?说明理由.图8-4-10解析 ()因为PA平面ABCD,BD平面ABCD,所以PABD.因为底面ABCD为菱形,所以BDAC.又PAAC=A,所以BD平面PAC.()因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.因为底面ABCD为菱形,ABC=60,且E为CD的中点,所以AECD.所以ABAE.又PAAB=A,所以AE平面PAB.又AE平面PAE,所以平面PAB平面PAE.图8-4-11方法技巧 解决立体几何中的探索性问题的策略1.通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或
13、暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.2.涉及线段上点的位置的探索性问题一般先根据条件猜测点的位置再给出证明,所求点多为中点或三等分点中的某一个,也可以根据相似知识找点,求解时注意三点共线条件的应用.注意 猜测点的位置时,注意特殊位置关系和极端情形的应用.数学探索2 立体几何中的翻折问题示例5 2019全国卷,19,12分文图8-4-12(1)是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图8-4-12(2).(1)证
14、明:图8-4-12(2)中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE.(2)求图8-4-12(2)中的四边形ACGD的面积.图8-4-12(1)翻折后,由已知得ADBE,CGBE,(位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置关系不变)所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,(与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不变)ABBC,BCBE=B,故AB平面BCGE.又AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)如图8-4-13,取CG的中点M,连接EM,DM.图8-4-13方法技巧 解决立体几何中的翻折问题,关键是弄清楚翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况,以及翻折过程中运动变化的点的位置.一般地,位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变,而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化;对于不变的关系一般在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.规律总结 (1)与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不改变;(2)与折痕平行的线段,翻折前后平行关系不改变.
