1、考纲传真考纲传真1.(1)1.(1)结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；(2)(2)会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性2.2.了解函数周期性、最小正周期的含义了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断会判断简单函数的周期性简单函数的周期性.第三节 函数的奇偶性与周期性考点梳理考点梳理1函数的奇偶性函数的奇偶性奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数定义定义如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x都有都有_，那么函数那么函数f(x)是奇函是奇函数数都有都有_，那么函数，那么函数f(x)是是偶函数
2、偶函数图象图象特点特点关于关于_对称对称关于关于_对称对称f(x)f(x)f(x)f(x)原点原点y轴轴2.奇奇(偶偶)函数的性质函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的两个区间上有奇函数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性；偶函的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有数在关于原点对称的两个区间上有_的单调性的单调性(2)如果奇函数如果奇函数f(x)在原点有意义，则在原点有意义，则f(0)_；如果函数；如果函数f(x)既是既是奇函数又是偶函数，则有奇函数又是偶函数，则有_.3周期函数周期函数若若f(x)对于定义域中任意对于定义域中任意x均有均有 _(T为不等于为不等于0的常的常数数)，则，
3、则f(x)为周期函数为周期函数若若T是函数是函数yf(x)的一个周期，则的一个周期，则nT(nZ，且，且n0)也是也是f(x)的的周期周期相同相同相反相反0f(x)0f(xT)f(x)学情自测学情自测1(2012广东高考广东高考)下列函数为偶函数的是下列函数为偶函数的是 ()答案：答案：D答案：答案：B2已知已知f(x)ax2bx是定义在是定义在a1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么ab 的值是的值是 ()解析：解析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关由于分段函数的左右两边的函数图象不关于于y轴对称，所以轴对称，所以A不正确；由于函数图象左边不不正确；由于函数图象左边不单调，所以单调，所
4、以B不正确；由于不正确；由于x0部分的图象没有周部分的图象没有周期性，所以期性，所以C不正确，故选不正确，故选D.答案：答案：D5定义在定义在R上的函数上的函数f(x)既是奇函数，又是以既是奇函数，又是以2为周期为周期的周期函数，则的周期函数，则f(1)f(4)f(7)_.解析：据题意解析：据题意f(7)f(18)f(1)，f(1)f(7)0，又又f(4)f(0)0，f(1)f(4)f(7)0.答案：答案：0A是奇函数但不是偶函数是奇函数但不是偶函数B是偶函数但不是奇函数是偶函数但不是奇函数C既是奇函数也是偶函数既是奇函数也是偶函数D既不是偶函数也不是奇函数既不是偶函数也不是奇函数答案答案A利
5、用定义判断函数奇偶性的方法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(x)f(x)或或f(x)f(x)是否对定义域内的每一个是否对定义域内的每一个x恒恒成立成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例恒成立要给予证明，否则要举出反例)注意注意判断分段函数的奇偶性应分段分别证明判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与与f(x)的关系，只有对各段上的的关系，只有对各段上的x都
6、满足相同的关系时，都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性才能判断其奇偶性1判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(2)f(x)的定义域为的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以所以f(x)为奇函数为奇函数(4)f(x)的定义域为的定义域为R，关于原点对称，当，关于原点对称，当x0时，时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当当x0时，时，f(x)(x)22(x22)f(x)；当当x0时，时，f(0)0，也满足，也满足f(x)f(x)故该函数为奇函数故该函数为奇函数 例例2(1)(2012上海高考上海高考)已知已知yf(x)x2是奇是奇函数且函数且 f(1)1.若若g(x)f(
7、x)2，则，则g(1)_.自主解答自主解答(1)yf(x)x2是奇函数，且是奇函数，且x1时，时，y2，当当x1时，时，y2，即，即f(1)(1)22，得，得f(1)3，所以，所以g(1)f(1)21.答案答案(1)1(2)C函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利利用奇偶性关于用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得的方程，从而可得f(x)的解析式的解析式(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性
8、求参数常常采用待定系数法：利用常常采用待定系数法：利用f(x)f(x)0产生关于字母产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反调性相反答案：（答案：（1）A （2）A例例3(2012山东高考山东高考)定义在定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x6)f(x)当当3x1时，时，f(x)(x2)2；当；当1x3时，时，f(x)x.则则f
9、(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335 B338C1 678 D2 012自主解答自主解答由由f(x6)f(x)可知，函数可知，函数f(x)的周期的周期为为6，所以，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一，所以在一个周期内有个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.答案答案B1周期性常用的结论：周期性常用的结论：若若f(x)定义域内任一自变量的值定义域内任一自变量的值x：(1)f(xa)f(x)，则，则T2a；2周期
10、性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用3设设f(x)是定义在是定义在R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x，恒，恒有有f(x2)f(x)当当x0,2时，时，f(x)2xx2.(1)求证：求证：f(x)是周期函数；是周期函数；(2)当当x2,4时，求时，求f(x)的解析式的解析式解：解：(1)证明：证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)
11、(4x)2x26x8.又又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即即f(x)x26x8，x2,4 抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性利用赋值法将现，如函数的奇偶性、单调性和周期性利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略下面从条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律个不同的方面来探寻一些做题的规律1抽象函数的定义域抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已
12、知函数的定义域，利抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式用代换法得到不等式(组组)进行求解进行求解答案答案1,3)题后悟道题后悟道函数函数yf(g(x)的定义域的求法，的定义域的求法，常常常常通过换元设通过换元设tg(x)，根据函数，根据函数yf(t)的定义域，得到的定义域，得到g(x)的范围，从而解出的范围，从而解出x的范围在求函数的定义域时要兼顾函的范围在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义典例典例2已知定义在已知定义在R上的单调函数上的单调函数f(x)满足：存在满足：存在实数实数x0，使得对于任意实
13、数，使得对于任意实数x1，x2，总有，总有f(x0 x1x0 x2)f(x0)f(x1)f(x2)恒成立恒成立求：求：(1)f(1)f(0)；(2)x0的值的值解解(1)因为对于任意实数因为对于任意实数x1，x2，总有，总有f(x0 x1x0 x2)f(x0)f(x1)f(x2)恒成立，令恒成立，令x11，x20，得，得f(x0)f(x0)f(0)f(1)，所以，所以f(0)f(1)0.(2)令令x10，x20，得，得f(0)f(x0)2f(0)，即，即f(x0)f(0)故故f(x0)f(1)又因为又因为f(x)是单调函数，所以是单调函数，所以x01.2抽象函数的函数值抽象函数的函数值题后悟道
14、题后悟道抽象函数求函数值往往要用赋值法，抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答数的周期性来转化解答3抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断函数的奇偶性就是要判断x对应的函数值与对应的函数值与x对应对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断对称，结合函数的图形作出进一步的判断典例典例
15、3已知函数已知函数f(x)对任意对任意x，yR，都有，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且，且f(0)0，求证：，求证：f(x)是偶函数是偶函数证明证明取取x0，y0，得，得2f(0)2f 2(0)，因为，因为f(0)0，所以所以f(0)1；再取；再取x0，得，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)所以所以f(y)f(y)，所以函数，所以函数f(x)是偶函数是偶函数题后悟道题后悟道在利用奇偶函数的定义进行判断时，等在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需，还需要令要令x，y取特殊值进行求解
16、取特殊值进行求解4抽象函数的单调性与抽象不等式抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对常出现一些综合性问题，利用导数进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题(结结合本节例合本节例2(2)学习学习)5抽象函数的周期性抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自
17、变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出用周期把函数值转化为已知求出题后悟道题后悟道判断抽象函数的周期性时，给一个变量判断抽象函数的周期性时，给一个变量赋值是关键，但由于函数的周期性还是函数的整体性质，赋值是关键，但由于函数的周期性还是函数的整体性质，因此另一个变量必须具有任意性因此另一个变量必须具有任意性从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计从以上几种类型来看，解答抽象函数问题并不是无计可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，注重数可施，只要我们善于观察、分析、掌握解题规律，注重数形结合把抽象
18、问题形象化、具体化，就可以做到化难为易、形结合把抽象问题形象化、具体化，就可以做到化难为易、迎刃而解了迎刃而解了答案：答案：B 2已知已知x，yR，对任意，对任意x，y恒有恒有f(xy)f(x)f(y)成成立证明立证明f(x)是奇函数是奇函数证明：令证明：令xy0，则，则f(0)f(0)f(0)2f(0)，f(0)0，再令再令yx，则，则f(xx)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(0)0.f(x)f(x)又又x是任意实数，是任意实数，f(x)是奇函数是奇函数3函数函数f(x)对任意的对任意的a、bR，都有，都有f(ab)f(a)f(b)1，且，且f(x)为增函数，为增函数，f(4)5，(1
19、)求求f(2)；(2)解不等式解不等式f(3m2m2)3.教师备选题（给有能力的学生加餐）（给有能力的学生加餐）1(2012北京海淀区期末北京海淀区期末)已知函数已知函数f(x)x|x|2x，则下列，则下列结论正确的是结论正确的是 ()Af(x)是偶函数，递增区间是是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是是奇函数，递增区间是(，0)答案：答案：C2(2012宝鸡模拟宝鸡模拟)已知已知f(x)是是R上最小正周期为上最小正周期为2的周的周期期函数，且当函数，且当0
20、 x2时，时，f(x)x3x，则函数，则函数yf(x)的的图像在区间图像在区间0,6上与上与x轴的交点的个数为轴的交点的个数为()A6 B7C8 D9解析：因为当解析：因为当0 x2时，时，f(x)x3x，所以，所以f(0)0.又因为又因为f(x)是是R上最小正周期为上最小正周期为2的周期函数，所以的周期函数，所以f(6)f(4)f(2)f(0)0.又因为又因为f(1)0，所以，所以f(3)0，f(5)0，故函数，故函数 yf(x)的图像在区间的图像在区间0,6上与上与x轴的交点有轴的交点有7个个 答案：答案：B3(2013杭州月考杭州月考)已知函数已知函数f(x)为定义在为定义在R上的奇函数，当上的奇函数，当x0时，时，f(x)2x2xm(m为常数为常数)，则，则f(1)的值为的值为()A3 B1C1 D3解析：函数解析：函数f(x)为定义在为定义在R上的奇函数，上的奇函数，则则f(0)0，即，即f(0)20m0，解得，解得m1.则则f(x)2x2x1，f(1)212113，f(1)f(1)3.答案：答案：A答案：答案：4 答案：答案：
